高考数学大二轮总复习与增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体练习 理

第1讲空间几何体1(2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D1答案C解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，V1113，故选C.2(2016课标全国丙)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.3(2015山东)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.4(2016浙江)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_答案解析设直线AC与BD所成角为，平面ACD翻折的角度为，设点O是AC的中点，由已知得AC，如图，以OB为x轴，OA为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A，B，C，作DHAC于点H，翻折过程中，DH始终与AC垂直，CH，则OH，DH，因此可设D，则，与平行的单位向量为n(0,1,0)，所以cos |cos，n|，所以cos 1时，cos 取最大值.1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体例1(1)(2016课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24 C28 D32(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案(1)C(2)D解析(1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，圆锥的母线长l4，所以圆锥的侧面积为S锥侧448，圆柱的侧面积S柱侧4416，所以组合体的表面积S816428，故选C.(2)所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D.思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果跟踪演练1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案(1)D(2)B解析(1)由俯视图，易知答案为D.(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧例2(1)(2016北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. B. C. D1(2)如图，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连接EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1DBC的体积为()A66 B68C70 D72答案(1)A(2)A解析(1)由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h1，又底面积S11.所以体积VSh.(2)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1DBC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差求解时注意不要多算也不要少算跟踪演练2某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_答案解析由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABCDEF(置于长方体ABCDMNFG中去观察)，且点E为DG的中点，可得ABBCGEDE3，连接AG，所以多面体ABCDEF的体积为V多面体ABCDEFV三棱柱ADGBCFV三棱锥AGEF(33)33(33)3.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图例3(1)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC60，则球O的表面积为()A4 B12C16 D64(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3答案(1)C(2)A解析(1)在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos 603，AC2AB2BC2，即ABBC，又SA平面ABC，三棱锥SABC可补成分别以AB1，BC，SA2为长、宽、高的长方体，球O的直径4，故球O的表面积为42216.(2)过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为R cm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，在RtOAB中，OA(R2)cm，AB4 cm，OBR cm，由R2(R2)242，得R5，V球R3(cm3)故选A.思维升华三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；(2)PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线跟踪演练3在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为_答案解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长据题意解得长方体的体对角线长为，三棱锥外接球的半径为.三棱锥外接球的体积为V()3.1一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()A16 B88C228 D448押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积答案D解析由三视图知，该几何体是底面边长为2的正方形，高PD2的四棱锥PABCD，因为PD平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BCPC，BAPA，又PC2，所以SPCDSPAD222，SPABSPBC222.所以几何体的表面积为448.2在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为()A6 B12C32 D36押题依据多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点答案B解析因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理，SASC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积S4R212，故选B.3已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注答案解析如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S2r24r42(当且仅当r21r2，即r时取等号)所以当r时，.A组专题通关1如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B解析由所截几何体可知，FC1被平面AD1E遮挡，可得B图2下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A2 B.C. D.答案D解析多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V4，选D.3某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A82 B8C8 D8答案B解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V(22212)28.4(2015课标全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r等于()A1 B2 C4 D8答案B解析如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.5如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A. B3C. D2答案A解析如图所示，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，EO，AO，OD.因为平面ABD平面BCD，AEBD，平面ABD平面BCDBD，AE平面ABD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO，所以OA.在RtBCD中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，球的半径为，所以V球()3.故选A.6有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_答案2解析如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，则在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可还原原图形如图在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，这块菜地的面积为S(ADBC)AB(11)22.7(2016浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.答案7232解析由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：其体积V222432(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S2(222244)2222(832)872(cm2)8.如图所示，从棱长为6 cm的正方体铁皮箱ABCDA1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为_ cm3.答案36解析最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C1CD1B1的体积又(66)636(cm3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm3体积的水9一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于_答案2解析由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r(6810)2.10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥EABCD.(1)V(86)464.(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1 4；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2 5.因此S2(6485)4024.B组能力提高11(2015湖南)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率)()A. B.C. D.答案A解析设三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，上、下底面中心分别为O1，O2，上方截得的小圆锥的高为h，底面半径为r，则a2b24r2.由三角形相似，得，即，则h2r.长方体的体积为Vabcab(22r)(22r)2r2(22r)4r24r3(当且仅当ab时取等号，且0r1)设y4r24r3(0r0，得0r；由y0，得r1.故当r时，ymax4243，即Vmax.原工件材料的利用率为，故选A.12已知在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABACPA2，且在ABC中，BAC120，则三棱锥PABC的外接球的体积为_答案解析由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcosBAC，BC22222222()12，BC2.设平面ABC截球所得截面圆半径为r，则2r4，所以r2.由PA2且PA平面ABC知球心到平面ABC的距离为1，所以球的半径为R，所以V球R3.13如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_答案6解析沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图，则AA即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得AA6，故答案为6.14如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与点P重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积(1)证明EFBC且BCAB，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPEE，EF平面PBE，又PB平面PBE，EFPB.(2)解设BEx，PEy，则xy4.SPEBBEPEsinPEBxy21.当且仅当xy2时，SPEB的面积最大此时，BEPE2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于点O，又平面PBE平面EFCBBE，PO平面EFCB.即PO为四棱锥PEFCB的高又POPEsin 3021，SEFCB(24)26，VPBCFE612.