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第三十二章投影与视图1.通过实例,了解中心投影、平行投影的意义;能确定简单物体的中心投影、平行投影;体会中心投影、平行投影在生活中的应用.2.了解物体的正投影,能区分中心投影和平行投影.3.了解视图的概念,能判断简单物体的视图;会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图和俯视图.4.会根据视图描述简单的几何体,体会几何体与其视图间的联系.5.了解直棱柱和圆锥的侧面展开图,能根据表面展开图想象和制作实物模型.6.通过实例,了解视图与侧面展开图在现实生活中的应用.1.经历对实物进行观察分析和探索的过程,初步感受平行投影、中心投影及正投影的意义,体会数学与生活之间的密切关系,提高学生的数学应用意识.2.通过具体的活动,发展学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的合情推理和空间观念.3.通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.4.通过观察、探究等活动,使学生能根据视图描述几何体或实物原型,进一步认识物体与其三视图之间的关系.5.经历直棱柱和圆锥的侧面展开与折叠、制作模型等活动,加强直观与想象相结合的能力,提高动手操作与理论结合实际的能力.1.使学生学会关注生活中有关投影与视图的数学问题,体会数学与生活实际密不可分,提高数学的应用意识.2.学生通过观察、思考、分析,探究出结论,培养观察能力、实践能力及归纳总结能力.3.通过学生自主学习与小组合作的学习方式,提高分析问题及解决问题的能力,培养学生合作意识.4.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体会成功的快乐,激发学生学习数学的热情,增强学好数学的信心.5.在探究三视图向立体图形转化过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.本章是结合学生在生活中对几何体认识的基础上,通过研究中心投影、平行投影、几何体的三视图、直棱柱与圆锥的侧面展开图等内容,将立体图形用平面图形来刻画,进一步丰富学生认识几何体的方法.投影是生活中常见的现象,而三视图又是特殊投影的产物,投影与三视图的知识在日常生活和生产中有着广泛的应用,是培养学生空间观念的有效平台.本章内容在数学学习中起着承上启下的作用,教材前边学习过“图形的初步认识”“图形的变换”等几何图形知识,在此基础上本章将研究“投影与视图”,它是反映空间观念的重要内容,也为高中学习立体几何做好铺垫.本章教材以生活实例出发,通过对比、分析生活中的实例,引导学生理解平行投影与中心投影及正投影的概念,而物体三个方向上的正投影就是该物体的三视图,教材最后探究“由物到图”和“由图到物”,两方面结合起来,就从不同角度反映了平面图形与立体图形之间的联系.本章的知识内容不太多,在内容安排的顺序上,注重知识的发生、发展过程,注重知识间的内在联系.编写本章最主要的目的不是介绍投影与视图的知识,而是通过学习本章内容,切实发展学生的空间想象能力.本章主要内容的学习是以学生已有的生活经验为基础,通过观察、操作、想象、交流、推理等数学活动,直观地获得有关概念和性质,有效地发展学生的空间观念,由平面图形到空间图形,再由空间图形到平面图形,体验平面图形与立体图形的相互转化.【重点】通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用;会画基本几何体及简单组合体的三视图;能根据三视图描述基本几何体或实物的原型.【难点】了解基本几何体与其三视图、展开图之间的联系,通过典型实例知道这种关系在现实生活中的应用.学生的空间知识来自丰富的实物模型,与现实生活息息相关,所以在本章的教学中要重视借助直观模型或动画演示,开展多种实践活动,帮助学生克服立体几何知识不足的困难,学生在学习本章内容前缺乏对这些知识的系统学习,只是有一些感性认识,解决这个问题的比较好的做法是选择一些实例或通过课件动画展示,通过让学生观察、想象,由直观地认识结合实例了解空间关系,降低学习本章内容的难度,提高学生空间想象能力.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学,数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.关于投影和视图的知识是从实际需要(建筑、制造等)中产生的,它们与实际问题联系得非常紧密.在学习本章之前,学生已经数次接触过和几何图形有关的平面图形知识及简单立体图形,对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解,只是还没有明确地接触过一些基本名词术语,对有关基本规律还缺乏归纳总结.所以在本章的学习中,以生活实例为载体,通过让学生观察熟悉的生活实例,抽象出有关概念和性质,多组织学生进行不同形式的数学活动,在活动中促进对知识的理解,以学生的生活经验和已有的数学活动经验为基础,以具体的内容为发展空间观念的载体,积极创造自主探究与合作交流的氛围,有意识地引导学生自觉地表达自己对有关概念、结论的理解,自觉地用自己的语言说明操作的过程.32.1投影1课时32.2视图3课时32.3直棱柱和圆锥的侧面展开图1课时回顾与反思1课时32.1投影1.了解中心投影和平行投影的意义,能够对它们进行区分.2.能够确定物体的中心投影和平行投影,体会它们在生活中的应用.3.了解物体的正投影,能画出简单的平面图形的正投影.1.经历对实物进行观察、分析和探索的过程,初步感受平行投影、中心投影及正投影的意义,体会数学与生活之间的密切关系,提高学生的数学应用意识.2.通过具体的活动,发展学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的空间观念.1.