高二数学下学期学业水平考试试题 理

2015-2016学年广东省揭阳市高二（下）学业水平测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|y=，B=x|12x13，则AB=（）A0，1B1，2C1，D0，22设i是虚数单位，若复数的共轭复数为z，则|z|=（）Ai+2Bi2CD53命题“x00，使得x020”的否定是（）Ax0，x20Bx0，x20Cx00，x020Dx00，x0204已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）ABCy=2xD5在ABC中， =， =，若点D满足=，则=（）A +B +C +D +6将函数y=3sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递减B在区间0，上单调增C在区间0，上单调递减D在区间0，上单调增7等差数列an的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则S6等于（）A84B57C45D428执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A55B6C5D49利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则使不等式9a29a+20成立的概率是（）ABCD10已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A24B24C24D2411在二项式（x2）5的展开式中，记x4的系数为a，则dx=（）ABCD12若函数f（x）=4x2+2x2+mex有两个不同的零点，则实数m取值范围为（）A0，1）B0，2）C（0，2）D0，2）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把正确的答案填在答题卡相应的横线上13若点（2，1）在y=ax（a0，且al）关于y=x对称的图象上，则a=14若实数x，y满足约束条件，则x+2y3的最小值为15过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于16已知数列an满足：2an=an+1+an1（n2，nN*），且a10，a1、3、a3依次成等比数列，则数列an前四项和的最小值为三、解答题：本大题必做题5小题，选做题3小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a2=2b2+2c2bc，且a=2b，（1）求cosA；（2）求cos（AB）18某班一次数学测试成绩的茎叶图（茎上数代表十位，叶上数代表个位）如图1所示（1）以10为组距，在图2给定的坐标系中画出该班成绩的频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，在样本中从分数在60，80）之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在70，80）的分数为X，求X的分布列和数学期望19如图，在四棱锥PABCD中，PC=AD=CD=AB=2，ABDC，ADCD，PC平面ABCD（1）求证：BC平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求AN与平面ABCD所成的角的正切值20已知椭圆C： +=1（ab0）过点M（1，），且左焦点为F1（1，0）（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的左右顶点分别为A、B，P为椭圆C上一动点，PA，PB分别交直线x=4于点D、E（1）求D、E两点纵坐标的乘积；（2）若点N（，0），试判断点N与以DE为直径的圆的位置关系，并说明理由21已知函数f（x）=（x+m）lnx在点（1，f（1）处的切线与直线y=2x3平行（1）求f（x）在区间e，+）上的最小值；（2）若对任意x（0，1），都有f（x）+22x0成立，求实数a的取值范围请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E若AB=6，ED=2（1）求证：CEAD；（2）求AC的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合曲线C1：cos（）=，曲线C2：（t为参数）（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（0，02）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|x|2（1）解不等式f（x）0；（2）若对任意的实数x，都有f（x）2a2|x|3a2，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|y=，B=x|12x13，则AB=（）A0，1B1，2C1，D0，2【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中y=，得到x10，解得：x1，即A=1，+），由B中不等式解得：0x2，即B=0，2，则AB=1，2，故选：B2设i是虚数单位，若复数的共轭复数为z，则|z|=（）Ai+2Bi2CD5【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数的共轭复数z，再由复数求模公式计算得答案【解答】解：=，复数的共轭复数z=2+i则|z|=故选：C3命题“x00，使得x020”的否定是（）Ax0，x20Bx0，x20Cx00，x020Dx00，x020【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x00，使得x020”的否定是x0，x20故选：A4已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）ABCy=2xD【分析】双曲线离心率为，根据双曲线的离心率公式算出b=a，结合双曲线的渐近线公式即可得到该双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的方程为，c=，结合离心率为，得e=，化简得b=a该双曲线的渐近线方程为y=，即故选：B5在ABC中， =， =，若点D满足=，则=（）A +B +C +D +【分析】由=， =，代入化简即可得出【解答】解：=， =，=+=+，故选：C6将函数y=3sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递减B在区间0，上单调增C在区间0，上单调递减D在区间0，上单调增【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律、诱导公式，余弦函数的图象的单调性，得出结论【解答】解：将函数y=3sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=3sin（x）=3cosx，故此函数在区间0，上单调增，故选：D7等差数列an的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则S6等于（）A84B57C45D42【分析】由等差数列的前n项和公式求出公差为2，由此能求出S6【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a1=2，S3=12，解得d=2，S6=62+=42故选：D8执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A55B6C5D4【分析】模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和Sn=12+22+n2=，当i的值为5时满足条件，退出循环，即可得解【解答】解：模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和Sn=12+22+n2=，容易得到S4=30，S5=5550，故输出i的值为5故选：C9利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则使不等式9a29a+20成立的概率是（）ABCD【分析】根据不等式的解法，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：由9a29a+20，得a，区间长度为=，在区间（0，1）上产生随机数a，区间长度为1则计算机在区间（0，1）上产生随机数a，使不等式9a29a+20成立的概率是，故选：A10已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A24B24C24D24【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=432=24；半个圆柱的体积为V2=，则V=24故选A11在二项式（x2）5的展开式中，记x4的系数为a，则dx=（）ABCD【分析】根据二项式展开式的通项公式Tr+1求出展开式中x4项的系数a，再利用定积分的几何意义求出dx的值【解答】解：二项式（x2）5的展开式中，通项公式为Tr+1=x2（5r）=（1）rx103r，103r=4，r=2，则x4项的系数是a=（1）2=10，则dx=dx它表示的几何意义是由曲线y=，直线x=0，x=1所围成封闭图形的面积，故dx=故选：A12若函数f（x）=4x2+2x2+mex有两个不同的零点，则实数m取值范围为（）A0，1）B0，2）C（0，2）D0，2）【分析】利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用参数分离法进行分离函数，然后构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由f（x）=4x2+2x2+mex=0得mex=4x2+2x2，得m=，设h（x）=，则h（x）=由h（x）0得x2或x，此时函数递增，由h（x）0得x2，此时函数递减，即当x=2时，函数取得极小值h（2）=，当x=时，函数取得极大值h（）=2，当x+时，h（x）0，当x时，h（x），则函数h（x）对应的图象如图：若函数f（x）=4x2+2x2+mex有两个不同的零点，等价为m=有两个不同的根，则0m2或m=，即实数m的取值范围是0，2），故选：D二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把正确的答案填在答题卡相应的横线上13若点（2，1）在y=ax（a0，且al）关于y=x对称的图象上，则a=2【分析】点（2，1）在y=ax（a0，且al）关于y=x对称的图象上，可得点（1，2）在y=ax（a0，且al）的图象上，即可得出【解答】解：点（2，1）在y=ax（a0，且al）关于y=x对称的图象上，点（1，2）在y=ax（a0，且al）的图象上，2=a1，解得a=2故答案为：214若实数x，y满足约束条件，则x+2y3的最小值为3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可【解答】解：设z=x+2y3得y=x+z+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x+z+，由图象可知当直线y=x+z+过点A时，直线y=x+z+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（2，1），代入目标函数z=x+2y3，得z=2+213=3，目标函数z=x+2y的最小值是3故答案为：315过