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专题四综合实践与探究纵观河北8年中考：综合实践与探究是河北每年中考的压轴题型结合几何图形如三角形、正方形、圆及正方体考查，一般以简单几何图形的基本性质为出发点进行考查近7年涉及到的考查形式有2016年25题探索半圆在大半圆内运动规律、2015年的矩形、半圆为背景探索图形旋转变化中的规律；2014年以景区内的环形(正方形)路为背景，考查一次函数的实际应用、方程、列代数式并比较大小和不等式的实际应用；2013年以正方体容器为背景考查线段的位置关系、直棱柱的体积、倾斜角、一次函数的实际应用等；2012年以三角形为背景，考查列代数式及线段之间的距离的最值关系等；2011年以平行线间的半圆为背景，考查点到直线的距离和旋转角等；2010年以转动的机械装置为背景，考查点之间的最值、直线与圆的位置关系、点与直线的距离等；2009年以圆为背景，结合规律探究考查；难度一般较大，考查学生综合能力，具有选拔性此类题目前几问一般比较简单，解决后面问题往往会套用前面问题的解题思路，则将问题变为从简单逐渐到难的过程，从而解决问题做题时，需要将后面的问题与前面的问题对比，才能轻松得解预计2017年河北中考，依然会以简单几何图形为背景进行运动化，考查学生综合分析以及运用函数、方程、相似等知识解决问题的能力，难度会很大,中考重难点突破)探究与拓展【经典导例】【例1】(2015河北中考)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且DOQ60，OQOD3，OP2，OAAB1.让线段OD及矩形ABCD的位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为(060)发现(1)当0，即初始位置时，点P_(选填“在”或“不在”)直线AB上求当是多少时，OQ经过点B?(2)在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BMx(x0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin的值【学生解答】发现 (1)在，当0时，如答图，过点P作OD的垂线PE交OD于点E.在RtOPE中，OEOPcosDOQOPcos6021OA，则A和E重合，则点P在直线AB上如答图，连接OB，则在RtOAB中，OAAB，则OAB是等腰直角三角形，则BOA45，则POABOA604515.即当15时，OQ经过点B；(2)如图，连接AP，OP为定值，而OAAPOP，即可判断当O，A，P共线时取得最小值当OP过点A，即60时等号成立APOPOA211，60时，P，A间的距离最小，PA的最小值为1.(3)如答图，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E.在RtOPH中，PHAB1，OP2，POH30，603030.ADBC，RPOPOH30，RKQ23060，S扇形KRQ，在RtRKE中，RERKsin60，SPRKREPK，S阴影.拓展 ：ANOBNM，OANMBN，OANMBN，即，解得BN.如答图，当点Q落在BC上时，x取最大值作QFAD于点F.BQAFAO121.x的范围是0x21.即BN(0x21)；探究半圆K与矩形ABCD的边相切有三种情况：与BC相切、与AD相切、与CD相切，再依据相切，画出图形，并构造RtOKG，运用KOG的正弦的定义，求得KO与KG即可当半圆K与BC相切时，设切点是T，如答图，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别相交于点S、O，作KGOO于点G，则KSOKTB90，在RtOSK中，OS2，在RtOSO中，SOOStan602，KQ2，在RtKGO中，O30，KGKO，在RtOGK中，sin.当半圆K与AD相切时，设切点是T，如答图.同理可得：sin.当半圆k与CD相切时，点Q与点D重合，且为切点，60，sinsin60，综上，sin的值是或或.【方法指导】解决本题的难点在于正确分析半圆K与矩形ABCD的边相切的三种情况，并借助直角三角形的边角关系求出的对边与斜边要画出圆相切时的情形，并过圆心K作OO的垂线1(2015河南中考)如图，在RtABC中，B90，BC2AB8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现当0时，_；当180时，_(2)拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明(3)问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长解：(1)当0.BC2AB8，AB4.点D，E分别是边BC，AC的中点，DEAB2，AEEC.B90，AC4，AECE2，.当180.由旋转性质可得CE2，CD4.AC4，BC8，.填空：；.(2)当0360时，的大小没有变化ECDACB，ECADCB.又，ECADCB，.(3)如答图.AC4，CDAD，AD8.ADBC，ABDC，B90，四边形ABCD是矩形，BDAC4.如答图，连接AD，BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P.AC4，CD4，CDAD，AD8，在ABC和CDA中，ABCCDA(SSS)，BPDQ，BPDQ，PQDQ，四边形BDQP为矩形，BDPQACAPCQ4.2(2012河北中考)如图和图，在ABC中，AB13，BC14，cosABC.探究如图，AHBC于点H，则AH_， AC_，ABC的面积SABC_拓展如图，点D在AC上(可与点A，C重合), 分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F.设BDx, AEm，CFn(当点D与A重合时，我们认为SABD0) .