通过感受日常生活中的一些投影现象,体会数学与实际生活息息相关,激发学生学习数学的兴趣.2.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,增强学好数学的信心.3.学生通过观察、思考、分析,探究出结论,培养观察能力、实践能力及归纳总结能力.【重点】通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用;能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.【难点】在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影及正投影.【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】预习教材P9092.导入一:你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”,是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术,在关中地区很为流行,深受农民的欢迎.(课件展示)类似地,物体在光线的照射下会形成影子.(课件展示)【师生活动】学生欣赏图片,教师课件展示图片,有条件的可以放映电影小兵张嘎部分片段小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏,简单介绍有关皮影戏的知识,导出本节课的课题.导入二:北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,当太阳光照在日晷中轴上产生投影,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影子的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.(课件展示) 【师生活动】教师展示图片,引入新课,学生观察思考,初步感知投影的概念.设计意图学生通过电影片段或欣赏图片,了解中国传统文化,数学课堂上渗透德育教育,通过对皮影戏和日晷的介绍,让学生体会数学在实际生活中的应用,初步感知投影的概念,为下面的学习做好铺垫.过渡语物体在光线的照射下,会在投影面上形成投影.物体的投影具有怎样的特征呢?让我们一起走入今天的知识殿堂.认识概念(课件展示)【思考1】1.灯泡的光线与探照灯的光线有什么区别?(灯泡的光线可以看做是从一点射出的,探照灯的光线可以看做是平行的)2.蜡烛的光线、太阳光线分别与哪种光线相同?(蜡烛的光线与灯泡的光线相同,太阳光线与探照灯的光线相同)3.你能举出生活中的一些实例吗?【师生活动】教师展示课件图片,学生观察思考,结合现实生活中影子的实例,小组内交流两种光线的不同,学生代表回答,教师点评,课件展示有关投影的概念.(课件展示)物体在光线的照射下,会在某个平面(墙面、地面等所在的平面)上留下它的影子,这种现象就是投影.光线是投影线,这个平面是投影面.蜡烛和灯泡的光线可以看做是从一点射出的.像这样,由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影,叫做中心投影.太阳光线和探照灯的光线可以看做是平行的.像这样,由平行光线照射在物体上所形成的投影,叫做平行投影.【思考2】观察平行投影和中心投影,它们有什么相同点与不同点?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师进行点评,共同归纳,完成表格.(课件展示)平行投影与中心投影的区别与联系区别联系光线物体与投影面平行时投影与物体之间的关系平行投影平行的投射线全等都是物体在光线的照射下,在某个平面内形成的影子(都是投影)中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)设计意图通过观察图片,感知数学概念的形成来源于生活,让学生观察、思考、分析课件展示的图片,寻找它们的异同,抽象出投影的有关概念,激发学生的求知欲望.通过交流平行投影与中心投影的区别,加深对投影的有关概念的理解和掌握.大家谈谈过渡语我们认识了中心投影与平行投影的有关概念,那么物体的摆放位置与中心投影的形状和大小有关系吗?让我们一起观察与思考.(课件展示)1.如图所示,观察正方形的中心投影.当投影面和物体的摆放位置不变时,光源距物体的远近与物体投影的大小有什么关系?2.当投影面和光源的位置不变时,物体的摆放位置与它的投影形状有什么关系?【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答,教师点评并动手演示,师生共同归纳结论.(课件展示)中心投影时,光源距物体越近,物体的投影越大, 反之越小;物体的摆放位置与它的投影形状无关.设计意图 通过观察、思考,使学生体会中心投影对物体的大小、形状的影响,发展学生合情推理及空间想象观念.一起探究过渡语我们一起探究了物体的位置与中心投影的形状和大小之间的关系,那么物体的位置与平行投影的形状和大小之间有什么关系呢?思路一 【师生活动】学生自主学习教材第91页,要求学生在自主学习过程中动手操作,画图并独立思考所提出的问题,完成画图和思考后,小组内合作交流,共同归纳结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,给学生充足的时间和空间思考交流,小组代表回答问题,其他学生质疑提问,教师点评归纳.(课件展示)1.同一时刻,同一物体的平行投影大小相同;同一时刻,不同物体的平行投影的长与物体的高的比相等.2.平行投影时,物体的摆放位置离地面的远近与它的投影的形状没有关系;物体摆放的位置不同,则它的投影的形状不同,如正方形的平行投影可能是正方形、长方形或一条线段.3.