资源描述
专题六导数与函数必考点利用导数研究函数性质、证明不等式类型一学会踩点例1(2016高考全国乙卷)(本题满分12分)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)(1分)()设a0，则当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)单调递减，在(1，)单调递增(2分)()设a0，由f(x)0，得x1或xln(2a)若a，则f(x)(x1)(exe)0，所以f(x)在(，)单调递增(3分)若a，则ln(2a)1，故当x(，ln(2a)(1，)时，f(x)0；当x(ln(2a)，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)单调递增，在(ln(2a)，1)单调递减(4分)若a，则ln(2a)1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln(2a)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在(1，ln(2a)上单调递减(6分)(2)()设a0，则由(1)知，f(x)在(，1)单调递减，在(1，)单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且bln，则f(b)(b2)a(b1)2a0，所以f(x)有两个零点(8分)()设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点(9分)()设a0，若a，则由(1)知f(x)在(1，)上单调递增，又当x1时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点(10分)若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增又当x1时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点(11分)综上，a的取值范围为(0，)(12分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问，f(x)的单调性，讨论a的四种情况：a0，a；a0；a，每缺一种情况或每错一种情况，则扣1分，两个单调区间用“”联结者扣1分(2)单调区间错误者，则扣该情况的1分(3)第(2)问，讨论a的四种情况：a0，a0，a0，a，缺一种情况或者错一种情况，则扣1分(4)缺少综上a的范围，扣1分1已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2(e为自然对数的底数，aR)(1)判断曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)的公共点个数；(2)当x时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围解：(1)f(x)ln x1，所以切线斜率kf(1)1又f(1)0，曲线在点(1,0)处切线方程为yx1由x2(1a)x10由(1a)24a22a3(a1)(a3)可知：当0时，即a3时，有两个公共点；当0时，即a1或a3时，有一个公共点；当0时，即1ah(e)，所以，结合函数图象可得，当3ae1时，函数yf(x)g(x)有两个零点类型二学会审题例2(2016高考全国甲卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围审题路线图(1)(2)规范解答(1)f(x)的定义域为(0，)当a4时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1，)时，f(x)0等价于ln x0.设g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)g(1)，即g(x)0.综上，a的取值范围是(，22已知函数f(x)xaln x，g(x)(aR)(1)当a1时，求曲线f(x)在x1处的切线方程；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间；(3)若在1，e(e2.718)上存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，f(1)1，f(1)0，切点(1,1)，斜率k0，曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为y1.(2)h(x)xaln x，h(x)1.当a10时，即a1时，在(0,1a)上h(x)0，在(1a，)上h(x)0，所以h(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a，)上单调递增；当a10，即a1时，在(0，)上h(x)0，所以，函数h(x)在(0，)上单调递增(3)在1，e上存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，即在1，e上存在一点x0，使得h(x0)0，即函数h(x)xaln x在1，e上的最小值小于零由(2)可知，当a1e，即ae1时，h(x)在1，e上单调递减，所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)ea0可得a，因为e1，所以a；当a11，即a0时，h(x)在1，e上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)，由h(1)11a0可得a2；当1a1e，即0ae1时，可得h(x)最小值为h(1a)2aaln(1a)，因为0ln(1a)1，所以0aln(1a)a.故h(1a)2aaln(1a)2，此时不存在x0使h(x0)0成立综上可得，所求a的范围是(，2)类型三学会规范例3(本题满分12分)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值(2)证明若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，)上仅有一个零点考生不规范示例(1)f(x)x.因为k0，所以由f(x)0，得x.令f(x)0，得x，令f(x)0，得x.所以f(x)的增区间是(，)，减区间是(，)当x时，取得极小值f().当，即ke时，f(1)0，f()0.所以f(x)在区间(1，)上有一个零点综上，若f(x)有零点，则f(x)在区间(1，)上仅有一个零点规范解答(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.(2分)由f(x)0，解得x(负值舍去)(4分)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(6分)(2)证明：由(1)知f(x)在(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.(8分)当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，(10分)所以x是f(x)在区间(1，)上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点(12分)终极提升登高博见用导数证明不等式的基本思路是构造函数就是根据题目特征，对问题进行深入分析，找出已知与所求之间的联系纽带，善于变换思维，运用转化的思想，化归的方法将数学命题由一种形式向另一种形式转换，构造出恰当的函数研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.限时规范训练九利用导数研究函数性质、证明不等式(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1已知函数f(x)(a0，aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时，若对任意x1，x23，)，有f(x1)f(x2)m成立，求实数m的最小值解：f(x).令f(x)0，解得xa或x3a.(1)当a0时，f(x)，f(x)随着x的变化如下表：x(，3a)3a(3a，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(3a，a)，函数f(x)的单调递减区间是(，3a)，(a，)当a0时，f(x)，f(x)随着x的变化如下表：x(，a)a(a，3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(a，3a)，函数f(x)的单调递减区间是(，a)，(3a，)(2)当a1时，由(1)得f(x)是(3,1)上的增函数，是(1，)上的减函数又当x1时，f(x)0，所以f(x)在3，)上的最小值为f(3)，最大值为f(1).