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专题三三角函数与解三角形必考点一三角恒等变换与求值高考预测运筹帷幄1三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等变换、求三角函数值2结合简单的三角函数图象，求三角函数值或角度速解必备决胜千里1诱导公式都可写为sin或cos的形式根据k的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”2公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan )(2)升幂公式1cos 2cos2；1cos 2sin2.(3)降幂公式sin2；cos2.(4)其他常用变形sin 2；cos 2；1sin 2；tan.3角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2()()，2()()，()()，.(2)互余与互补关系例如，.(3)非特殊角转化为特殊角例如，154530，754530.速解方略不拘一格类型一三角函数概念，同角关系及诱导公式例1(1)(2016高考全国乙卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析：基本法：将转化为.由题意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tantan.答案：速解法：由题意知为第一象限角，设，tantantan.如图，不妨设在RtACB中，A，由sin 可得，BC3，AB5，AC4，B，tan B，tan B.答案：(2)若tan 0，则()Asin 0Bcos 0Csin 20 Dcos 20解析：基本法：由tan 0得是第一或第三象限角，若是第三象限角，则A，B错；由sin 22sin cos 知sin 20，C正确；取时，cos 22cos212210，D错故选C.速解法：tan 0，即sin cos 0，sin 22sin cos 0，故选C.答案：C方略点评：(1)基本法根据的可能象限判断符号.,速解法是根据tan 及sin 2的公式特征判断符号，更简单.(2)知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin2cos21求解.(3)知弦求切.常通过平方关系、对称式sin cos ，sin cos ，sin cos 建立联系，注意tan 的灵活应用.(4)知切求弦.通常先利用商数关系转化为sin tan cos 的形式，然后利用平方关系求解.1(2016河北唐山模拟)已知2sin 21cos 2，则tan 2()A B.C或0 D.或0解析：基本法：，或tan 20或tan 2.答案：D2已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_解析：基本法：由sin 2cos 0得tan 2.2sin cos cos21.答案：1类型二三角函数的求值与化简例2(1)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B.C D.解析：基本法：原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.速解法：从题目形式上看应是sin()公式的展开式又201030，故猜想为sin 30.答案：D方略点评：基本法是构造sin()的形式，再逆用公式.速解法是根据三角函数的特征猜想，大胆猜想也是一种方法.(2)设，且tan ，则()A3 B3C2 D2解析：基本法：由tan 得，即sin cos cos sin cos ，所以sin()cos ，又cos sin，所以sin()sin，又因为，所以，0，因为，所以2，故选C.速解法一：tan ，由tan 知，、应为2倍角关系，A、B项中有3，不合题意，C项中有2.把2代入tan ，题设成立故选C.速解法二：tantan tan又，2，2.故选C.答案：C方略点评：(1)基本法是切化弦，利用正弦等式寻找角的关系.速解法都是利用tan的公式及特征，代入验证或者转化正切等式.(2)已知值求角时，注意角的范围，要尽量使范围“小”一点.1若tan 2tan，则()A1 B2C3 D4解析：基本法：，tan 2tan，3.故选C.答案：C2(2016河北石家庄模拟)已知tan(3)，tan()，则tan _.解析：基本法：依题意得tan ， 又tan()，tan tan().答案：终极提升登高博见解选择题、填空题的方法特征分析法方法诠释特征分析法：不同的选择题各有其不同的特点，某些选择题的条件、结论或条件与结论之间存在一些特殊关系，只要发现了这些特殊关系就能很快作出选择特征分析法是指根据题目所提供的信息，抓住数值特征、结构特征、位置特征(比如：定点、定线、拐点)进行大跨度、短思维链的推理、判断的方法它体现了对知识的数、形、结构的深刻认识与状态把握，直觉、联想、猜想是思维的联结点适用范围从表面上看已知条件式子，庞大而复杂，直接进行代数推理计算会很麻烦，可考虑各种方法.限时速解训练八三角恒等变换与求值(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1已知sin，那么cos ()ABC. D.解析：选C.sinsincos .2若tan ，tan()，则tan ()A. B.C. D.解析：选A.tan tan，故选A.3设cos(80)k，那么tan 100()A. BC. D解析：选B.sin 80，所以tan 100tan 80，故选B.4已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 BC. D1解析：选D.法一：由sin cos 得(sin cos )212sin cos 2，即2sin cos 1，又因为(0，)，则当cos 0时，sin 1，不符合题意，所以cos 0，所以1，解得tan 1，故选D.法二：由sin cos 得：sin，即sin1，0，即故tan 1，故选D.5若，则sin cos ()A BC D.