正投影:我们把投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.追加思考:1.三角形在平行投影下的形状是什么?圆呢?2.三角形的正投影是什么图形?【师生活动】学生思考回答,教师点评.思路二【思考1】(课件展示)1.如图所示,一束平行光线倾斜地照射在地面(投影面)上.教师引导思考:(1)我们站在阳光下,投影的长短是否会变化?那么立于地面上点A处的旗杆的高度与它投影的长短有什么关系?(变化,成正比)(2)如何画出物体在阳光下的投影?请你分别画出小明站在点B处和点C处时的投影(用线段表示),并比较他在这两处投影的长短.(过物体的顶端作光线的平行线,底面的交点与物体之间的线段为物体的投影,小明站在B,C两处的投影大小相等)(3)同一时刻,物体与它的投影构成的三角形之间有什么关系?旗杆高与它投影长的比,小明身高与他投影长的比,二者之间有什么关系?(相似,二者相等)【师生活动】学生在教师的引导下思考、操作、回答,师生共同归纳结论.(课件展示)结论:同一时刻,同一物体的平行投影是相同的;同一时刻,不同物体的平行投影长度与物体的高度的比相等.【思考2】(课件展示)2.如图所示,一束平行光线垂直地照射在地面(投影面)上.观察、思考并回答下列问题:(1)当正方形纸片摆放位置距离地面的远近不同时,它的平行投影的形状、大小;(2)当正方形纸片平行于投影面时,它的平行投影与正方形纸片的形状、大小; (3)当正方形纸片倾斜于投影面时,它的平行投影与正方形纸片的形状、大小; (4)当正方形纸片倾斜于投影面时,它的平行投影是.(5)根据上边探究的结论,平行投影分为几种形式?哪几种形式?(两种形式,一种为投影线倾斜于投影面,一种为投影线垂直于投影面.)【师生活动】教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流答案,对学生的答案,教师作出点评,师生共同归纳结论.(课件展示)1.平行投影时,物体的摆放位置离地面的远近与它的投影的形状没有关系;物体摆放位置不同它的投影的形状不同,如正方形的平行投影可能是正方形、长方形或一条线段.2.正投影:我们把投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.追加思考:1.三角形在平行投影下的形状是什么?圆呢?2.三角形的正投影是什么图形?【师生活动】学生思考回答,教师点评.设计意图通过观察、思考、动手实践,利用平行线构成相似三角形,使学生体会平行投影对物体的大小、形状的影响,借助多媒体展示当纸片在不同位置时,投影的形状,使学生获得直观体验.观察与思考(课件展示)如图所示,已知正方体的R面与投影面是平行的,它在投影面上的正投影是四边形ABCD.(1)四边形ABCD是什么四边形?正方体R面对面的正投影是什么图形?(2)正方体Q面和P面的正投影分别是什么图形?(3)正方体棱AB和棱AE的正投影分别是什么图形?正方体顶点A和顶点E的正投影分别是什么图形?【师生活动】学生独立思考后,小组内交流答案,学生回答问题后,教师归纳总结.(1)四边形ABCD是正方形.R面的对面的正投影是正方形.(2)Q面与P面的正投影均为线段.(3)棱AB的正投影是线段且与AB等长,棱AE的正投影是一个点;顶点A和顶点E的正投影仍是一个点.结论:点的正投影是点;线的正投影是线或点;面的正投影是面或线.设计意图通过观察、思考后,小组合作交流,体会点、线、面正投影的形状,发展学生空间观念,提高学生观察、归纳和空间想象能力及应用意识.知识拓展1.光线移动时,物体影子的大小、方向也随着变化,物体的形状与影子的形状有密切的联系.2.光是沿直线传播的,因此我们可以由投影与物体确定光线方向.3.平行投影的应用:(1)根据阳光下影子的大小、位置的变化判断时刻的不同;(2)已知一个物体及其在阳光下的影子,可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子;(3)根据物高和影长的关系可以求物高或影长.4.中心投影的应用:(1)根据点光源下两种或两种以上物体及影子的情况判断点光源的位置;(2)已知点光源的位置,可以画物体在点光源下的影子.5.当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.6.只有在平行投影中,才会出现正投影.正投影是光线与投影面的关系,与物体的摆放位置无关.人们在实际作图中,经常采用正投影.1.什么是平行投影、中心投影、正投影?2.平行投影和中心投影的区别与联系:区别联系光线物体与投影面平行时投影与物体之间的关系平行投影平行的投射线全等都是物体在光线的照射下,在某个平面内形成的影子(都是投影)中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)3.物体的位置与它的平行投影、中心投影之间的关系.4.点、线、面的正投影的形状.1.平行投影中的光线是()A.平行的B.聚成一点的C.不平行的D.向四面八方发散的解析:平行投影中的光线是平行的.故选A.2.下列投影中属于中心投影的是()A.阳光下跑动的运动员的影子B.阳光下木杆的影子C.阳光下汽车的影子D.路灯下行人的影子解析:中心投影的光源为灯光,平行投影的光源为阳光与月光,在各选项中只有D选项得到的投影为中心投影.故选D.3.如图所示,箭头表示投影的方向,则图中圆柱体的正投影是()A.圆B.矩形C.梯形D.圆柱解析:圆柱的正投影是矩形.故选B.4.小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如图所示,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2 m,又测得CE=0.8 m,CA=30 m(点A,E,C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7 m,请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m).