高数下方向导数与梯度.ppt

,第八章,第七节,一、方向导数,机动目录上页下页返回结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义:若函数,则称,为函数在点P处沿方向l的方向导数.,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,机动目录上页下页返回结束,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点P可微,得,机动目录上页下页返回结束,故,机动目录上页下页返回结束,对于二元函数,为,)的方向导数为,特别:,当l与x轴同向,当l与x轴反向,向角,例1.求函数,在点P(1,1,1)沿向量,3)的方向导数.,机动目录上页下页返回结束,例2.求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝x增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点P的切向量为,机动目录上页下页返回结束,例3.设,是曲面,在点P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P处沿,求函数,机动目录上页下页返回结束,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,机动目录上页下页返回结束,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,机动目录上页下页返回结束,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2.梯度的几何意义,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动目录上页下页返回结束,称为函数f的等值线.,则L*上点P处的法向量为,同样,对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,指向函数增大的方向.,3.梯度的基本运算公式,机动目录上页下页返回结束,例4.,证:,试证,机动目录上页下页返回结束,三、物理意义,函数,数量场(数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),如:温度场,电位场等,如:力场,速度场等,(向量场),注意:任意一个向量场不一定是梯度场.,机动目录上页下页返回结束,例5.,已知位于坐标原点的点电荷q在任意点,试证,证:利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,机动目录上页下页返回结束,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.设函数,(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,2.P73题16,机动目录上页下页返回结束,曲线,1.(1),在点,解答提示:,机动目录上页下页返回结束,M(1,1,1)处切线的方向向量,机动目录上页下页返回结束,2.P73题16,P512，3，6，7，8，9，10,作业,第八节目录上页下页返回结束,备用题1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意x,y,z具有轮换对称性,(92考研),机动目录上页下页返回结束,指向B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,2.函数,提示:,则,(96考研),机动目录上页下页返回结束,