解析：选B.法一：由，得2(sin cos )sin cos ，即tan 3.又sin cos ，故选B.法二：由题意得，即48sin cos 12sin cos 10sin cos 3即sin cos ，故选B.6若，sin 2，则tan ()A. B.C2 D.解析：选C.法一：sin 22sin cos ，且sin2cos21，sin cos ，sin cos ，sin ，cos ，tan 2，故选C.法二：由知tan 1，sin 2，解得tan (舍)或tan 2.7在ABC中，若3cos25sin24，则tan Atan B等于()A4 B.C4 D解析：选B.由条件得354，即3cos(AB)5cos C0，所以3cos(AB)5cos(AB)0，所以3cos Acos B3sin Asin B5cos Acos B5sin Asin B0，即cos Acos B4sin Asin B，所以tan Atan B，故选B.8已知为第二象限角，sin ，则sin的值等于()A. B.C. D.解析：选A.为第二象限角，sin ，所以cos ，则sin，故选A.9若是第四象限角，tan，则cos()A. BC. D解析：选D.由题意知，sin，coscossin.10(2016贵州贵阳检测)已知sin，则cos的值是()A. B.C D解析：选D.cos2cos212sin2121.11已知满足sin ，那么sinsin的值为()A. BC. D解析：选A.原式sincossincos 2(12sin2)，故选A.12(2016山西运城高三质检)已知向量a，b(4,4cos )，若ab，则sin()A BC. D.解析：选B.ab，ab4sin4cos 2sin 6cos 4sin0，sin.sinsin.二、填空题(把答案填在题中横线上)13. 已知tan(3x)2，则_.解析：tan(3x)tan(x)tan x2，故tan x2.故3.答案：314若tan 2，则2sin23sin cos _.解析：法一：原式cos2(2tan23tan )(2tan23tan )(22232).法二：原式.答案：15已知，tan，则sin cos _.解析：依题意，解得tan ，因为sin2cos21且，解得sin ，cos ，故sin cos .答案：16已知，cos()，sin()，则sin cos 的值为_解析：根据已知得sin()，cos()，所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()，所以(sin cos )21sin 21.因为，所以sin cos 0，所以sin cos .答案：必考点二三角函数图象与性质高考预测运筹帷幄1以图象为工具，求三角函数的最值、单调性、对称性、周期性2通过三角函数的图象及性质，考查函数yAsin(x)的变换和性质速解必备决胜千里1辅助角公式asin bcos sin()，其中cos ，sin 或tan .2已知图象求解析式yAsin(x)B(A0，0)的方法(1)求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，已知函数的周期T，则.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，B已知)，或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.3三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则k(kZ)，同时当x0时，f(x)取得最大或最小值若f(x)Asin(x)为奇函数，则k(kZ)，同时当x0时，f(x)0.(2)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)的形式，再分别应用公式T，T，T求解(3)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点速解方略不拘一格类型一三角函数图象及其变换例1(1)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：基本法：由函数图象知T22.2，即.由2k，kZ，不妨设.f(x)cos由2kx2k得，2kx2k，kZ，故选D.速解法：由题图可知1，所以T2.结合题图可知，在(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为，kZ，故选D.答案：D方略点评：基本法是根据图象写出解析式后，求出减区间；速解法是根据图象特征直接写出减区间，较简单.(2)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位解析：基本法：根据三角函数图象的变换关系求解由ysinsin 4得，只需将ysin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.速解法：将函数ysin 4x的图象向右平移个单位可得到函数ysinsin的图象故选B.答案：B方略点评：(1)基本法是将要得到的函数进行变形(使x的系数为1)根据“左加右减”得出答案.,速解法根据“左加右减”法则，直接验证B选项.(2)ysin x与yAsin(x)的平移关系，要分清哪个是被平移的函数，哪个是所得函数.(3)由yAsin x得到yAsin(x)时，需要平移的单位数是|，而不是|，即左右平移的单位个数是相对“x”而言，而不是“x”.如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定平移的单位长度和方向.如本例.1(2016辽宁省五校高三联考)函数f(x)sin(x)的图象如图所示，为了得到ysin x的图象，只需把yf(x)的图象上所有点()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度解析：基本法：利用图象上的信息求周期到求，利用特殊点求，确定f(x)解析式再平移由图象知：，T.又，2.由f0得：2k(kZ)，即k(kZ)|，即f(x)sinsin，故选A.