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,习题课,二、三个线面问题,三、线面关系实例,机动目录上页下页返回结束,矢量代数与,第八章,一、矢量代数,空间解析几何,一、矢量代数,1.数量积：,设矢量,的夹角为,称,数量积,(点积).,2.矢量积：,定义,矢量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,矢量积,机动目录上页下页返回结束,3.典型例题：,解:由已知条件得:,得,令,则,方向余弦,机动目录上页下页返回结束,解:,例2.已知,且满足,都是单位向量，,求,只能考虑,应用向量的运算规律来求解。,机动目录上页下页返回结束,解:,例3.已知,并求以,求与,同时垂直的单位向量，,机动目录上页下页返回结束,为两邻边的平行四边形之面积。,与之同时垂直的单位向量：,面积为：,解:,例4.在,并与向量,坐标平面上求向量,使它垂直与向量,机动目录上页下页返回结束,有相等的模。,由题设知,又因为,而,则,于是,解:,例5.已知向量,成相等锐角，求,轴上的投影。,轴与三坐标轴正向构,机动目录上页下页返回结束,在,设u轴上的方向余弦分别是,由题设,以及,得,所以,即u轴上的正向单位向量,解:,例6.设向量,（1）k为何值时，,其中,机动目录上页下页返回结束,（1）当,且,问：,（2）k为何值时，,即,有,解:,机动目录上页下页返回结束,（2）平行四边形面积,例6.设向量,（1）k为何值时，,其中,且,问：,（2）k为何值时，,二、三个重点问题,(1)过直线,的平面束,方程,机动目录上页下页返回结束,(2)点,的距离为,到平面：Ax+By+Cz+D=0,机动目录上页下页返回结束,到直线,的距离,为,(3)点,机动目录上页下页返回结束,三、实例分析,例1.求与两平面x4z=3和2xy5z=1的交线,提示:所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且过点(3,2,5)的直线方程.,机动目录上页下页返回结束,例2.假设给定两条直线,和,证明:利用向量的混合积来证明:,机动目录上页下页返回结束,证明此两直线异面。,例3.求过点(2,1,3)且与直线,垂直相交的直线方程.,提示:先求二直线交点P.,化已知直线方程为参数方程,代入式,可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,机动目录上页下页返回结束,例4.求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,机动目录上页下页返回结束,例5.设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动目录上页下页返回结束,所求为,例6.求过直线L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,提示:,过直线L的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,机动目录上页下页返回结束,思路:先求交点,例7.求过点,且与两直线,都相交的直线L.,提示:,的方程化为参数方程,设L与它们的交点分别为,再写直线方程.,机动目录上页下页返回结束,三点共线,机动目录上页下页返回结束,因为,例8.直线,绕z轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程.,提示:,在L上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动目录上页下页返回结束,截线方程为,解,如图,例9,机动目录上页下页返回结束,空间的圆周，求其中心坐标和半径。,过球心且与已知平面垂直的直线方程,解:,故球的中心坐标为（3，2，0）,因为,则球心到平面的距离,机动目录上页下页返回结束,表示一个,例10.方程组,将直线的标准式化为参数式,代入已知的平面方程解得,所以圆的中心坐标为,圆的半径为,机动目录上页下页返回结束,上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。,解:方法一,由于所做平面垂直与已知平面，故有,先将直线l的标准式化为一般式,机动目录上页下页返回结束,在平面,例11.求,过直线l作平面束方程,即,即过直线l垂直平面的平面方程为,机动目录上页下页返回结束,故所求直线l0的方程为,再求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程,将直线l0化为标准式,上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例11.求,解:方法一,此时y不变,机动目录上页下页返回结束,直线l0上点,绕y轴旋转到,由于M1为直线l0上的点，即,而,所以有,整理得,上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例11.求,解:方法一,机动目录上页下页返回结束,设经过直线l点且垂直于平面的平面1,的方程为,则由条件可知,由此解得,于是平面1的方程为,从而l0的方程为,上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例11.求,解:方法二,机动目录上页下页返回结束,由一般的空间曲线,消去参数t即可得到曲面方程.,绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为,:,上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例11.求,解:方法二,机动目录上页下页返回结束,由于l0的参数表达式为,消去参数t，得,绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为,上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。,在平面,例11.求,解:方法二,机动目录上页下页返回结束,练习,画出下列各曲面所围图形:,机动目录上页下页返回结束,画出下列各曲面所围图形:,练习,机动目录上页下页返回结束,画出下列各曲面所围图形:,练习,
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