解:如图所示,过点D作DGAB,分别交AB,EF于点G,H,则EH=AG=CD=1.2,DH=CE=0.8,DG=CA=30.EFAB,=.由题意得FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5.=,解得BG=18.75.AB=BG+AG=18.75+1.2=19.9520.0.楼高AB约为20.0 m.32.1投影认识概念大家谈谈一起探究观察与思考一、教材作业【必做题】教材第92页习题A组的1,2,3题.【选做题】教材第93页习题B组的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示的投影不是中心投影的是()ABCD2.如图所示,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到B处这一过程中,他在地上的影子()A.逐渐变短B.逐渐变长C.先变短后变长D.先变长后变短3.如图所示的是一根电线杆在一天中不同时刻的影长,试按其一天中发生的先后顺序排列,正确的是()A.B.C.D.4.如图所示的圆台的上下底面与投影线平行,圆台的正投影是()A.矩形B.两条线段C.等腰梯形D.圆环5.下列叙述正确的是()A.圆锥的正投影是圆或等腰三角形B.圆柱的正投影是矩形或圆C.球的正投影是圆D.正方体的正投影是正方形6.如图所示,小华为了测量所住楼房的高度,她请来同学帮忙,测得同一时刻她自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米,已知小华的身高为1.6米,那么她所住楼房的高度为米.(第6题图)(第7题图)7.如图所示,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,ABCD,AB=2 m,CD=6 m,点P到CD的距离是2.7 m,则AB与CD之间的距离是m.8.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图所示,他在某一时刻立1米长的标杆,测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为米.9.如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m.(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计算DE的长.10.某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD,某一时刻在太阳光下,木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上.(1)你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF;(2)若AB=5米,CD=3米,CD到PQ的距离DQ的长为4米,求此时木杆AB的影长.【能力提升】11.(2016北京中考)如图所示,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m,已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为m.12.如图所示,光源L距地面(LN)8米,距正方体大箱顶端(LM)2米,已知,在光源照射下,箱子在左侧的影子BE长5米,求箱子在右侧的影子CF的长.(箱子棱长为6米)【拓展探究】13.如图所示,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当她行到P处时发现,她在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着她又走了6.5米到Q处,此时她在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米).(1)指出王琳站在P处在路灯B下的影子;(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长;(3)计算路灯A的高度.【答案与解析】1.D(解析:分别连接头顶和影子的端点,A,B,C中的两条光线交于一点,是中心投影,D中的两条光线平行,是平行投影.)2.C(解析:因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程,所以他在地上的影子先变短后变长.)3.B(解析:对于北半球而言,从早晨到傍晚影子的指向是:西西北北东北东,影长由长变短,再变长.根据题意,太阳是从东方升起,故影子指向的方向为西方,然后依次为西北北东北东,故分析可得先后顺序为.故选B.)4.C(解析:根据题意,圆台的上下底面与投影线平行,则圆台的正投影是该圆台的轴截面.)5.C(解析:圆锥、圆柱的正投影都有可能是椭圆,故A,B不正确;球的正投影永远是圆,故C正确;正方体的正投影还有可能是线段,故D不正确.)6.48(解析:如图所示,易证ABCDEF,有ACBC=DFEF,由题意知AC=1.6米,BC=0.5米,EF=15米,所以DF=48米.)7.1.8(解析:ABCD,PABPCD,ABCD=P到AB的距离点P到CD的距离,26=P到AB的距离2.7,P到AB的距离为0.9 m,所以AB与CD之间的距离为2.7-0.9=1.8 (m).)8.10(解析:如图所示,作DEAB于点E,根据题意得=,即=,解得AE=8(米),则AB=AE+BE=8+2=10(米),即旗杆的高度为10米.)9.解:(1)如图所示,连接AC,过点D作DFAC,交地面于点F,连接EF,则线段EF即为DE的投影.(2)ACDF, ACB=DFE.ABC=DEF=90,ABCDEF,=,即= DE=10(m).10.