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专题六 二次函数中存在性问题二次函数中存在性问题是贵阳中考必考内容，近5年共考了4次，主要与几何图形结合起来考查，且都以解答题形式出现，分值12分预计2017年贵阳中考对二次函数存在性问题仍会考查，且涉及到的内容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面积最值、特殊四边形等存在性问题,中考重难点突破) 相似三角形存在性问题【经典导例】【例1】(2016贵阳模拟)如图，已知抛物线经过A(2，0)，B(3，3)及原点O，顶点为C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为点M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)由于抛物线经过A(2，0)，B(3，3)及原点O，用待定系数法即可求出抛物线的表达式； (2)根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；(3)分两种情况讨论，AMPBOC，PMABOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标. 【学生解答】解：(1)yx2 2x；(2)当AO为平行四边形的边时，DEAO，DEAO，由A(2，0)知：DEAO2, 若D在对称轴直线x1左侧， 则D横坐标为3，代入抛物线表达式得D1(3，3), 若D在对称轴直线x1右侧， 则D横坐标为1，代入抛物线表达式得D2(1，3). 综上可得点D的坐标为(3，3)或(1，3)；(3)存在理由如下：B(3，3)，C(1，1), 根据勾股定理得：BO218，CO22，BC2 20, BO2CO2BC2 , BOC是直角三角形， 假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似， 设P(x，y)，由题意知x0，y0，且yx2 2x, 若AMPBOC，则， 即， 故x23(x22x)，得：x1，x22(舍去). 当x时，y，即P(，)；若PMABOC，则， 即，故x2 2x3(x2), 得：x13，x22(舍去)，当x3时，y15，即P(3，15). 故符合条件的点P有两个，分别是(，)或(3，15) 1(2017预测)如图，已知抛物线yax2bxc的顶点D的坐标为(1，)，与y轴的交点C的坐标为(0，3)，与x轴交于点A，B(A在B的左侧)(1)求抛物线的表达式；(2)若过点A的直线l平分ABC的面积，求直线l的表达式；(3)点P从点A出发，沿点A向点B运动，运动速度为每秒2个单位，同时点Q从B出发沿BC向点C运动，运动速度为每秒1个单位，连接PQ，运动时间为t.当其中一个点到达终点时，另一个点立即停止运动求当PBQ与ABC相似时t的值 解：(1)x2x3；(2)令yx2x30，解得x12，x24，点A(2，0)，点B(4，0)设BC的中点为E，则点E的坐标为(2，)直线l过点A，且平分ABC的面积，直线l过点A和点E，设直线l的表达式为ykxb，将点A(2，0)，点E(2，)代入得解得直线l的表达式为yx；(3)A(2，0)，B(4，0)，C(0，3)，AB6，BC5.点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，BP62t，BQt.PBQABC，若时，PBQABC或时，QBPABC，当时，则，解得t；当时，则，解得t.综上所述，PBQ与ABC相似时，t的值为或. 2(2015西宁中考)如图，抛物线yx2x2交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到FEC，连接BF.(1)求点B，C所在直线的函数表达式；(2)求BCF的面积；(3)在线段BC上是否存在点P，使得以P，A，B为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)直线BC的表达式为yx2；(2)BCF的面积为10；(3)存在分两种情况讨论：如图，过A作AP1y轴交线段BC于点P1，则BAP1BOC.点A的坐标为(2，0)，点P1的横坐标是2；点P1在点BC所在的直线上，yx2221，点P1的坐标为(2，1)；如图，过点A作AP2BC于点P2，过点P2作P2Qx轴于点Q.BAP2BCO，解得AP2，BP2；SAP2BABQP2AP2BP2，2QP2，解得QP2，点P2的纵坐标是；点P2在BC所在直线上，x，点P2的坐标为(，)，满足条件的P点坐标为(2，1)或(，) 等腰三角形存在性问题【经典导例】【例2】如图，已知直线y3x3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线yx2bxc经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)(1)求抛物线的表达式； (2)求ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标【解析】(1)根据直线表达式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线表达式，可得出b，c的值，求出抛物线表达式；(2)由(1)求得的抛物线表达式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；(3)根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为(1，m)，分三种情况讨论，MABA；MBBA；MBMA，求出m的值后即可得出答案【学生解答】解：(1)抛物线表达式为yx22x3；(2)SABCACOB436；(3)存在，理由如下：抛物线的对称轴为直线x1，假设存在M(1，m)满足题意，讨论：当MAAB时，OA1，OB3，AB，解得m，M1(1，)，M2(1，)；当MBBA时，解得m10，m26，M3(1，0)，M4(1，6)(不符合题意舍去)；当MAMB时，解得m1，M5(1，1)，故共存在4个点M1(1，)，M2(1，)，M3(1，0)，M5(1，1)使ABM为等腰三角形3(2015贵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A(0，6)和点C(6，0)(1)求抛物线的表达式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于B，试判断ABC的形状(钝角三角形、直角三角形或锐角三角形) 