高三数学上学期第一次学情调研考试试题

2016-2017学年度高三第一次学情调研考试 数学试题注意事项：1.本试题满分160分，考试时间120分钟。 2.请将答案填涂在答题纸上，写在试卷上无效。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1若集合，且，则实数的取值范围是 .2命题“，”的否定是 命题.（填“真”或“假”）3. 设点是角终边上一点，若，则 .4函数的单调递增区间为 .5若函数的零点在区间（）内，则= .6设函数是奇函数，则实数的值为 .7已知直线过函数（其中）图象上的一个最高点，则的值为 .8在锐角中，的面积为，则的长为 .PABCD第10题图9设向量，则的取值范围是 .10如图，在平行四边形中，点是边的中点，则的值为 .11若函数在处取得极大值，则正数的取值范围是 .12设是等比数列的前项和，成等差数列，且，则 .13已知数列的前项和，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是 .14. 设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分14分)已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若，求的值.16(本小题满分14分)设集合，集合.（1）若，求；（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.17. (本小题满分14分)在中，分别为角的对边，已知，.（1）若，求边的长；（2）若，求的值.18(本小题满分16分)OACBDEFxyMN第18题图如图，河的两岸分别有生活小区和，其中，三点共线，与的延长线交于点，测得，. 若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，则河岸可看成是曲线（其中为常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分. （1）求的值；（2）现准备建一座桥，其中分别在上，且，设点的横坐标为. 请写出桥的长关于的函数关系式，并注明定义域；当为何值时，取得最小值？最小值是多少？19. (本小题满分16分)已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）.20. (本小题满分16分)设各项均为正数的数列满足（为常数），其中为数列的前项和.（1）若，求证：是等差数列；（2）若，求数列的通项公式；（3）若，求的值.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 假 3. 4. 5. 1 6. 1 7. 18. 9. 10. 7 11. 12. 8 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15解：（1）因为 2分， 6分所以的最小正周期为. 8分（2）因为，所以，即， 10分 所以. 14分16解：（1）解不等式，得，即， .2分当时，由，解得，即集合， .4分 所以； .6分（2）因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集. .8分 又集合， .10分 所以或， .12分解得，即实数的取值范围是. .14分17解：（1）在中，因为，所以，所以， .2分所以， .4分由正弦定理，得，所以. .6分（2）因，得 ， .8分由余弦定理，有 ，得， .10分再由余弦定理，有，解得， .12分所以，即，所以. 14分 （说明：其它方法类似给分）18解：（1）将两点坐标代入到中，得， 2分解得. 3分再将两点坐标代入到中，得， 5分解得. 6分（2）由（1）知直线的方程为，即. 7分设点的坐标分别为，则利用点到直线的距离公式，得， 9分又由点向直线作垂线时，垂足都在线段上，所以，所以，. 10分 方法一：令，因为，所以由，解得或（舍）， 12分所以当时，单调递增；当时，单调递减.从而当时，取得最大值为， 14分即当时，取得最小值，最小值为. 16分方法二：因为，所以，则 12分，当且仅当，即时取等号， 14分即当时，取得最小值，最小值为. 16分方法三：因为点在直线的上方，所以，所以， 12分以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. 16分方法四：平移直线至，使得与曲线相切，则切点即为取得最小值时的点. 12分由，得，则由，且，解得，14分故当时，取得最小值，最小值为. 16分19. 解：（1）因为，所以，则所求切线的斜率为， 2分 又，故所求切线的方程为. .4分（2）因为，则由题意知方程在上有两个不同的根.由，得， 6分令，则，由，解得.yxO1111当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，取得最小值为. 8分又，（图象如右图所示），所以，解得. 10分（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.即对恒成立. 令，则， 12分 令，则，因为在上单调递增，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增，则取到最小值14分所以，即在区间内单调递增. 所以， 所以存在实数满足题意，且最大整数的值为. 16分20解：（1）证明：由，得，所以，两式相减，得，所以是等差数列. 4分（2）令，得，所以， 5分则，所以，两式相减，得， 7分所以，化简得，所以， 9分又适合，所以. 10分（3）由（2）知，所以，得，两式相减，得，易知，所以. 12分当时，得，所以，满足； 14分当时，由，又，所以，即，所以，不满足；当且时，类似可以证明也不成立；综上所述，所以. 16分