解:(1)如图所示.(2)设木杆AB的影长BF为x米,由题意得=,解得x=.答:木杆AB的影长是米.11.3(解析:如图所示,由题意知小军、小珠的身高都与影长相等,所以E=F=45,所以AB=BE=BF,设路灯的高AB为x m,则BD=(x-1.5)m,BC=(x-1.8)m,又CD=2.7 m,所以x-1.5+x-1.8=2.7,解得x=3(m).)12.解:四边形DEFG是正方形,LNBC,DGEF,MN=DE=FG,四边形DENM与四边形MNFG是矩形,DLMBLN,=,DM=米,MG=DG-DM=6-=(米),同理,=,FC=13米.箱子在右侧的影子CF的长为13米.13.解:(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子.(2)由题意得RtCEPRtCBD, =,=,解得QD=1.5(米).故王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米.(3)由题意知RtDFQRtDAC, =, =,解得AC=12(米).答:路灯A的高度为12米.本节课由学生感兴趣的皮影戏和日晷导出课题,让学生了解中国文化,体会数学与生活之间的联系,激发学生的学习兴趣.通过观察现实生活中的不同的影子,直观地认识中心投影和平行投影,并了解不同投影之间的区别和联系,加深对投影概念的理解.让学生根据已有的生活经验独立思考、分析中心投影与平行投影与物体位置之间的关系,然后小组内合作交流,师生共同归纳结论,进一步培养学生抽象、概括能力,发展学生的空间想象能力.最后在教师提出的问题的引导下,加强学生对正投影下正方体中点、线、面的投影的认识.整节课的教学设计思路清晰,目标明确,学生思维活跃,充分体现了学生在课堂上的主体性.本节课的主要内容是投影的意义及生活中的应用,通过联系生活实际,观察、思考、交流、归纳等数学活动,感知平行投影、中心投影及正投影的概念和有关性质,课堂上学生气氛活跃,回答问题积极,但是在“一起探究”活动中,学生缺乏空间想象能力,没有给学生足够的时间和空间思考和交流,造成对抽象概括投影与物体位置之间的关系的理解有困难.在以后教学中,应注重培养学生空间想象及抽象概括能力,多给学生相互交流的时间和空间.本节课的重点是理解和掌握投影的有关概念及在实际问题中的应用,以生活实际问题中的影子引出本节课的课题,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生的好奇心和求知欲.以学生举出的与影子有关的生活实例抽象出平行投影和中心投影的概念,并归纳两者的区别和联系,培养学生的观察能力和实践能力.通过观察、思考、画图、交流等数学活动,师生共同探究物体位置与投影之间的关系,加深对概念的理解和掌握,提高学生的分析能力和解决问题的能力,发展学生空间想象能力.练习(教材第92页)1.解:如图所示,线段AB是小树的投影.2.解:如图所示,线段AB表示小明,BC表示小明的影子.习题(教材第92页)A组1.解:如图所示,线段AB是标杆的投影.2.解:如图所示,线段AB是乙杆的投影.3.提示:为一个矩形.B组1.提示:为一个正方形.2.解:(1)如图所示,折线EG-GM是旗杆在阳光下的影子.(2)过点M作MNDE于点N,设旗杆的影子落在墙上的长度MG为x m,则NE=x m,DN=(15-x)m,MN=EG=17.7 m,根据“同一时刻,阳光下的物高与影长成比例”得=,即=,解得x=3.2,所以旗杆的影子落在墙上的长度为3.2 m.重视空间图形与平面图形之间的联系1.数学是以数量关系和空间形式为研究对象的学科,数量关系和空间形式都是从现实世界中抽象出来的,投影是从实际需要(建筑、制造等)中产生的,它们与实际生活紧密相连.教科书从学生熟悉的生活经验出发,引出投影现象的概念,让学生体会数学与生活的联系,激发学生学习兴趣.以物体在太阳光和灯光下的影子的不同,引出平行投影、中心投影的概念,让学生感受数学来源于生活.2.客观世界一般是立体图形,它的投影是平面图形,由物体产生的投影是将立体图形转化为平面图形的过程,认识平面图形与立体图形之间的联系,对培养学生空间观念非常重要.在教学设计中,学生虽然在前边接触过立体图形,但空间想象能力还比较差,所以在课堂上多给学生思考和交流的时间和空间,让学生相互交流、共同得出结论.通过展示自己,体验成功的快乐,让学生真正成为课堂的主体,人人学有价值的数学.如图(1)所示,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,求路灯A的高度AB是多少.解析:由于人和地面是垂直的,即和路灯到地面的垂线平行,故可以构成两组相似三角形.根据对应边成比例,列方程解答即可. 解:如图(2)所示,GCBC,ABBC,GCAB,GCDABD, =.设BC=x,则 =.(1)(2)同理,HEFABF,=,即 =, =,x=3(已检验), =,= ,AB=6(已检验).答:路灯A的高度AB是6米.32.2视图1.了解视图(主视图、俯视图、左视图)的概念,会判断简单物体的视图.2.会画正方体及其简单组合体、直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图和俯视图.3.会根据视图描述几何体或实物原型,体会几何体与其视图间的联系,了解视图在现实生活中的应用.1.通过操作、观察、猜想、交流等数学活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.2.通过画正方体及其简单组合体、直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图,实现立体图形到平面图形的转化.3.经历探索简单的几何体的三视图的还原,进一步发展空间想象能力. 4.通过观察探究等活动使学生能根据物体的三视图还原出物体的形状,进一步认识物体与其三视图之间的关系.1.