速解法：利用周期和零点求出在原点右侧的零点，观察平移2f(x)在原点左侧的第一个零点为x，故向右平移，图象过原点答案：A2(2016高考全国甲卷)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()Ay2sinBy2sinCy2sin Dy2sin解析：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，与的值由图象知，故T，因此2.又图象的一个最高点坐标为，所以A2，且22k(kZ)，故2k(kZ)，结合选项可知y2sin.答案：A类型二三角函数性质及应用例2(1)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析：基本法：用排除法排除错误选项当x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x时，ff1，f2.21，fff，从而排除D，故选B.速解法：当x时，f1.x时，f2，显然ff排除C、D.又x为角度，f(x)不是一次函数，排除A，故选B.答案：B方略点评：两种解法都采用特值验证法，基本法当x时，求f(x)的解析式，速解法是利用特征排除A.(2)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_解析：基本法：利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值为1.速解法：为常数，令0时，f(x)sin x.若，则f(x)sincossin x猜想f(x)sin xf(x)max1.答案：1(3)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在单调递减Bf(x)在单调递减Cf(x)在单调递增Df(x)在单调递增解析：基本法：f(x)sin(x)cos(x)sin，T，2.又f(x)f(x)，即f(x)为偶函数，k，k，kZ.又|，f(x)sincos 2x，令2k2x2k得kxk，kZ.f(x)在上单调递减，故选A.速解法：由f(x)sin知T，2.f(x)为偶函数，.f(x)cos 2x依据图象特征可得f(x)在为减区间答案：A方略点评：(1)由周期求，由奇偶性求，基本法采用的是定义法求.速解法是利用了ycos x为偶函数的特征得出，较简单.(2)求函数性质，关键将函数式化为f(x)Asin(x)的形式，注意x整体换元方法的应用.1(2016陕西西安八校联考)若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1B2C4 D8解析：由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，min2，故选B.答案：B2(2016高考全国甲卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4 B5C6 D7解析：f(x)12sin2x6sin x22，因为sin x1,1，所以当sin x1时，f(x)取得最大值，且f(x)max5.答案：B终极提升登高博见选择题、填空题的解法等价转化法方法诠释等价转化是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题方法特点等价转化方法的特点是灵活性和多样性它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形.限时速解训练九三角函数图象与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1函数f(x)的最小正周期是()A.B.C D2解析：选C.函数f(x)|sin x|的最小正周期T，故选C.2设函数f(x)3sin(xR)的图象为C，则下列表述正确的是()A点是C的一个对称中心B直线x是C的一条对称轴C点是C的一个对称中心D直线x是C的一条对称轴解析：选D.令2xk，kZ得x，kZ，所以函数f(x)3sin的对称中心为，kZ，排除A、C.令2xk，kZ得x，kZ，所以函数f(x)3sin的对称轴为x，kZ，排除B，故选D.3(2016江西八所重点学校联考)函数f(x)Asin x(A0，0)的部分图象如图所示，则f(1)f(2)f(3)f(2 017)的值为()A.B3C6D解析：选A.由图象可得，A2，T8，8，f(x)2sinx，f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，f(x)是周期为8的周期函数，而2 01782521，f(1)f(2)f(2 017).4函数f(x)2cos(x)(0)对任意x都有ff，则f等于()A2或0 B2或2C0 D2或0解析：选B.由ff得x是函数f(x)的一条对称轴，所以f2，故选B.5若函数yf(x)的最小正周期为，且图象关于点对称，则f(x)的解析式可以是()Aysin BysinCy2sin2x1 Dycos解析：选D.依次判断各选项，A项周期不符；B项函数图象不关于点成中心对称；C错，因为y2sin2x1cos 2x，同样点不是图象的对称中心，故选D.6已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，其中kZ.依题意，则有2kx2k(0)得4k2k，由0且4k0得k1，因此的取值范围是，故选D.7为了得到函数f(x)2sin的图象，可将函数g(x)sin 2xcos 2x的图象()A向左平移 B向右平移C向左平移 D向右平移解析：选D.依题意得g(x)2sin2sinf，因此为了得到函数f(x)2sin的图象，可将函数g(x)的图象向右平移个单位长度，故选D.8将函数f(x)cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质()A最大值为1，图象关于直线x对称B在上单调递增，为奇函数C在上单调递增，为偶函数D周期为，图象关于点对称解析：选B.