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衡阳市八中2016年下期期中考试试题高二数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。1命题“”的否定是（ ）A BC D2设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（ ）A B. C， D4. 已知不共线，对空间任意一点，若，则四点（ ）A不共面 B共面 C不一定共面 D无法判断5已知动点到点和到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）A抛物线 B双曲线左支 C一条直线 D圆6双曲线的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则双曲线的虚轴长等于（ ）A4 B C D7焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（ ）A B C D8.在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A B C D9若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A B C2 D10在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的坐标是（ ）A（2，1） B（1，2） C(2，1) D（1，2）11在极坐标系中，已知圆的方程为，则圆心的极坐标为( )A. B. C. D. 12设双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于，两点，若，则该双曲线的其中一条渐近线的斜率是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）。13椭圆上一点到椭圆左焦点的距离为7，则点到右焦点的距离为_14在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 .15已知，若，则 .16椭圆上的点到直线的距离的最大值为_三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17（本小题满分8分）已知实数满足，其中实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围18（本小题满分8分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线极坐标方程为，曲线参数方程为（为参数）（1）求的直角坐标方程；（2）当与有两个公共点时，求实数取值范围19（本小题满分8分）如图所示，已知长方体中， 是棱上的点，且（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值20（本小题满分9分）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.（1）求二面角的平面角的余弦值；（2）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置并证明结论；若不存在，请说明理由.21（本小题满分9分）点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，满足（1）求点的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹相交于两点，使点为弦的中点，求直线的方程22.（本小题满分10分）椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆交于A、C两点，直线与椭圆交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形.（1）求椭圆M的方程；（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值.衡阳市八中2016年下期期中考试试题高二数学（理）命题人：刘美容 周彦 审题人：肖中秋一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。1命题“”的否定是（ C ）A BC D2设，则“”是“”的（ A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（ D ）A B. C， D5. 已知不共线，对空间任意一点，若，则四点（ B ）A不共面 B共面 C不一定共面 D无法判断5已知动点到点和到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ A ）A抛物线 B双曲线左支 C一条直线 D圆6双曲线的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则双曲线的虚轴长等于（ D ）A4 B C D7焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（ D ）A B C D8.在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ A ）A B C D9若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ A ）A B C2 D10在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的坐标是（ B ）A（2，1） B（1，2） C(2，1) D（1，2）11在极坐标系中，已知圆的方程为，则圆心的极坐标为( A )A. B. C. D. 12设双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于，两点，若，则该双曲线的其中一条渐近线的斜率是（ B ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）。13椭圆上一点到椭圆左焦点的距离为7，则点到右焦点的距离为 13 14在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 1 .15已知，若，则 .16椭圆上的点到直线的距离的最大值为_三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17（本小题满分8分）已知实数满足，其中实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围解：（1）对由得，因为，所以当时，解得，即为真时，实数的取值范围是又为真时实数的取值范围是若为真，则真且零点，所以实数的取值范围是（2）是的必要不充分条件 ，即，且，设，则又；所以有解得，所以实数的取值范围是18（本小题满分8分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线极坐标方程为，曲线参数方程为（为参数）（1）求的直角坐标方程；（2）当与有两个公共点时，求实数取值范围解析：（）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为. （）曲线的直角坐标方程为：，实数的取值范围：. 19（本小题满分8分）如图所示，已知长方体中， 是棱上的点，且（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值解：（1）证明 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系DxyzD（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）E（0，2，1），=（-2，0，1），又=（-2，2，-4），=（2，2，0），=4+0-4=0，且=-4+4+0=0且，即A1CDB，A1CBE，又DBBE=B，A1C平面BDE即A1C平面BED（3）解 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量又=（0，2，-4）,cos,=A1B与平面BDE所成角的正弦值为20（本小题满分9分）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.（1）求二面角的平面角的余弦值；（2）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置并证明结论；若不存在，请说明理由.解析：（1）为直三棱柱，分别为棱的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.，.设平面的一个法向量为，则，即，得，.又平面的一个法向量为，由图可知，二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的余弦值为（2）在线段上存在一点，设为，使得平面欲使平面，由（）知，当且仅当，在线段上存在一点满足条件，此时点为的中点考点：（1）与二面角有关的立体几何综合体；（2）直线与平面垂直的判定.【一题多解】（1）分别延长，交于，平面，过作于，连接，为二面角的平面角，平面中，为的中点，在中，二面角的平面角的余弦值为（2）在线段上存在一点，使得平面，为中点证明如下：为直三棱柱，由（1），平面，平面，在平面内的射影为，为中点，同理可证，平面，为定点，平面为定平面，点唯一21（本小题满分9分）点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，满足（1）求点的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹相交于两点，使点为弦的中点，求直线的方程解析：（1）点在线段上，满足，点是线段的中点，设，则，点在圆上运动，则，即，点的轨迹方程为（2）当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意设直线的方程为，由可得，由韦达定理可得，由的中点为，可得，解得，即直线的方程为，直线的方程为方法二：当直线轴，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意设，两点在椭圆上，满足，由（1）-（2）可得，则，由的中点为，可得，代入上式，即直线的方程为，即，经检验直线与椭圆相交，直线的方程为.22.（本小题满分10分）椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆交于A、C两点，直线与椭圆交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形.（1）求椭圆M的方程；（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值.解析：（1）依题意有，又因为，所以得故椭圆的方程为 2分（2）依题意，点满足所以是方程的两个根得所以线段的中点为 同理，所以线段的中点为 4分因为四边形是平行四边形，所以解得，或(舍)即平行四边形的对角线和相交于原点 6分（3）点满足所以是方程的两个根，即故同理， 7分又因为，所以，其中从而菱形的面积为， 整理得，其中 9分故，当或时，菱形的面积最小，该最小值为 10分
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