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专题2.2 函数的基本性质【三年高考】1. 【2016年高考北京理数】已知，且，则（ ）A. B. C.D.【答案】C2【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）2【答案】D【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.3【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是_.【答案】【解析】由题意在上递减，又是偶函数，则不等式或化为，则，解得，即答案为 4【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，则= .【答案】-25【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 .【答案】【解析】，因此6. 【2015高考湖南，理5】设函数，则是（ ）A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A.【解析】显然，定义域为，关于原点对称，又，为奇函数，显然，在上单调递增，故选A.7. 【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A B C D【答案】【解析】记，则，那么，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选8. 【2015高考天津，理7】已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )（A） （B） （C） （D） 【答案】C9. 【2015高考湖北，理6】已知符号函数 是上的增函数，则（ ）A B C D【答案】B【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数 知，.10. 【2014高考湖南卷第3题】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( )A. B. C. 1 D. 3【答案】C【解析】分别令和可得和,因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,即,则,故选C.11. 【2014高考江苏卷第13题】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .【答案】12. 【2014高考湖南卷第10题】已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对函数性质的考查是高考命题的主线索，不管是何种函数，都要与函数性质联系起来，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 对单调性（区间）问题的考查的热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式；函数单调性，此部分知识在高考命题中以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的单调性，求函数的单调区间，以及求函数值域（最值），确定参数范围，作为把关题存在.函数奇偶性与函数的周期性，此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，一般难度不大，只要会判断简单函数的奇偶性，而函数的周期性，有时和数列结合出些周期数列问题，可用归纳推理得到.即对函数单调性的考察.在函数值的比较大小，求函数的值域，解相关的不等式方面有着重要的应用.对函数奇偶性的考察，一个是图形一个是方程的形式.对函数周期性的考察，周期性主要研究函数值有规律的出现，在解决三角函数里面体现的更明显而且“奇偶性”+“关于直线”对称，求出函数周期的题型在高考中也时不时出现.2017年函数性质的复习，首先要在定义上下功夫，其次要从数形结合的角度认识函数的单性质，深化对函数性质几何特征的理解和运用，同时要注意以下方面：1.性质通过数学语言给出的这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如:单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了.2.性质通过方程和不等式给出的这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么.3. 性质通过解析式给出的这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了.预测2017年高考可能以对数函数为背景的分段函数，以及以幂函数，指对函数为背景来考查函数的性质【2017年高考考点定位】高考对函数性质的考查有三种主要形式：一是考察单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；二是考察奇偶性，要从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；三是对称性和周期性结合，用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式.【考点1】函数的单调性【备考知识梳理】1.单调性定义：一般地，设函数的定义域为. 区间.如果对于区间内的任意两个值当时，都有那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间如果对于区间内的任意两个值当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间2.利用图象判断函数单调性：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减【规律方法技巧】一判断函数单调性的方法：1. 定义及变形：设是函数定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量，若，则函数在该区间内单调递减；若，则函数在该区间内单调递增.常见结论: （1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反；（3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）.二单调区间的求法1.利用基本初等函数的单调区间；2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.三对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意、在所给区间内比较与的大小，或与的大小（要求与同号）有时根据需要，需作适当的变形：如或等.【考点针对训练】1. 【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】.【解析】，又在上单调递增，即实数的取值范围是，故填：.2. 【2016年山西四市高三四模】下列函数中，既是奇函数,又在上为增函数的是（ ）A B C D.【答案】D【考点2】函数的奇偶性【备考知识梳理】1函数的奇偶性的定义： 对于函数定义域内定义域内任意一个，若有，则函数为奇函数；若有，那么函数为偶函数 2.奇偶函数的性质： 定义域关于原点对称； 偶函数的图象关于轴对称； 奇函数的图象关于原点对称； 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 为偶函数 若奇函数的定义域包含，则【规律方法技巧】1利用定义判断函数奇偶性的步骤：2在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立3通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数4抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现)；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出与的关系，得出结论5已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于的方程，从而可得的解析式6已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值7奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反【考点针对训练】1. 【2016届邯郸市一中高三十研】若函数为奇函数，则_【答案】2. 【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考】已知函数是上的奇函数，当时，(为常数，且)，若对实数，都有恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【考点3】周期性和对称性【备考知识梳理】1周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3.关于函数周期性常用的结论(1)若满足，则，所以是函数的一个周期()；(2)若满足，则 ，所以是函数的一个周期()；(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期(). （4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（5）函数图像关于轴对称（6）函数图像关于中心对称（7）函数图像关于轴对称，关于中心对称【规律方法技巧】1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin(x)，用公式T计算递推法：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a.