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,养成细致、严谨的态度.2.培养学生自主学习与合作的学习方式,使学生体会从生活中发现数学的能力.3.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的热情.4.在探究三视图向立体图形转化的过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力及空间想象能力.【重点】理解三视图的概念;会画简单物体的三视图;能根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.【难点】对三视图概念理解的升华及画实物的三视图;根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.第课时1.了解视图(主视图、俯视图、左视图)的概念,会判断简单物体的视图.2.会画正方体及长方体、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图和俯视图.1.通过感受从不同方向观察同一物体可能看到不一样的结果,培养学生全面观察的能力.2.通过操作、观察、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.1.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识.2.培养学生自主学习与合作的学习方式,使学生体会从生活中发现数学的能力.3.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的热情.【重点】理解三视图的概念;会画简单的三视图.【难点】对三视图的概念的理解的升华及正确画简单物体的三视图.【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】预习教材P9498.导入一:(课件展示)“横看成岭侧成峰,远近高低各不同.不识庐山真面目,只缘身在此山中”.从我们熟悉的这首古诗中,你能得到什么启示?【师生活动】教师展示图片,学生结合图片赏析古诗,思考并回答问题,教师点评,导出课题.过渡语这首诗教会了我们怎样观察物体横看、侧看、近看、身处其中看,从不同方向看庐山,我们欣赏到不同的美景.导入二:(课件展示)某次军事演习中展示了我国不少先进的武器,下图是一架飞机及各角度展示的图片,你能发现是从哪几个角度展示的吗?【师生活动】学生观察回答,教师点评,导出新课.【导入语】我们要反映一个物体的形状,一般从多个方面观察,才得到物体的形状,如上图所示,从三个方向反映了飞机飞行的形状,这就是我们这节课要研究的物体的三视图.导入三:复习提问:1.什么是物体的正投影?2.你知道正方体、球的正投影是什么形状的图形吗?【师生活动】学生思考回答,教师点评,并导入新课.设计意图教师从学生熟悉的古诗入手,感受从多个角度认识物体,引出本节课课题,激发学生的学习兴趣;由三个方向反映飞机的形状及复习提问正投影的有关概念,为理解本节课的三视图埋下伏笔.过渡语在工程设计中,立体图形的形状往往是以平面图形来刻画的.借助正投影,可实现立体图形和平面图形之间的相互转化.观察与思考(课件展示)1.如图所示,左边几何体的正投影(1),(2),(3)分别是从几何体的哪个方向上得到的?【师生活动】学生观察、思考、回答,初步感受物体的三视图,教师点评.(课件展示)2.如图所示,对于给出的几何体,思考并回答下列问题:(1)对于(2),(3)这两个几何体,只从它们上面的正投影,我们能确定这两个几何体的形状吗?(2)对于(1),(3)这两个几何体,只从它们正面和左面的正投影,我们能确定这两个几何体的形状吗?(3)对于这三个几何体,分别从它们的正面、左面和上面的正投影,我们能确定这三个几何体的形状吗?教师引导分析:1.图(1)中几何体从正面的正投影是,从左面的正投影是,从上面的正投影是.图(2)中几何体从正面的正投影是,从左面的正投影是,从上面的正投影是.图(3)中几何体从正面的正投影是,从左面的正投影是,从上面的正投影是.2.图(2),(3)这两个几何体,上面的正投影,所以只从它们上面的正投影,我们不能确定这两个几何体的形状.3.图(1),(3)这两个几何体,正面和左面的正投影,所以只从它们正面和左面的正投影,我们不能确定这两个几何体的形状.4.这三个几何体,分别从它们的、的正投影,我们能确定这三个几何体的形状和大小.【师生活动】学生在教师的引导下,观察、思考、交流、回答,教师作出点评,归纳三视图的有关概念.过渡语一般地,用几何体的正面、左面和上面三个不同方向上的正投影,就可以刻画出这个几何体的形状与大小了.(课件展示)一个几何体的正投影,又叫做这个几何体的视图.从正面得到的视图叫做主视图,从上面得到的视图叫做俯视图,从左面得到的视图叫做左视图.(课件展示)我们约定面对几何体的一面为几何体的正面,由左向右方向的一面为几何体的左面,竖直向下方向的一面为几何体的上面.如图(1)所示的这个几何体的主视图、俯视图和左视图如图(2)所示.设计意图以简单的基本几何体为例,学生在教师的引导下观察、思考、交流,感悟确定一个几何体的形状和大小需要三个方向的正投影,归纳三视图的概念,进一步发展学生的空间思维,激发学生学习数学的求知欲.例题讲解(课件展示)(教材第95页例1)画出如图所示的圆柱的主视图、俯视图和左视图.【师生活动】学生独立完成画三视图的过程,小组内交流答案,小组代表板书展示,教师点评.(板书)解:如图所示.追问:1.圆柱的主视图中长方形的长和宽与圆柱之间有什么关系?2.圆柱的左视图中长方形的长和宽与圆柱之间有什么关系?3.圆柱的俯视图中圆与圆柱之间有什么关系?4.你能归纳画一个几何体的三视图的一般步骤吗?【师生活动】学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表发言展示,教师给学生时间和空间,让他们用自己的语言描述、归纳,最后师生共同归纳结论.