依题意，得g(x)coscossin 2x，故函数g(x)图象的对称轴为x(kZ)，故A错误；因为g(x)sin 2xg(x)，故函数g(x)为奇函数，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，故B正确，C错误；因为gsin0，故D错误综上所述，故选B.9函数f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是()A B.C. D1解析：选C.因为f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，所以函数f(x)的最小正周期为，2，则f(x)tan 2x，ftan，故选C.10将函数f(x)sin的图象向右平移个单位，得到的图象关于原点对称，则的最小正值为()A. B.C. D.解析：选A.函数f(x)sin的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式为f(x)sin，因为图象关于原点对称，所以2k，kZ，所以k，kZ，则当k0时，取得最小正值，故选A.11若函数f(x)2sin(2x10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则()()A32 B16C16 D32解析：选D.因为当2x10时，0x2，故令f(x)2sin0，则x，解得x4，由正弦函数的对称性可知点B，C关于点A(4,0)成中心对称，故有()22|232，故选D.12已知函数f(x)sin(2x)在x时有极大值，且f(x)为奇函数，则，的一组可能值依次为()A.， B.，C.， D.，解析：选D.依题意得22k1，即2k1，k1Z，A，B均不正确由f(x)是奇函数得f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，函数f(x)的图象关于点(，0)对称，f()0，sin(2)0，sin(2)0,2k2，k2Z，结合选项C，D取得，k2Z，故选D.二、填空题(把答案填在题中横线上)13函数ysin xcos x的单调递增区间是_解析：ysin xcos xsin，x的单调递增区间即为0x与x的交集，所以单调递增区间为.答案：14已知函数f(x)sin.若yf(x)是偶函数，则_.解析：利用偶函数定义求解yf(x)sinsin是偶函数，所以2k，kZ，得，kZ.又0，所以k1，.答案：15将函数y2sin(0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为_解析：将函数y2sin，0的图象向左平移个单位后得到图象的解析式为y2sin，0，向右平移个单位后得到图象的解析式为y2sin，0.因为平移后的对称轴重合，所以xxk，kZ，化简得2k，kZ，又0，所以的最小值为2.答案：216已知函数f(x)cos xsin 2x，下列结论中正确的是_(填入正确结论的序号)yf(x)的图象关于点(2，0)中心对称；yf(x)的图象关于直线x对称；f(x)的最大值为；f(x)既是奇函数，又是周期函数解析：依题意，对于，f(4x)cos(4x)sin2(4x)cos xsin 2xf(x)，因此函数yf(x)的图象关于点(2，0)中心对称，正确；对于，f，f，因此ff，函数yf(x)的图象不关于直线x对称，不正确；对于，f(x)2sin xcos2x2(sin xsin3x)；令tsin x，则y2(tt3)，t1,1，y2(13t2)，当t时，y0；当1t或t1时，y0，因此函数y2(tt3)在1,1上的最大值是y2，即函数f(x)的最大值是，不正确；对于，f(x)f(x)，且f(2x)2sin(2x)cos2(2x)2sin xcos2xf(x)，因此函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，正确综上所述，其中正确的结论是.答案：必考点三正、余弦定理及解三角形高考预测运筹帷幄1利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，解决三角形中的边角计算问题2利用正弦定理和余弦定理及其变形解决三角形的形状问题3解三角形与三角函数的性质、向量相结合的问题4利用正弦定理和余弦定理求解含有两个或两个以上三角形的问题，体现解三角形在平面几何中的应用速解必备决胜千里1三角形面积S(R为外接圆半径)S(abc)r(r为内切圆半径)S.2在ABC中，abABsin Asin B.3若三角形ABC为锐角三角形，则AB，sin Acos B，cos Asin B，a2b2c2.若三角形ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则AB，sin Acos B，cos Asin B.4在ABC中，ccos Bbcos Ca.5sin Asin(BC)，sin cos .6.速解方略不拘一格类型一求三角形的边长或角例1(1)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_解析：基本法：如图所示，延长BA，CD交于点E.则可知在ADE中，DAE105，ADE45，E30.设ADx，CDm，在AED中，由正弦定理得，AEx，DEx.BC2，在BCE中，由正弦定理得，即sin 302sin 75，xm.m0，0x4.而ABxmxx，AB的取值范围是(，)速解法：如图所示，过点C作CEAD于点E，则CEB75，CEBC2，BCE30.BE2BC2CE22BCCEcosBCE44884.此时，BE.延长CD交BA的延长线于点F，则BCF为等腰三角形，且CFB30，FCFB，cosCFB.解得FB.由题意可知，AB.答案：(，)(2)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从点A测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_ m.解析：基本法：根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)答案：150方略点评：(1)此题需要转化三个三角形，由RtACBMACRtMNA求MN.