换元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t2a)，所以周期T2a2判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想【考点针对训练】1. 【2016年湖北八校第二次联考】已知定义在R上的函数满足，且当 时,则= .【答案】2. 【2016届海南中学高三考前高考模拟十一】已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，则 （ ）A0 B C D1【答案】B【应试技巧点拨】1.单调性的判断方法：a.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；b.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反；（3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）.c.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减.d.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.2.单调区间的求法：a.利用已知函数的单调区间来求；b.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.c.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.d.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.3. 在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数4. 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反5. 关于函数周期性常用的结论(1)若满足，则，所以是函数的一个周期()；(2)若满足，则 ，所以是函数的一个周期()；(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期(). （4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（5）函数图像关于轴对称（6）函数图像关于中心对称（7）函数图像关于轴对称，关于中心对称二年模拟1. 【2016年石家庄市高中毕业班质检】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 【答案】B.【解析】A：偶函数与在上单调递增均不满足，故A错误；B：均满足，B正确；C：不满足偶函数，故C错误；D：不满足在上单调递增，故选B2. 【河南八市2016年4月高三质检卷】已知函数，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数，递增区间是 B是偶函数，递减区间是C是奇函数，递增区间是 D是奇函数，递增区间是【答案】D【解析】函数的定义域为,即函数为奇函数.又，画出图像，可知选D.3. 【湖北2016年9月三校联考】已知定义在上的函数()为偶函数记，则的大小关系为（ ） A B C D【答案】B4. 【2016年河南省六市高三联考】定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】D.【解析】偶函数，又在，上分别递增与递减，故选D5. 【2016年湖南师大附中高三月考】已知函数yf(x)对任意自变量x都有f(x1)f(1x)，且函数f(x)在1，)上单调若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a6)f(a20)，求an的前25项之和.【解析】由已知函数关系可知，又是等差数列，所以 ，所以数列的前项和为.6. 【湖南师范大学附属中学2016届高三月考（四）】已知函数，则使得的的范围是（ ）ABCD 【答案】A7. 【湖南师范大学附属中学2016届高三月考（三）】已知定义在上的函数满足，且当时，则的值为（ ）ABC2D8【答案】A【解析】由已知，则，所以是周期为4的周期函数所以，选A8. 【2016届湖北省八校高三二次联考】已知是定义在上的奇函数，当时，则= .【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.9. 【炎德英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷(四）】已知定义在上的函数满足，当时，则（ ）A B C D【答案】C【解析】因为，所以函数的周期为2.设，则，所以,可知该函数在上为偶函数且在上单调递减。因为，所以，即选项A错误；因为，所以，即选项B错误；因为，,所以，故选项C正确；同例，选项D错误。10. 【河北省衡水中学2016届高三七调】已知函数满足，且分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B11. 【浙江省慈溪市、余姚市2015届高三联考】函数的图象 A关于轴对称 B关于原点对称 C关于直线对称 D关于轴对称【答案】B 【解析】 ，其定义域为（-，-2）（2，+），f（-x）=x2lg=-x2lg=-f（x），函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选：B12. 【金山中学2015学年度高三一模】设是上的奇函数，当时，则 .【答案】.【解析】.13. 【陕西省宝鸡市九校2015届高三联合检测】已知函数是定义在上的奇函数,在上单调递减,且,若，则的取值范围为 【答案】【解析】作出辅助图，易知或，解得或14. 【如东中学2015届高三月考】若函数是奇函数，则 .【答案】.15. 【广东省广州市2015届高中毕业班综合测试】已知幂函数Z为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为 【答案】16拓展试题以及解析1.已知函数是定义在上的偶函数，且，对任意，有成立，则的值为（ ）A.0 B.1 C.1 D.2【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，所以可化为，由此得的周期,所以，又有得，故选C.【入选理由】本题主要考查函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性，考查学生对函数等式关系的灵活变换与应用.本题初次接触会有茫然无头绪的感觉，但是能从题干提取函数性质的信息，就会有豁然开朗的感觉，此题构思巧妙，的确是一个好题，故选此题.2. 已知函数的图象关于轴对称，且函数对任意，()，有，设是函数的零点，若，则的值满足（ ）A B C D的符号不确定【答案】C【解析】的图象关于轴对称，则函数的图象关于直线轴对称.又因为函数对任意 ()，有，即,故函数在上单调递增，在上单调递减.又是函数的零点，可得.当时，故选C .【入选理由】本题考查函数零点,函数的单调性，函数的对称性等基础知识，意在考查转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力本题综合性强，构思巧妙，的确是一个好题，故选此题.3. 下列函数既是奇函数又在（-1,1）上是减函数的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【入选理由】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查运用数学基础知识解决问题的能力，是基础题.本题型在高考中是常考的题型,故选此题.4. 函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由已知得，故，故选C【入选理由】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力此题奇偶性,单调性与分段函数结合出题，高考对分段函数的考查是重点，从全国各地高考试题来看，每年都有涉及，这类题具有一定的题综合性，故选此题.5. 已知函数是定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意 ()，都有，则()A B C D【答案】A【解析】由于函数为偶函数，故函数的图象关于直线对称，又对任意 ()，有，函数在上单调递减，函数的图象关于直线对称，.故选A【入选理由】本本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等基础知识，意在考查分析问题，解决问题的能力此类题是高考常考题型，故选此题.6. 已知函数（）为奇函数，则的解集为 .【答案】【入选理由】本本题考查函数的奇偶性，解不等式等基础知识，意在考查分析问题，解决问题的能力此类题是高考常考题型，故选此题.7. 已知函数是定义在（-2,2）上，满足，且时，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】令，当时， ，又，即是奇函数，时， ，不等式恒成立，变形可得，即，所以实数的取值范围为.【入选理由】本题考查奇偶性与不等式恒成立，函数的最值，基本不等式等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力恒成立是高考常考的题型，且高考多次考查，此题比较典型，故选此题.8.若函数满足对任意，都有，如图表示该函数在区间上的图像，则（ ）A3 B2 C1 D0【答案】A【入选理由】本题考查函数的周期性，考查数形结合思想，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力此题立意新，通过数形结合，找出函数值，再利用周期性求解，难度不大，体现小题综合性的高考出题方向，故选此题.
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