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8【分析】根据抛物线方程得它的准线为l：x=1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长【解答】解：抛物线方程为y2=4x，抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3（1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|AB|=|AF|+|BF|AC|+|BD|=8故答案为：816已知数列an满足：2an=an+1+an1（n2，nN*），且a10，a1、3、a3依次成等比数列，则数列an前四项和的最小值为6【分析】利用2an=an+1+an1（n2，nN），可得an是等差数列根据a1、3、a3依次成等比数列，求出a1，d的关系，表示出数列an前四项和，利用基本不等式，可求最小值【解答】解：2an=an+1+an1（n2，nN），an是等差数列a1、3、a3依次成等比数列，9=a1（a1+2d），d=a1，数列an前四项和S=4a1+6d=a1+，a10，S=6，数列an前四项和的最小值为6故答案为：6三、解答题：本大题必做题5小题，选做题3小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a2=2b2+2c2bc，且a=2b，（1）求cosA；（2）求cos（AB）【分析】（1）由已知化简可得a2=b2+c2bc，利用余弦定理即可求得cosA的值（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由a=2b，根据正弦定理可得：sinA=2sinB，可求sinB的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角差的余弦函数公式即可求得cos（AB）的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）2a2=2b2+2c2bc，可得：a2=b2+c2bc，由余弦定理可得：cosA=，3分（2）cosA0，0A，sinA=5分由a=2b，根据正弦定理可得：sinA=2sinB，可得sinB=sinA=，7分AB，0B，cosB=，9分cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB=+=12分18某班一次数学测试成绩的茎叶图（茎上数代表十位，叶上数代表个位）如图1所示（1）以10为组距，在图2给定的坐标系中画出该班成绩的频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，在样本中从分数在60，80）之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在70，80）的分数为X，求X的分布列和数学期望【分析】（1）由茎叶图，作出频率分布表，由频率分布表作出频率分布直方图（2）由茎叶图知分数在60，70）的有8人，分数在70，80）的有12人，全班人数为32人，用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，应该在分数为60，70）的试卷中抽取2份，在分数为70，80）的试卷中抽取3份，则X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能示出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）由茎叶图，作出频率分布表： 分组50，60）60，70）70，80）80，90）90，100 频数 4 8 12 4 4 频率由频率分布表作出频率分布直方图：（2）由茎叶图知分数在60，70）的有8人，分数在70，80）的有12人，全班人数为32人，用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，应该在分数为60，70）的试卷中抽取份，在分数为70，80）的试卷中抽取，则X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X 1 2 3 PE（X）=1.819如图，在四棱锥PABCD中，PC=AD=CD=AB=2，ABDC，ADCD，PC平面ABCD（1）求证：BC平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求AN与平面ABCD所成的角的正切值【分析】（1）由勾股定理AC2+BC2=AB2证明BCAC，由线面垂直PC平面ABCD证明BCPC，即可证明BC平面PAC；（2）点N是PB的中点，由线线平行得出M、N、C、D四点共面，点N为过C、D、M三点的平面与线段PB的交点；过点N作NEPC交BC于E，则E为BC的中点，连接AE，证明NAE为AN与平面ABCD所成的角，即可求AN与平面ABCD所成的角的正切值【解答】（1）证明：连接AC，在直角梯形ABCD中，AC=2，BC=2，AC2+BC2=AB2，即BCAC；PC平面ABCD，BC平面ABCD，BCPC；又ACPC=C，BC平面PAC；（2）解：点N是PB的中点，理由如下；点M为PA的中点，点N为PB的中点，MNAB，又ABDC，MNCD，M、N、C、D四点共面，即点N为过C、D、M三点的平面与线段PB的交点；过点N作NEPC交BC于E，则E为BC的中点，连接AE，PC平面ABCD，NE平面ABCD，NAE为AN与平面ABCD所成的角在RtNEA中，NE=PC=1，AE=tanNAE=，AN与平面ABCD所成的角的正切值为20已知椭圆C： +=1（ab0）过点M（1，），且左焦点为F1（1，0）（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的左右顶点分别为A、B，P为椭圆C上一动点，PA，PB