(2)求解三角形的边或角，即将求解的问题归结到一个或几个三角形中.已知两角及一边，利用正弦定理求解.已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.,已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.已知三边，利用余弦定理求解.1(2016高考全国丙卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A_.A.B.C. D.解析：设BC边上的高为AD，则BC3AD，DC2AD，所以ACAD.由正弦定理，知，即，解得sin A，故选D.答案：D2(2016高考全国甲卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.解析：利用正弦定理求解在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.答案：类型二求三角形面积例2(1)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析：基本法：2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得)，SABCbcsin A4.速解法：求出A60，由2R可知，ABC的外接圆大小确定，要使三角形面积最大，当且仅当为等边三角形，S22sin 60.答案：方略点评：基本法是用正弦定理转化边的关系，利用余弦定理，求角A结合基本不等式求bc的最大值.速解法是猜想圆内接三角形面积最大时的特征.(2)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5B.C2 D1解析：基本法：利用三角形面积公式可求角B，再利用余弦定理求得B的对边AC.SABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.速解法：如图，SABh，h1CD1，BD1AD2，AC.答案：B方略点评：(1)基本法结合面积公式讨论B的可能性，用余弦定理求.速解法采用构造法，构造出适合题意的三角形.(2)三角形面积问题较综合，直接法求解时，要根据已知条件选择合适的面积公式，如果已知角和边，可利用正弦形式面积公式或底高公式，如果涉及到外接圆半径可考虑其他公式.1(2016河南郑州质检)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin 2A，且c，C，则ABC的面积是()A.B.C. D.或解析：基本法：sin(BA)sin Bcos Acos Bsin A，sin(BA)sin Bcos Acos Bsin A，sin 2A2sin Acos A，sin(BA)sin(BA)3sin 2A，即2sin Bcos A6sin Acos A当cos A0时，A，B，又c，得b.由三角形面积公式知Sbc；当cos A0时，由2sin Bcos A6sin Acos A可得sin B3sin A，根据正弦定理可知b3a，再由余弦定理可知cos Ccos，可得a1，b3，所以此时三角形的面积为Sabsin C.综上可得三角形的面积为或，所以选D.答案：D2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_解析：基本法：利用三角形面积公式及余弦定理列式求解在ABC中，由cos A可得sin A，所以有解得答案：8终极提升登高博见选择题、填空题的解法极限(边界)分析法方法诠释将研究的对象过程引向极端状态进行分析，使因果关系变得明显，从而使问题得以解答的方法极限法使一般问题变得特殊，这是一种变动为静的策略注意事项由动到静的过程中，静为边界(极限)要注意边界是否可取到.限时速解训练十正、余弦定理及解三角形(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在ABC中，已知A，BC3，AB，则C()A.或B.C. D.或解析：选B.由正弦定理，即sin C，因为0C，所以C或C，因为ca3，所以C，则C，故选B.2已知ABC的三边分别为4,5,6，则ABC的面积为()A. B.C. D.解析：选B.设a6，b5，c4，则由余弦定理得cos A，所以sin A，SABC54.3(2016山西朔州一模)若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：选C.由于sin Asin Bsin C51113，结合正弦定理可知，abc51113，不妨令a5，b11，c13，由于cos C0，C为钝角，故ABC是钝角三角形4在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sin C2sin B，则A等于()A. B.C. D.解析：选D.由题意得c2b，cos A，A.5(2016湖南常德调研)在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B.C. D.解析：选B.由余弦定理得AC2BC2AB22ABBCcos B，即()222AB222ABcos 60，即AB22AB30，得AB3，故BC边上的高是ABsin 60.6(2016江西上饶一模)已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于()A. B.C. D.解析：选B.由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin ，又B(0，)，所以B，又A，所以ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.7张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点 B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析：选B.画出示意图如图所示， 由条件知AB246.