(课件展示)1.圆柱的主视图是一个长方形,长方形的长和宽分别等于圆柱的高和圆柱底面圆的直径;它的俯视图是一个圆,圆的直径等于圆柱底面圆的直径;它的左视图也是一个长方形,长方形的长和宽分别等于圆柱的高和圆柱底面圆的直径.2.画几何体的三视图的步骤:(1)确定主视图的位置,画出主视图;(2)在主视图正下方画出俯视图,注意与主视图“长对正”.(3)在主视图正右方画出左视图,注意与主视图“高平齐”,与俯视图“宽相等”.设计意图通过画三视图,使学生进一步加深对三视图的理解,充分认识视图与物体形状的联系,体验三视图的形成过程,提高学生观察、操作能力及归纳总结能力,进一步培养空间观念.做一做1.如图所示,已知圆锥的主视图和左视图,请再画出这个圆锥的俯视图.2.如图所示,请画出球的主视图、俯视图和左视图.【师生活动】学生独立完成,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评.设计意图通过做一做,进一步巩固常见几何体的三视图的画法,体会立体图形与平面图形之间的转化,提高空间想象能力.知识拓展1.三个视图分别从不同方向表示物体的形状,单独一个视图难以全面地反映物体的形状,三者合起来才能较全面地反映物体的形状.2.对于同一个物体,观察的角度不同,所得到的视图也不同.3.俯视图在主视图的下方,左视图在主视图的右边,画三视图时,三个视图要放在正确的位置,不能随意乱放.三视图之间要保证“长对正、高平齐、宽相等”,这三个关系是看图与画图的基本规律.一般情况下,一个视图不能确定物体的空间形状,看图时必须将各视图对照起来看,这样才能看清物体的全貌.1.什么是视图?什么是主视图、左视图和俯视图?2.物体的三个视图的位置和大小有什么关系?3.画物体的三视图的一般步骤及注意事项是什么?1.(2016漳州中考)下列几何体中,左视图为圆的是()ABCD解析:A中图形的左视图是长方形;B中图形的左视图是等腰三角形;C中图形的左视图是圆;D中图形的左视图是正方形.故选C.2.在长方体、球、圆锥、圆柱这四种几何体中,其主视图、左视图、俯视图都完全相同的是.(填序号)解析:长方体的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图也是长方形,但是长方形的边长不一样长;球的主视图、左视图、俯视图都是圆;圆锥有两个视图是三角形,一个视图是带圆心的圆;圆柱有两个视图是长方形,一个视图是圆.故填.3.画出如图所示的一些基本几何体的三视图.解:三视图如图所示.第1课时观察与思考例题讲解做一做一、教材作业【必做题】教材第96页习题A组的1,2,3题.【选做题】教材第97页习题B组的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下面四个立体图形中,主视图是三角形的是()ABCD2.下列立体图形中,俯视图是正方形的是()ABCD3.如图所示的几何体的俯视图是()4.下列几何体,主视图和俯视图为矩形的是()ABCD5.写出一个在三视图中,俯视图和主视图一定完全相同的几何体:.6.长方体的主视图和左视图如图所示(单位: cm),则其俯视图的面积是.【能力提升】7.将如图所示放置的一个直角三角形ABC(C=90),绕斜边AB旋转一周所得到的几何体的主视图是四个图形中的(只填序号).8.画出如图所示的立体图形的三视图.【拓展探究】9.一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时,把由圆锥与圆柱组成的几何体(如图所示,圆锥放置在圆柱上底面正中间)摆在讲桌上,请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图(从正面、左面、上面看得到的视图).【答案与解析】1.C(解析:A中主视图、左视图是矩形,俯视图是圆,故A错误;B中主视图、左视图、俯视图都是圆,故B错误;C中主视图、左视图都是三角形,俯视图是带圆心的圆,故C正确;D中主视图、俯视图、左视图都是矩形,故D错误.)2.A(解析:A的俯视图是正方形,故A正确;B的俯视图是圆,故B错误;C的俯视图是圆,故C错误;D的俯视图是带圆心的圆,故D错误.)3.B(解析:从上面看到的图形是两个长方形,并且看到的棱在俯视图中画实线.故选B.)4.D(解析:A中图形的主视图是矩形,俯视图是圆,故A错误;B中图形的主视图是三角形,俯视图是带圆心的圆,故B错误;C中图形的主视图是圆,俯视图也是圆,故C错误;D中图形的主视图是矩形,俯视图是矩形,故D正确.)5.球或正方体(解析:球的俯视图与主视图都为圆;正方体的俯视图与主视图都为正方形.)6.6 cm2(解析:由长方体的主视图和左视图可知这个长方体的高是4 cm,底面长是3 cm,底面宽是2 cm,长方体的俯视图就是其底面的图形,是长是3 cm,宽是2 cm的长方形,它的面积=32=6(cm2).故填6 cm2.)7.(2)(解析:直角三角形ABC(C=90),绕斜边AB旋转一周所得到的几何体是同底的两个圆锥体,因为ACBC,所以它的主视图是两个同底的等腰三角形,并且上边三角形的腰大于下边三角形的腰.故填(2).)8.解:如图所示.9.解:三视图如图所示.本节课通过学生熟悉的古诗引出课题,让学生感受从不同方向看物体的形状不同,激发学生的学习兴趣.通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,得到对于一个几何体,分别从正面、左面、上面的正投影能确定一个几何体的形状,很自然地引出三视图的概念,并通过课件,观察几何体三视图,体会立体图形与平面图形之间的关系.通过画三视图,使学生进一步加深对三视图的理解,充分认识视图与物体形状的联系,体验三视图的形成过程,提高学生观察、操作能力及归纳总结能力,进一步培养空间观念.在整节课中,学生积极参与,课堂气氛活跃,发挥了学生在课堂上的主体作用.