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海南中学2016-2017学年第一学期期中考试高二理科数学试题卷考试时间：120分钟 满分：150分第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1. 已知命题，则为（ ）A.B.CD2. 空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标是（ ）A.B.CD3. 已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能得到平面的是（ ）A BC D4. 已知，则方程与的曲线在同一坐标系中大致是（ ）5. 下列命题中为真命题的是（ ）A命题“若且,则”B命题“若，则”的逆命题 C命题“若，则或”的否命题D命题“若，则”的逆否命题6. 已知双曲线的一条渐近线的斜率是，则此双曲线的离心率等于（ ）A B C2 D7. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是( )A BC D8. 直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A B C D9. 设直线经过椭圆的右焦点且倾斜角为，若直线与椭圆相交于两点，则（ ）AB. CD. 10. 已知正四面体的棱长为，点分别是的中点，则的值为( )AB. C. D. 11. 已知的三顶点分别为，.则边上的高等于（ ）A B C2 D12. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过顶点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（ ）AB. CD. 第卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量与向量分别是直线与直线的方向向量，则直线与直线所成角的余弦值为_14. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离等于_15. 已知过点且斜率为的直线与抛物线有且只有一个交点，则的值等于_16. 已知点和分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是_三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）如图，在平行六面体中，分别在面对角线上且.记向量，用表示.18. （本小题满分12分）设条件；条件.若是的必要不充分条件，求的取值范围19. （本小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是、的中点.、分别是、的中点，.（1）求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，,，侧面为等腰直角三角形，平面平面，为棱上的一点（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由21. （本小题满分12分）设椭圆过点，且离心率为，直线过点，且与椭圆交于不同的两点.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围22. （本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点为一个定点，过点分别作斜率为、的两条直线、，直线交轨迹于、两点，直线交轨迹于、两点，线段、的中点分别是、.若，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.海南中学2016-2017学年第一学期期中考试高二理科数学参考答案考试时间：120分钟 满分：150分第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）题号123456789101112答案CBBDCCBADCAA第卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 14. 15. 0或或16. 三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）23. （本小题满分10分）如图，在平行六面体中，分别在面对角线上且.记向量，用表示.解析： 24. （本小题满分12分）设条件；条件.若是的必要不充分条件，求的取值范围解析1：设A=x|，B=x|， 2分化简得A=x|，B=x| 6分由于是的必要不充分条件，故是的充分不必要条件，即， 8分 10分解得，故所求实数a的取值范围是 12分解析2：， 2分记， 4分化简得， 6分由于是的必要不充分条件，故是的充分不必要条件，即， 8分 10分解得 故所求实数a的取值范围是 12分25. （本小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是、的中点.、分别是、的中点，.（1）求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解析：以为原点，的方向分别作为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则故.因为、分别是、的中点，所以.因为、分别是、的中点，所以.（1）.因为轴平面，所以是平面的一个法向量.由于，故.又平面，故平面.（2）.设平面的一个法向量为，则，即.取，得.设直线与平面所成的角为，则因此直线与平面所成角的正弦值为.26. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，,，侧面为等腰直角三角形，平面平面，为棱上的一点（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解法1：（1）平面底面，平面底面，平面（面面垂直的性质定理） 2分（线面垂直的定义） 3分又，平面（线面垂直的判定定理）（线面垂直的定义） 6分（2）如图，取的中点，连接，设与交于点.等腰直角三角形中，平面底面，平面底面，平面（面面垂直的性质定理）.，（线面垂直的定义）易知四边形是正方形，平面（线面垂直的判定定理），（线面垂直的定义），是二面角的平面角， 8分，易知，注意到直角中，即 10分，即. 12分故棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，并且.解法2：（1）取的中点，连接，平面底面，平面底面，平面（面面垂直的性质定理），由题意易知四边形是正方形，可如图建立空间直角坐标系 2分，为棱上的一点，可设.， 4分，即. 6分（2）易知平面的一个法向量为， 7分设平面的法向量为，由（1），令，则，即面的一个法向量 9分， 10分整理得，解得或.，. 12分故棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，并且.27. （本小题满分12分）设椭圆过点，且离心率为，直线过点，且与椭圆交于不同的两点.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围解析：（1）由题意得：，解得.椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为x3与椭圆无交点.故直线的斜率存在，设其方程为：yk(x3).由得(3k22)x218k2x27k2120，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以(18k2)24(3k22)(27k212)0，即.设A(x1, y1), B(x2, y2)，则x1x2，x1x2,(x13, y1), (x23, y2)，(x13)(x23)y1y2(x13)(x23)k2(x13)(x23)(k21)x1x23(x1x2)9(k21)( 9)2， ， 23，的取值范围是28. （本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点为一个定点，过点分别作斜率为、的两条直线、，直线交轨迹于、两点，直线交轨迹于、两点，线段、的中点分别是、.若，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解析：（1）设动圆圆心为O1（x，y），动圆与y轴交于R，S两点.由题意，得|O1P|O1S|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HRS交RS于H，则H是RS的中点.|O1S|.又|O1P|，化简得y24x（x0）又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为（0,0）也满足方程y24x.动圆圆心的轨迹Q的方程为y24x（2）由，得.设，则.因为AB中点，所以.同理，点.直线：，即直线MN恒过定点
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