解：(1)抛物线的表达式为yx25x6；(2)ABC为锐角三角形 直角三角形存在性问题【经典导例】【例3】(2016贵阳中考说明) 如图，抛物线yax2bx4a经过A(1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的表达式；(2)已知点D(m，m1)在第一象限的抛物线上，连接CD，BD，把BCD沿BC折叠，求点D的对应点D的坐标；在抛物线上是否存在点P，使得DDP是以DD为一直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)把A(1，0)，C(0，4)两点的坐标代入yax2bx4a，根据待定系数法可得这个抛物线的表达式；(2)将点D(m，m1)代入yx23x4中，得到D点坐标，根据等腰直角三角形的判定可得OBC是等腰直角三角形，根据折叠的性质进一步得到点D的对应点D的坐标；存在满足条件的点P.过点D作DEBC交x轴于点E，交抛物线于点P1，根据待定系数法可得直线DE的表达式，联立方程组可得点P1的坐标；过点D作DFBC交y轴于点F，交抛物线于点P2，根据待定系数法可得直线DF的表达式，联立方程组可得点P2的坐标【学生解答】解：(1)yx23x4；(2)如图，将点D(m，m1)代入yx23x4中，得：m23m4m1，化简得：m22m30，解得m11(舍去)，m23；D(3，4)，CDx轴，DCO90，由B(4，0)，C(0，4)可得：OBOC4，即OBC是等腰直角三角形，得：OCBDCB45；把BCD沿BC折叠，点D的对称点D落在y轴上，且CDCD3，ODOCCD1，则点D的坐标为(0，1)；存在满足条件的点P.如图，过D作DEBC交x轴于点E，交抛物线于点P1.DDBC，DDP190，ODE为等腰直角三角形，则E(1，0)，设直线DE的表达式为yk1xb1，依题意得解得直线DE的表达式为yx1.由得过D作DFBC交y轴于点F，交抛物线于点P2.DDBC，DDDF，DDP290，CDF为等腰直角三角形，则F(0，7)，设直线DF的表达式为yk2xb2，依题意得解得直线DF的表达式为yx7.由得(不符合题意舍去)故在抛物线上存在点P，使得DDP是以DD为一直角边的直角三角形，点P的坐标为(2，1)或(2，1)或(1，6) 4(2016原创)如图，抛物线yx2mxn与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A(1，0)，C(0，2)(1)求抛物线的表达式；(2)判断ACD的形状，并说明理由；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由 解：(1)抛物线的表达式为yx2x2；(2)ACD是等腰三角形，理由如下：抛物线yx2x2的对称轴为直线x，点D(，0)A(1，0)，C(0，2)，AC，AD1，CD，ADCDAC，ACD是等腰三角形；(3)存在令抛物线yx2x20，得x11，x24，点B的坐标为(4，0)，则BC2，如图，取BC的中点为S，则点S的坐标为(2，1)设对称轴上存在点P(，t)，使得PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，则PSBC，即(2)2(t1)25，解得t11，t21，存在这样的点P满足条件，其坐标为(，1)或(，1) 面积最值存在性问题【经典导例】【例4】(2015安顺中考)如图，抛物线yax2bx与直线AB交于点A(1，0)，B(4，)点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点(不与点A，B重合)，直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD. (1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为m，ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标【解析】(1)将抛物线上两点A，B的坐标分别代入抛物线表达式列方程组求解即可；(2)先根据直线过A，B两点列方程组并求出直线表达式，再用m表示出C，D两点的纵坐标得线段CD的长，由图可知，SSACDSBCD，根据三角形面积公式可得S关于m的二次函数，利用配方法求出S最大时m的值即可计算此时C点的坐标【学生解答】解：(1)抛物线的表达式为yx22x；(2)设直线AB为ykxd，则有解得yx.则D(m，m22m)，C(m，m)，CD(m22m)(m)m2m2.S(m1)CD(4m)CD5CD5(m2m2)m2m5.0，抛物线开口向下故当m时，S有最大值当m时，m，点C(，)当S取最大值时的点C的坐标为(，) 5(2016白银中考)如图，已知抛物线yx2 bxc经过A(3，0)，B(0，3)两点(1)求此抛物线的表达式和直线AB的表达式；(2)如图，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/s的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/s的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t s，当t为何值时，AEF为直角三角形？(3)如图，取一根橡皮筋两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由 解：(1)直线AB的表达式为yx3，抛物线的表达式为yx22x3；(2)OAOB3，BOA90，EAF45，设运动时间t s，则AFt，AE3t；()当EFA90时，在RtEAF中，cos45，即.