在本节课的教学设计中,通过教师的课件展示和问题的引导,以学生活动为主,通过自主学习、观察思考、合作交流、归纳结论等数学活动,让学生亲自经历知识的形成过程,达到真正理解和掌握三视图的目的,但在实际操作中,由于部分学生空间想象能力较差,几何体的三视图画得并不是很正确,在以后教学中要加强对学生的空间想象能力的培养,多给学生交流的时间和空间.本节课的重点是探索物体三个视图之间的关系,并能画出物体的三视图,以学生熟悉的生活实例导出本节课课题,体会数学与生活之间的联系.通过观察、思考、交流,体会物体需要从三个方向的正投影,才能确定物体的形状和大小,很自然地引出视图、三视图的概念.通过师生共同探究圆柱体的三视图,给学生足够的时间和空间讨论交流三个视图之间的位置关系及大小关系,归纳出“长对正,高平齐,宽相等”的结论,从而非常容易地归纳出画三视图的具体步骤.在整个教学设计中,让学生经历知识的形成过程,达到提高学生数学思维、培养学生能力的目的.练习(教材第96页)1.解:图(2)是领奖台的主视图.2.解:如图所示.习题(教材第96页)1.解:如图所示.2.解:如图所示. 3.解:如图所示.B组1.解:(1)有,如圆柱、圆锥等.(2)有,如球、正方体.2.解:如图所示.以学生活动为主,经历知识的形成过程1.本节课的重点在学习投影的基础上探究几何体的三视图,在探究新知的过程中,注重发挥学生的积极主动性和参与性,注重学生在教学活动中自主探索、合作交流,如通过小组活动,让学生自己体会从不同方向看同一个物体得到不同的结果,发展学生空间观念.学生在探究三视图的过程中,通过观察、思考、交流、操作等数学活动,让学生参与其中,亲身体验概念的形成过程,使学生快乐、轻松的成为学习的主人,体会获得成功的喜悦.2.通过开展小组合作学习等数学活动,可以提高学生的合作参与意识,培养学生善于倾听他人意见和帮助别人共同提高的品质.在数学活动中要给学生充足的时间进行反思,学生学习能力的培养不仅能使学生扎实有效地理解和掌握最基础的知识及基本的数学技能,而且也能培养学生的数学应用意识和能力,给不同层次的学生创设学好数学的氛围,特别是更有利于培养学生善于探索、勇于创新的精神.(2015泸州中考)如左下图所示的几何体的左视图是()解析:从几何体的左面看是一个矩形,几何体的左视图是矩形.故选C.(2015江西中考)如图所示的几何体的左视图为()解析:该几何体的左视图由上、下两个长方形组成的,看到的棱在左视图中画实线.故选D.第课时1.会画直棱柱及简单组合体的主视图、左视图和俯视图.2.明确画几何体的三视图的一般规则.1.通过画直棱柱和简单几何体的三视图,培养学生动手画图能力及全面观察的能力.2.通过直观感知、动手操作,提高学生的空间想象能力,培养学生的应用意识.3.通过操作、观察、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.1.培养学生自主学习与合作的学习方式,使学生体会从生活中发现数学的能力.2.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体会成功的喜悦,激发学生学习数学的热情.【重点】画直棱柱及简单组合体的主视图、左视图和俯视图.【难点】画几何体的三视图的一般规则.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P9798.导入一:复习提问:1.什么是主视图、俯视图、左视图?2.画几何体的三视图的注意事项是什么?(“长对正”“高平齐”“宽相等”)3.常见的几何体长方体、圆柱、圆锥、球体的三视图分别是什么?【师生活动】学生回答,教师点评.导入二:动手操作:1.如图(1)所示,教师将长方体粉笔盒放在讲桌上,请学生画出它的三视图.2.如图(2)所示,教师将圆柱形水杯放在粉笔盒上,请学生画出它的三视图.(1)(2)【师生活动】学生独立完成画图,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评并导出本节课课题.设计意图通过复习三视图的有关概念及画法,为本节课的学习做好铺垫.以身边的实物组成几何体,让学生画出它的三视图,很自然地导出新课重点,并激发学生的学习兴趣,让学生体会到生活中处处有数学.过渡语长方体粉笔盒就是一个直棱柱,我们把两个底面平行、棱垂直于底面的棱柱,叫做直棱柱.在没有特殊说明的情况下,以后所指棱柱都是直棱柱.让我们一起学习画直棱柱的三视图吧!观察与思考(课件展示)如图所示的为底面是等边三角形的三棱柱,请你画出三棱柱的三视图.思路一【师生活动】学生独立完成画图,小组内交流答案,小组代表板书,对学生画出主视图中没有画出虚线的三视图,教师引导学生提出质疑,师生共同在改错的过程中体会画三视图的规定:三棱柱的主视图中有一条线看不见,应画成虚线.教师展示正确的答案.(板书)解:如图所示.思路二(课件展示)小明画出的三棱柱的主视图、俯视图和左视图如图所示.你认为他画的视图能完全反映三棱柱的特征吗?【师生活动】学生思考回答,对不能发现问题的学生教师加以引导,师生共同改正小明画出主视图中的错误,并课件展示正确结果.(课件展示)这个三棱柱的主视图中有一条线看不见,应画成虚线,如图所示.设计意图通过一个错误的视图,使学生在互相交流并引发深入思考的前提下,感受在画三视图时的规定的合理性,培养学生的合作精神及探究意识.例题讲解(课件展示)(教材第98页例2) 如图所示,分别画出四棱柱(左、右两个面为正方形)和蒙古包模型(上部是圆锥,下部是圆柱)的主视图、俯视图和左视图.【师生活动】学生独立完成后,学生代表板书,其余学生小组内交流答案,教师给学生充足的时间交流、改错,同时在巡视中帮助有困难的学生,对学生的板书进行点评.(板书)解:如图所示.设计意图通过例题,进一步掌握直棱柱及简单组合体的三视图的画法,让学生体会生活中的实物与平面图形之间的转
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