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专题6.1 数列的通项公式与求和试题 文【三年高考】1. 【2016高考上海文科】无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，则k的最大值为_.【答案】42. 【2016高考新课标文数】已知各项都为正数的数列满足，.（I）求；（II）求的通项公式.【解析】（）由题意得. （）由得.因为的各项都为正数，所以，故是首项为，公比为的等比数列，因此. 3.【2016高考浙江文数】设数列的前项和为.已知=4，=2+1，.（I）求通项公式；（II）求数列的前项和.4【2016高考上海文科】对于无穷数列与，记A=|=，B=|=，若同时满足条件：，均单调递增；且，则称与是无穷互补数列.（1）若=，=，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前16项的和；（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且=36，求与得通项公式.【解析】（1）因为，所以，从而与不是无穷互补数列（2）因为，所以数列的前项的和为（3）设的公差为，则由，得或若，则，与“与是无穷互补数列”矛盾；若，则，综上，5【2015高考安徽，文13】已知数列中，（），则数列的前9项和等于 .【答案】27【解析】时，为首项，为公差的等差数列，6.【2015高考新课标1，文13】数列中为的前n项和，若，则 .【答案】6【解析】，数列是首项为2，公比为2的等比数列，n=6.7.【2015高考山东，文19】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和. 8.【2015高考湖南，文19】设数列的前项和为，已知，且，（I）证明：；（II）求.9.【2015高考浙江，文17】已知数列和满足，.（1）求与；（2）记数列的前n项和为，求.【解析】 (1)由，得.当时，故.当时，整理得，所以.(2)由(1)知，所以，所以，所以.10.【2014高考全国2卷文第16题】数列满足，则_【答案】【解析】由已知得，所以，11.【2014高考湖南卷文第16题】已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.12.【2014高考山东文第19题】在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（1） 求数列的通项公式；（2） 设，记，求.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查由于连续两年大题没涉及数列,故预测2017年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力【2017年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系【考点1】数列的概念与表示【备考知识梳理】1定义：按照一定顺序排列着的一列数2表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法3分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列4与的关系：5处理方法：.用函数的观点处理数列问题【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式【考点针对训练】1. 【2016年4月河南八市高三质检卷】已知，观察下列算式：；，；若，则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意：；，；据此可知，则的值为2.数列的一个通项公式是A B C D 【答案】C.【考点2】递推关系与数列通项公式【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目2、公式法， 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法【规律方法技巧】数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.已知（即）求，用作差法：.已知求，用作商法：.若求用累加法：.已知求，用累乘法：.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求.如(21)已知，求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解. （3）由与的关系，可以先求，再求，或者先转化为项与项的递推关系，再求【考点针对训练】1. 【2016届榆林市高三二模】在数列中，则的值为（ ）A B5 C D以上都不对【答案】C【解析】因此周期为3，即，选C.2. 【2016湖北省八校高三.二联】数列满足，且，记为数列的前项和，则= .【答案】【考点3】数列求和【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点估计在以后的高考中不会有太大的改变数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：基本公式法：等差数列求和公式： 等比数列求和公式：.错位相消法：一般适应于数列的前向求和，其中成等差数列，成等比数列分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理【考点针对训练】1. 【2016年江西九江高三第三次联考】设是等差数列的前项和，若，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由成等差数列，得，即,故选C.2. 【2016届淮北一中高三最后一卷】已知函数且，在各项为正的数列中，的前项和为，若，则_【答案】6【应试技巧点拨】1. 由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p，q均为常数，）.把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.3.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.特征一：，数列的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.特征二：，数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.特征三：，数列的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.特征四：，数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.4. 利用转化，解决递推公式为与的关系式.数列的前项和与通项的关系：.通过纽带：，根据题目求解特点，消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉，利用已知递推式，把n换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉，只需把带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式成立的条件5.由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p，q均为常数，）.把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.二年模拟1. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】数列满足，对任意的都有，则（ ）A B C D【答案】D【解析】由已知，累加法可得，则，所以2. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】若数列满足d （nN，d为常数），则称数列为调和数列已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16（ ）A10 B20 C30 D40【答案】B【解析】由题意知（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则有，.故选B.3. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】数列满足：，且对任意的，都有，则（ ）A B C D【答案】D4. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺】已知数列满足，若数列的最小项为，则实数的值为（ ）A B C D【答案】B 5. 【2016年淮北一中高三模考】数列 中，则此数列的通项公式_【答案】【解析】由得，所以，又，所以是等比数列，所以，即 6. 【2016年河北石家庄高三二模】数列满足：，则数列前项的和为_.【答案】【解析】令,解得,令,则,解得,对两边除以,得,故数列是以为首项,公差为的等差数列,所以,故其前项的和为. 7. 【2016年江西省南昌市高三一模测试】数列an的前n项和为Sn，若Sn+Sn一1=2n-l (n2)，且S2 =3，则a1+a3的值为 。【答案】【解析】令,则，则，令，则，则，所以 8. 【2016届浙江省义乌市5月模拟】已知数列满足且（）.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为的前项和，证明： 9. 【2016届吉林四平一中高三五模】数列的前项和为，.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为. 10. 【2016年山西高三四校联考】在等差数列中，数列的前n项和.（）求数列，的通项公式；（）求数列的前n项和【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，则, 数列的前n项和,当n=1时，当n2时，对=4不成立，所以，数列的通项公式为.（2）n=1时，n2时， ，所以n=1仍然适合上式，综上， . 11. 【2015届河南省南阳市一中高三三模】数列的前项和为，已知，且任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为 【答案】12.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，的横、纵坐标分别对应数列（）的前项，如下表所示： 按如此规律下去，则 【答案】1007【解析】， ，这个数列的规律是奇数项为偶数项为，故，故13.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】已知数列满足，且，则的整数部分是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】C14.【2015届福建省龙岩市一中高三考前模拟】设数列的前项和为，且，（）求数列的通项公式；（）若数列为等差数列，且，公差为当时，比较与的大小【解析】（）因为， 所以当时，由两式相减，得，即，因为当时，所以， 所以（）因为， 所以， 因为，由，得，所以当时，15.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】已知数列满足下列条件： ，（）求的通项公式；（）比较与的大小拓展试题以及解析1. 已知数列的前项和满足，则数列的通项（ ）A B C D【答案】A【解析】由，得，则数列是首项为，公差为2的等差数列，则，即，则当时，又当时，满足，故选A【入选理由】本题考查数列前项和与通项间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用表面看题，似难度重重，认真审题，找出规律，从而可解，难度不大，有一定的技巧，故选此题.2已知数列中，则（）A320B160C80D40【答案】B【解析】由，得，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，所以，故选B【入选理由】本题考查数列递推关系、等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用递推关系需注意变形方法,此题难度不大，有一定的技巧，故选此题.3.已知数列的前项和为，当时，则 （ ）A246 B299 C247 D248【答案】B【入选理由】本题考查数列前项和与通项间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用递推关系是高考考试的重点与难点,有一定的技巧,需加强练习，故选此题.4.为数列中不超过的项数，且，则正整数A的值为【答案】或【解析】设，则由，可设 （不满足题意）因此，从而,再由得，为正整数 ，代入验证得，因此，由及得，由得，再结合验证只有当时，有解，解得或【入选理由】本题考查等差数列，不等式正整数解等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力此题看似简单,拿住题又无从下手,细分析后也不是太难,的确是一个好题,故选此题.5.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是_【答案】【入选理由】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力，以及转化思想的应用此类题，需认真审题，找出规律，从而可解，难度不大，有一定的技巧，故选此题.6.已知数列的前项和（）求数列的通项公式；（）记，设数列的前项和为，求【解析】当时，又时，满足上式, 所以. . 【入选理由】本题主要考查已知数列前n项和求通项以及分段数列前n项和的求法等基础知识，意在考查学生的转化与化归能力和运算求解能力此类题是高考常考题型，难度不大，有一定的技巧，故选此题.7.已知数列满足.数列 前项和为.() 求数列的通项公式；（）若，求正整数的值；（）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.（II）由，若，则 即，即, 若，即 即，,为正整数为正整数，即，即，但此时式为不合题意,综上，. （III）若为中的一项，则为正整数,又 ， 故若为中的某一项只能为，若无解；若，显然不符合题意，符合题意，当时，设，则,即为增函数，故，即为增函数，,故，故当时方程无解，即是方程唯一解；若即，综上所述，或. 【入选理由】本小题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式、数列增减性等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力此类题有一定的综合性，难度中等，有一定的解题技巧，故选此题.8.已知数列中任意连续三项的和为零，且() 求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前项和的取值范围.（II）因为，所以，从而当时，【入选理由】本小题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式、数列增减性等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析的能力此题构思巧妙,有一定的新意,有一定的难度，故选此题.
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