所以对任意x1，x23，)，f(x1)f(x2)f(1)f(3).所以对任意x1，x23，)，使f(x1)f(x2)m恒成立的实数m的最小值为.2已知函数f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)4at对任意的x1,3，t0,2恒成立，求实数a的取值范围；解：(1)函数f(x)ln x，f(x)，令f(x)0得x2，x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2；又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，ln 310，f(1)f(3)，x1时f(x)的最大值为，x2时函数取得最小值为ln 2.(2)由(1)知当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2解得a.即实数a的取值范围是.3已知函数f(x)ax2ln x1(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立解：(1)由于f(x)ax2ln x1(aR)，故f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上是单调递减函数当a0时，令f(x)0，得x.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值由表可知，f(x)在上是单调递减函数，在上是单调递增函数综上所述，当a0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；当a0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)当a1时，f(x)x2ln x1，设F(x)x2ln x1x2x2ln x，则F(x)x0在(1，)上恒成立，F(x)在(1，)上为增函数，且F(1)0，即F(x)0在(1，)上恒成立，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立4已知函数f(x)ln x2kx，其中常数kR.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若yf(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，证明f(x2).解：(1)f(x)x2k(x0)当k1时，f(x)x2k22k22k0，函数f(x)为增函数，当k1时，f(x)x2k(x0)，由f(x)0，得x22kx10，解得两根x1，x2，其中0x1kx2k.x，f(x)，f(x)的取值变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值综合知，当k1时，f(x)的增区间为(0，)；当k1时，f(x)的增区间为(0，k)，k，)(2)证明：当k1时，yf(x)在(0，)上是增函数，至多有一极值点，不合题意当k1时，f(x)x2k(x0)x22kx10在x0时有两个零点，且x1x22k，x1x21，则f(x2)ln x22kx2ln x2x2ln x21，f(x2)x2，当x2(0,1)时，f(x2)0，当x2(1，)时，f(x2)0，f(x2)f(1).专题三六规范滚动训练(六)(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组40,50)；第二组50,60)；第六组90,100，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图(1)求成绩在区间80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间90,100内的概率解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间80,90)内的频率为1(0.00520.0150.0200.045)100.1，所以选取的40名学生中成绩在区间80,90)内的学生人数为400.14.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间90,100内”，由(1)可知成绩在区间80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，成绩在区间90,100内的学生有0.00510402(人)，记这2名学生分别为e，f，则选取2名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间90,100内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种，所以P(A).2如图，在三棱锥PABC中，PAC，ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB1.(1)现给出三个条件：PB，PBBC，平面PAB平面ABC，试从中任意选取一个作为已知条件，并证明PA平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥PABC的体积解：法一：选取条件.(1)在等腰直角三角形ABC中，AB1，BC1，AC.又PAAC，PA.在PAB中，AB1，PA，PB，AB2PA2PB2，PAB90，即PAAB，又PAAC，ABACA，PA平面ABC.(2)由(1)可知PA平面ABC.V三棱锥PABCPASABC12.法二：选取条件.(1)PBBC，又ABBC，且PBABB，BC平面PAB.又PA平面PAB，BCPA，又PAAC，BCACC，PA平面ABC.(2)由(1)可知PA平面ABC.ABBC1，ABBC，ACPA.V三棱锥PABCABBCPA11.法三：选取条件.(1)平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，BC平面ABC，BCAB，BC平面PAB.又PA平面PAB，BCPA，又PAAC，BCACC，PA平面ABC.(2)由(1)可知PA平面ABC.ABBC1，ABBC，ACPA.V三棱锥PABCABBCPA11.3已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于y轴的正半轴上，圆C与x轴交于A，B两点，|AB|4，点B到直线AC的距离为.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线ykx1(kR)与圆C交于M，N两点，2(O为坐标原点)，求k的值解：(1)设圆C：x2(ya)2r2(a0，r0)，圆心C(0，a)，依题意不妨设A(2,0)，B(2,0)，所以直线AC的方程为ax2y2a0，因为点B到直线AC的距离为，所以，解得a1，因为a0，所以a1，所以r|AC|，所以圆C的标准方程为x2(y1)25.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又直线ykx1与圆C交于M，N两点，联立，消去y得(1k2)x24kx10.(4k)24(1k2)4(5k21)0恒成立，即直线与圆恒有两个不同的交点由根与系数的关系知x1x2，x1x2，所以y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)11，因为2，所以x1x2y1y22，解得k1.4已知函数f(x)(e为自然对数的底数)在x1处的切线方程为exye0.(1)求实数a，b的值；(2)若存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，求证：x1x20.解：f(x)f(x).(1)因为函数f(x)在x1处的切线方程为exye0，所以，所以，解得(2)由(1)可知，f(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)单调递增1单调递减不妨设x1x2，因为f(x1)f(x2)，所以x10x2，则x10.记g(x)f(x)f(x)，即g(x)(1x)ex，所以g(x)ex(1x)exxex.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)单调递减0单调递减所以g(x1)g(0)0，故f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x2)因为f(x)在(0，)上为减函数，所以x1x2，故x1x20.
展开阅读全文