解得t1.()当FEA90时，在RtAEF中，cos45，即.解得t.综上所述，当t1或t时，AEF是直角三角形；(3)存在过点P作PNy轴，交直线AB于点N，交x轴于点D，过点B作BCPN于点C.设点P(x，x22x3)，则点N(x，x3)，PNx22x3(x3)x23x，SABPSBPNSAPNPNBCPNAD(x23x)x(x23x)(3x)(x)2，当x时，ABP的面积最大，最大面积为，此时点P(，) 特殊四边形存在性问题【经典导例】【例5】如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，矩形OABC的边长OA，OC分别为12 cm，6 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线yax2bxc经过点A，B，且18ac0. (1)求抛物线的表达式；(2)如果点P由点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向终点C移动；移动开始后第t s时，设PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由【解析】(1)由OA的长从而求出点A的坐标，代入表达式得c12，再与18ac0联立从而求出a的值，再利用对称轴为直线x3求得b的值，继而求得二次函数的表达式；(2)由题意得APt1PB6t，QB2t，所以SPBBQ(6t)2tt26t(0t6)；由S与t的函数关系式可得到S的最大值，当以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形时，要分三种情况加以讨论【学生解答】解：(1)由题意知点A的坐标为(0，12)，c12，又18ac0，a，ABOC且ABOC6，抛物线的对称轴是直线x3，x3，b4，抛物线的表达式为yx24x12；(2)由题意得APt，PB6t，QB2t，SPBBQ(6t)2tt26t，t的取值范围：0t6；St26t(t3)29，当t3时，S取最大值为9，这时点P的坐标为(3，12)，点Q的坐标为(6，6)，若以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，有以下三种情况：()当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标为(3，18)，将(3，18)代入抛物线的表达式中，满足表达式，所以存在，点R的坐标就是(3，18)；()当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标为(3，6)，将(3，6)代入抛物线的表达式中，不满足表达式，所以点R不满足条件；()当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标为(9，6)，将(9，6)代入抛物线的表达式中，不满足表达式，所以点R不满足条件综上所述，点R坐标为(3，18) 6(2016安顺中考)如图，抛物线经过A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PAPC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)抛物线的表达式为：yx22x；(2)由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求设直线BC的表达式为ykxb1，由题意，得解得直线BC的表达式为yx.抛物线yx22x的对称轴是直线x2，当x2时，yx，点P的坐标是(2，)；(3)存在()当存在的点N1在x轴的下方时，如图所示四边形ACN1M1是平行四边形，CN1x轴，点C与点N1关于对称轴直线x2对称，C点的坐标为(0，)，点N1的坐标为(4，)；()当存在的点N2在x轴上方时，如图所示，作N2Hx轴于点H，四边形ACM2N2是平行四边形，ACM2N2，N2M2HCAO，RtCAORtN2M2H，N2HOC，点C的坐标为(0，)，N2H，即N点的纵坐标为，x22x，解得x12，x22，点N的坐标为N2(2，)或N3(2，)，综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为N1(4，)，N2(2，)，N3(2，) 7(2016龙岩中考)已知抛物线yx2bxc与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A(4，0), B(1，0)(1)求抛物线的表达式；(2)已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标； (3)已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)把A(4，0)，B(1，0)分别代入yx2bxc，得解得yx2x2；(2)由(1)知抛物线的表达式为yx2x2，令x0，y2C(0，2)，OC2.A(4，0)，B(1，0)，OA4，OB1，AB5，分两种情况：当PCB90时，解法一：在RtAOC和RtCOB中，AC2AO2OC2422220，BC2OC2OB222125.又AB25225，AC2BC2AB2，ACB是直角三角形，ACB90，当点P1与点A重合时，即P1(4，0)时，P1CB是直角三角形；当PBC90时，过点B作BP2AC交抛物线于点P2.A(4，0)，C(0，2)易得直线AC的表达式yACx2.BP2AC，设直线BP2的表达式为yxb，把B(1，0)代入得b，yBP2x，解得(舍去)或P2(5，3)综上所述，点P1(4，0)，P2(5，3)；(3)存在点E，E1(7，0)，E2(1，0)，E3(，0)，E4(，0)
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