分别交直线x=4于点D、E（1）求D、E两点纵坐标的乘积；（2）若点N（，0），试判断点N与以DE为直径的圆的位置关系，并说明理由【分析】（）由题意可得c=1，将M代入椭圆方程，结合椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（）（1）设出P的坐标，代入椭圆方程，结合三点共线的条件：斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到乘积；（2）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由三点共线可得D，E的坐标，由=0，列式得到圆的方程，代入N的坐标，即可判断N在圆内【解答】解：（）由题意可得c=1，将点M（1，）代入椭圆方程，可得+=1，又a2b2=1，解得a=2，b=，则椭圆的方程为+=1；（）（1）设P（m，n），则+=1，即有n2=3（1）=，A（2，0），B（2，0），设D（4，yD），E（4，yE），由A，P，D共线，可得则kPA=kAD，即为=，同理可得=，两式相乘，可得=，则yDyE=12（）=9；即有D、E两点纵坐标的乘积为9；（2）点N在以DE为直径的圆内理由：椭圆的右准线为x=4，设点Q（x，y）是以DE为直径圆上的任意一点，则=0，设D（4，y1），E（4，y2），可得以DE为直径圆的方程为（x4）（x4）+（yy1）（yy2）=0，由A，P，D共线可得=，可设y1=6k1，同理可得y2=2k2，又k1k2=，即有x2+y28x（6k1+2k2）y+7=0将N（，0）代入上式的左边，可得+080+7=0，即有点N在以DE为直径的圆内21已知函数f（x）=（x+m）lnx在点（1，f（1）处的切线与直线y=2x3平行（1）求f（x）在区间e，+）上的最小值；（2）若对任意x（0，1），都有f（x）+22x0成立，求实数a的取值范围【分析】（1）求出f（x）的导数，得到f（1）=2，求出m的值，从而求出f（x）递增，得到f（x）的最小值即可；（2）问题转化为lnx+2（1x）0对任意x（0，1）恒成立，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（1）由f（x）=lnx+结合题意得：函数f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率k=f（1）=1+m=2，m=1，xe，+）时，f（x）=lnx+0，函数f（x）在e，+）递增，f（x）min=f（e）=e+1；（2）对任意x（0，1），都有f（x）+22x0成立，即lnx+2（1x）0对任意x（0，1）恒成立，当x（0，1）知lnx0，a0时， lnx+2（1x）0，不合题意，a0时，lnx+0对任意x（0，1）恒成立，记h（x）=lnx+，则h（x）=，记g（x）=x2+2（12a）x+1，则方程g（x）=0的根的判别式=4（12a）24=16a（a1），若a1，则0，g（x）0，在（0，1上h（x）0，h（x）在（0，1上递增，又h（1）=0，对任意x（0，1），h（x）0恒成立，若a1，0，由g（0）=10，g（1）=4（1a）0知存在x0（0，1）使得g（x0）=0，对任意x（x0，1），g（x）0，h（x）0，h（x）在（x0，1）递减，又h（1）=0，x（x0，1）时，h（x）0不合题意，综上，a（0，1请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E若AB=6，ED=2（1）求证：CEAD；（2）求AC的长【分析】（1）利用AB是圆O的直径，可得ACB=90即ACBD又已知BC=CD，可得ABD是等腰三角形，可得D=B再利用弦切角定理可得ACE=B，得到AEC=ACB=90，即可得出结论；（2）由（1）可知AECACB，即可求AC的长【解答】（1）证明：AB是圆O的直径，ACB=90即ACBD又BC=CD，AB=AD，D=ABC，EAC=BACCE与O相切于点C，ACE=ABCAEC=ACB=90CEAD；（2）解：由（1）可知AECACB，=，AC2=AEAB=（62）6=24，AC=2选修4-4：坐标系与参数方程23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合曲线C1：cos（）=，曲线C2：（t为参数）（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（0，02）【分析】（1）根据两角差的余弦公式将cos（）展开，求得cos+sin=2，由，代入即可求得曲线C1的直角坐标方程，将曲线C2消去t可得到到曲线C2的普通方程；（2）将直线方程与圆的方程联立解得交点坐标，并将其转化成极坐标的形式【解答】解：（1）cos（）=cos+sin=2，将代入即可得到曲线C1的直角坐标方程：x+y2=0，将消去参数t，得到曲线C2的普通方程为（x4）2+（y5）2=25；（2）由，联立解得：或，将转化成极坐标（，），将转化成极坐标（2，），C1与C2交点的极坐标（，），（2，）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|x|2（1）解不等式f（x）0；（2）若对任意的实数x，都有f（x）2a2|x|3a2，求实数a的取值范围【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得，|2x+1|2|x|2a23a 恒成立，利用绝对值三角不等式可得 2a23a1，由此解得a的范围【解答】解：（1）由不等式f（x）=|2x+1|x|20，可得，或，或解求得x3；解求得x，解求得 x1综上可得，原不等式的解集为x|x3，或 x1（2）若对任意的实数x，都有f（x）2a2|x|3a2，则|2x+1|2|x|2a23a 恒成立又|2x+1|2|x|2x+12x|=1，2a23a1，解得a1，即实数a的取值范围为，1