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第4讲推理与证明1(2016山东)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.答案n(n1)解析观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n1.2(2016课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_答案1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.热点一归纳推理1归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理2归纳推理的思维过程如下：例1(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(8,12)_.(2)已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则有_答案(1)288(2)f(2n)(n2，nN*)解析(1)原已知式子可化为N(n,3)n2nn2n，N(n,4)n2n2n，N(n,5)n2nn2n，N(n,6)2n2nn2n，由归纳推理可得N(n，k)n2n，故N(8,12)828288.(2)由题意得f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n)(n2，nN*)思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想跟踪演练1(1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A48,49 B62,63C75,76 D84,85(2)观察下列等式：123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)；可以推测，1515n(n1)(n2)(n3)_.答案(1)D(2)n(n1)(n2)(n3)(n4)解析(1)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件(2)观察所给等式的左侧和右侧并归纳推理，可以得到答案热点二类比推理1类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理2类比推理的思维过程如下：例2(1)已知结论：“在正ABC中，若D是边BC的中点，G是ABC的重心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则等于()A1 B2 C3 D4(2)在平面直角坐标系中，ABC的顶点A，B分别是离心率为e的圆锥曲线1的焦点，顶点C在该曲线上一同学已正确地推得：当mn0时，有e(sin Asin B)sin C类似地，当m0，n0n时，曲线是双曲线，离心率e.由双曲线定义得|ba|2，得e|ba|c.由正弦定理，得e|sin Asin B|sin C.思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比跟踪演练2(1)若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，且通项为a1(n1).类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项积为Tn，则数列_为等比数列，通项为_(2)若点P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a0，b0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为_答案(1)b1()n1(2)1解析(1)因为在等差数列an中前n项和为Sn，且写成了a1(n1)，所以在等比数列bn中应研究前n项积Tn开n次方的形式等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，类比可得：数列为等比数列，通项为b1()n1.(2)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为1.热点三直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法例3已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1) (nN*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b.(1)解由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列故an1(n1)1n.(2)证明由(1)知，ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以bnbn20，公差d0.若a11，d2，且，成等比数列，求整数m的值；求证：对任意正整数n，都不成等差数列解a11，d2，a47，am2m1.，成等比数列，()2，(2m1)2492.a10，d0，m25.证明假设存在mN*，使，成等差数列，即，化简，得d23a.又a10，d0，am1a1mdd，3a3d2d2，与d23a矛盾，因此假设不成立，故原命题得证.1将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)，分别计算各组包含的正整数的和，如下所示：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S722232425262728175，试猜测S1S3S5S2 015_.押题依据数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对逻辑推理证明步骤的掌握程度答案1 0084解析由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4.S1S3S5S2 0151 0084.2已知下列不等式：x2，x3，x4，则第n个不等式为_押题依据根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大答案xn1解析已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当n1时，为；当n2时，为；当n3时，为；显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，所以不等式左边的式子为x，显然不等式右边的式子为n1，所以第n个不等式为xn1.3设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列Sn不是等比数列押题依据反证法是一种重要的证明方法，对含“至多”“至少”等词语的命题用反证法十分有效，近几年高考时有涉及证明假设Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与q0矛盾，故Sn不是等比数列A组专题通关1下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数A BC D答案B解析根据“三段论”：“大前提”“小前提”“结论”可知：ycos x(xR)是三角函数是“小前提”；三角函数是周期函数是“大前提”；ycos x(xR)是周期函数“结论”故“三段论”模式排列顺序为.故选B.2设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2答案C解析假设a，b，c都大于2，即a2，b2，c2，将三式相加，得abc6，又因为a2，b2，c2，所以abc6，所以假设不成立，故选C.3分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)bc，且abc0可得bac，a0，c0.要证a，只要证(ac)2ac0，即证a(ac)(ac)(ac)0，即证a(ac)b(ac)0，即证(ac)(ab)0.故求证“0，故选C.4某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是()A甲 B乙C丙 D丁答案A解析假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A.5设a，bR，定义：M(a，b)，m(a，b)，则下列式子错误的是()AM(a，b)m(a，b)abBm(|ab|，|ab|)|a|b|CM(|ab|，|ab|)|a|b|Dm(M(a，b)，m(a，b)m(a，b)答案B解析M(a，b)m(a，b)m(M(a，b)，m(a，b)m(a，b)，D正确；M(a，b)m(a，b)ab，A正确；m(|ab|，|ab|)B错误；M(|ab|，|ab|)C正确故选B.6.如图，在单位圆中，用三角形的重心公式G(，)研究内接正三角形ABC(点A在x轴上)，有结论：cos 0cos cos 0.有位同学，把正三角形ABC按逆时针方向旋转角，这时，可以得到的一个结论是_答案cos cos()cos()0解析在把正三角形ABC按逆时针方向旋转角的过程中，三个角始终相差，所以得到cos cos()cos()0.7宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令落一形埵(同垛)之问底子(每层三角形边茭草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数)，则本问题中三角垛底层茭草总束数为_答案120解析由题意，第n层茭草束数为12n，136680，即为n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)(n2)680，即有n(n1)(n2)151617，n15，120.8如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f()若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_答案解析由题意知，凸函数满足f()，又ysin x在区间(0，)上是凸函数，则sin Asin Bsin C3sin3sin.9某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解方法一(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.10已知a，b，m为非零实数，且a2b22m0，12m0.(1)求证：；(2)求证：m.证明(1)(分析法)要证成立，只需证()(a2b2)9，即证149，即证4.根据基本不等式，有2 4成立，所以原不等式成立(2)(综合法)因为a2b2m2，2m1，由(1)，知(m2)(2m1)9，即2m25m70，解得m1或m.又因为a2b2m20.所以m2，故m1舍去，所以m.B组能力提高11已知正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段则这10条线段长度的平方和是()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案A解析由题意可知，这只小虫爬行的第一条线段长度的平方为a(a)2a2，第二条线段长度的平方为a(a)2a2，第三条线段长度的平方为a(a)2a2，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以aa2为首项，为公比的等比数列，所以该数列的前10项和为S10.故选A.12对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，.仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为_答案8解析由已知可观察出m3可分裂为m个连续奇数，最小的一个为(m1)m1.当m8时，最小的数为57，第二个便是59.m8.13如图(1)，已知O是ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边分别于点A，B，C，则1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：1.请运用类比思想，如图(2)所示，在空间四面体VBCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长分别交四个面于点E，F，G，H，用“体积法”可得的类似结论为_答案1解析利用类比推理，面积类比体积14蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：.(1)解f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，当n2时，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1.(2)证明当k2时，()所以1(1)()()1(1)1.
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