在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BS3.8(2016河北衡水中学检测)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a5bsin C且cos A5cos Bcos C，则tan A的值为()A5 B6C4 D6解析：选B.由正弦定理及已知得sin A5sin Bsin C，又cos A5cos Bcos C，由得cos Asin A5(cos Bcos Csin Bsin C)5cos(BC)5cos A，sin A6cos A，tan A6，选B.9设锐角ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a1，B2A，则b的取值范围为()A(，) B(1，)C(，2) D(0,2)解析：选B.B2A，sin Bsin 2A，sin B2sin Acos A，b2acos A，又a1，b2cos A，ABC为锐角三角形，0A，0B，0C，即0A，02A，0A2A，A，cos A，12cos A，b(1，)10(2016北京东城一模)在锐角ABC中，AB3，AC4，SABC3，则BC()A5 B.或C. D.解析：选D.由SABCABACsinBAC34sinBAC3，得sinBAC，因为ABC为锐角三角形，所以BAC，故BAC，在ABC中，由余弦定理得，BC2AC2AB22ACABcosBAC4232243cos13.所以BC，故选D.11已知ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acos Ccb，若a1，c2b1，则角B为()A. B.C. D.解析：选B.因为acos Ccb，所以sin Acos Csin Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以sin Ccos Asin C，因为sin C0，所以cos A，因为A为ABC的内角，所以A，由余弦定理a2b2c22bccos A，知1b2c2bc，联立解得c，b1，由，得sin B，bc，BC，则B，故选B.12在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2b22 018c2，则的值为()A0 B1C2 017 D2 018解析：选C.cos C2 017，故选C.二、填空题(把答案填在题中横线上)13在ABC中，已知a2，b3，那么_.解析：由正弦定理得.答案：14已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC的面积为，a3，B，则b_.解析：由题意可得Sacsin B，解得c1，由余弦定理可得b2a2c22accos B9137，故b.答案：15在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C_.解析：由正弦定理得sin C.又SABCACBCsin C，所以BC2.因为ABBC，所以CA，所以C60.答案：6016在ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是ABC的面积，若2Ssin A()sin B，则下列结论中：a2b2c2；c2a2b2；cos Bcos Csin Bsin C；ABC是钝角三角形其中正确结论的序号是_解析：2Ssin A()sin B，2bcsin Asin Acacos Bsin B，bcsin Asin Aacsin Bcos B，又由正弦定理可得：bsin Aasin B0，cos Bsin A0，A、B均是锐角，而cos Bsin(90B)，故有sin(90B)sin A，即90BA，则AB90，C90，ABC是钝角三角形，由余弦定理可得：cos C0，cos A0，即有c2a2b2，a2b2c2，故正确；cos Bcos Csin Bsin Ccos(BC)cos A0，故不正确，故答案为.答案：专题三综合提升训练(三)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016北大附中模拟)函数f(x)2sin2x1是()A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析：选D.f(x)2sin2x1cos 2x，所以最小正周期为T.f(x)cos2(x)cos 2xf(x)为偶函数2(2016河北唐山高三模拟)已知函数f(x)sin xcos x(0)，ff0，且f(x)在区间上递减，则()A3B2C6 D5解析：选B.f(x)在上单调递减，且ff0，f0，f(x)sin xcos x2sin，ff2sin0，k(kZ)，又，0，2.3在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰或直角三角形解析：选C.因为a2bcos C，所以由余弦定理得a2b，整理得b2c2，所以bc.所以此三角形一定是等腰三角形4为了使变换后的函数的图象关于点成中心对称，只需将原函数ysin的图象()A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度解析：选C.函数ysin的图象的对称中心为(kZ)，其中距离点最近的对称中心为，故只需将原函数的图象向右平移个单位长度即可5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B.C. D.解析：选A.根据正弦定理，得asin Bcos Ccsin Bcos Ab等价于sin Acos Csin Ccos Asin(AC)，sin B.又ab，B，故选A.6在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C()A. BC D.解析：选A.8b5c，由正弦定理，得8sin B5sin C.又C2B，8sin B5sin 2B，8sin B10sin Bcos B.sin B0，co
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