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3.1.2空间向量的数乘运算,自学导引(学生用书P63),1.理解向量数乘运算的含义及运算律,能够进行向量的数乘运算.2.掌握向量共线与共面定理,能运用定理证明一些几何问题.,课前热身(学生用书P63),1.与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a仍然是一个_,称为_.当0时,a与a方向_;当0时,a与a方向_;当=0时,a是一个_.a的长度是a的长度的_倍.,向量,向量的数乘运算,相同,相反,0,|,2.数乘运算律:分配律:_;_.结合律:(a)=_.3.空间向量共线的充要条件是:对空间任意两个向量a、b(b0),ab的充要条件是_.4.空间任意两个向量都_.平行于同一平面的向量叫做_.,(a+b)=a+b,(+)a=a+a,()a,a=b,共面,共面向量,名师讲解(学生用书P63),1.正确应用共线向量及共线向量定理(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说a、b共线时,表示a、b两条有向线段所在直线既可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说ab时,也具有同样的意义.(2)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法,但是要注意,向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括共线的情况.如果应用共线向量定理判断a、b所在的直线平行,还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上.,2.共面向量定理的理解(1)空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对(x,y),使满足这个关系式的点P都在平面MAB内;反之,平面MAB内的任一点P都满足这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面.,(2)共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式,说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来,它既是判断三个向量是否共面的依据,又是已知共面条件的另一种形式,可以借此已知共面条件转化为向量式,以方便向量运算.另外,在许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任意一点O,有且x+y+z=1成立,则P、A、B、C四点共面作为判定空间上四个点共面的依据.,典例剖析(学生用书P63),题型一空间向量的概念例1:给出以下命题:用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面;已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量;若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面.,其中正确命题的序号是_.解析:在空间,用有向线段表示的向量仍然是自由向量,而任意两个向量总是共面向量,故命题错误;空间四边形的四条边确定的四条线段中每条线段都可以确定两个方向相反的向量,当它们不是首尾相接时,这四个向量的和就不是零向量,故命题错误;命题就是空间共面向量定理,所以是正确的;命题也是错误的,向量的共面与点的共面是不同的两个概念,若其中两个向量是平行向量,第三个向量与其中一个向量有相同的起点,则这三个向量一定是共面向量,但这三个向量的起点与终点却可以不共面.,变式训练1:下列说法正确的是()A.以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体,答案:B,题型二空间向量的数乘运算,题型三共线问题,规律技巧:(1)判定两向量共线就是找x使a=xb,要充分运用空间向量运算法则结合空间图形,化简得出a=xb,从而得出ab.(2)要证明空间图形中的两直线平行可以先证明两直线所在的向量平行,然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直线上,则两直线平行.,变式训练3:射线AB、AC、AD不共面,连接BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图,试判断四边形EFGH的形状,并用向量证明.,题型四共面问题例4:如右图,两个全等的正方形ABCD、ABEF,在其对角线AE、BD上(不含端点)分别取点M、N,使AM=DN.求证:MN平面BCE.分析:可将直线与平面的平行转化成向量的共面,然后结合线面平行的判定定理证明.,规律技巧:将要证的直线与平面平行的问题转化成向量共面的问题,从而使繁琐地几何证明问题巧妙地转化成向量的运算,体现了向量良好的工具性.,变式训练4:如右图,ABCD-ABCD中,点E是上底面ABCD的中心,求下列各式中的x、y、z的值:,技能演练(学生用书P65),基础强化1.满足下列条件,能说明空间不重合的三点A、B、C共线的是(),答案:C,2.下列命题中正确的是()A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B.向量a、b、c共面,即它们所在的直线共面C.零向量没有确定的方向D.若ab,则存在唯一的实数,使a=b解析:当b=0时,a与c不一定共线,所以A错.由共面向量的定义知,B错.当a与b是非零向量时,D正确.但命题中没有非零向量这个条件,所以D错.答案:C,3.下列条件中使点M与点A、B、C一定共面的是(),答案:C,4.下列结论中,正确的个数是()若a、b、c共面,则存在实数x、y,使a=xb+yc若a、b、c不共面,则不存在实数x、y,使a=xb+yc若a、b、c共面,b、c不共线,则存在实数x、y,使a=xb+yc若a=xb+yc,则a、b、c共面A.0B.1C.2D.3解析:正确,错误.答案:D,答案:A,7.向量a与b不共线,存在惟一一对非零实数m、n,使c=ma+nb,则a、b、c_共面向量.(填“是”或“不是”),是,-1,能力提升,10.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C平面ODC1.,品味高考,答案:A,
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