(1)用含x，m或n的代数式表示SABD及SCBD；(2)求(mn)与x的函数关系式，并求(mn)的最大值和最小值；(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围发现请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值解：探究：12；15；84.拓展(1)由三角形面积公式，得SABDmx，SCBDnx；(2)由(1)得m，n，mn.由于AC边上的高为，x的取值范围是x14.(mn)随x的增大而减小，当x时，(mn)的最大值为15.当x14时，(mn)的最小值为12；(3)x的取值范围是x或13x14.发现AC所在的直线，最小值为.3(2014河北中考)某景区内的环形路是边长为800 m的正方形ABCD，如图和图.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车速度均为200 m/min.探究设行驶时间为t min.(1)当0t8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2(m)与t(min)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400 m时t的值；,图图)(2)t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数发现如图，游客甲在BC上的一点K(不与点B，C重合)处候车，准备乘车到出口A.设CKx m.情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车比较哪种情况用时较多？(含候车时间)决策已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50 m/min.当行进到DA上一点P(不与点D，A重合)时，刚好与2号车迎面相遇(1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；(2)设PAs(0s800)m.若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？解：探究：(1)根据题意得：y1200t(0t8)，y21600200t(0t8)，当两车相距的路程是400 m时，可得|y1y2|400，即|200t(1600200t)|400，(1600200t)200t400或200t(1600200t)400，t13或t25.答：相遇前，相距400 m时，t为3 min；相遇后，相距400 m时，t为5 min；(2)第一次经过点C，从A到C，需要16002008 min；第二次经过点C，从C到D到A，再从A到C，需要16 min；第三次与第二次相同，因此t8161640(min)由于两车速度相同，出发时间相同，第一次在B处相遇，过了4 min；第二次在D处相遇，过了8 min，第三次在B处相遇，又过了8 min，因此(404)844，即415次答：在40 min内，它与2号车相遇了5次发现：解：情况一用时为：16；情况二用时为：16.161616(x0)，情况二用时较多决策：(1)由题意知，此时1号车正行驶在CD边上，乘1号车到达点A的路程小于1个边长，而乘2号车的路程却大于3个边长，所以乘1号车比乘2号车到出口A用时少(两车速相同)；(2)若步行比乘1号车用时少，则.解得s320.当0s320时，选择步行同理可得当320s800时，选择乘1号车当s320时，选择步行或乘1号车思考与探究【经典导例】【例2】(2011河北中考)如图至图中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点思考：如图，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN8，点P为半圆上一点，设MOP.当_时，点P到CD的距离最小，最小值为_探究一：在图的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图，得到最大旋转角BMO_，此时点N到CD的距离是_探究二：将图中的扇形纸片MOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转(1)如图，当60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；(2)如图，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围(参考数据：sin49，cos41，tan37)【解析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案探究一：根据MN8，MO4，OY4，得出UO2，即可得出最大旋转角BMO30，此时点N到CD的距离是2；探究二：(1)由已知得出M与P的距离为4，PMAB时，点P到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为642，即可得出BMO的最大值；(2)分别求出最大值为OMHOHM3090以及最小值2MOH，即可得出的取值范围【学生解答】思考：90，2；解法提示：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当90时，点P到CD的距离最小，MN8，OP4，点P到CD的距离最小值为：642.探究一：30，2；解法提示：点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如解图.MN8，MO4，OY4，UO2，得到最大旋转角BMO30，此时点N到CD的距离是2；探究二：(1)60，MOP是等边三角形，MOMP4，PMAB时，点P到AB的最大距离是4，由已知得出M与P的距离为4，从而得到点P到CD的最小距离为642，当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，切点为M.此时旋转角最大，BMO的最大值为90；(2)如解图，由探究一可知，点P是与CD的切点时，达到最大，即OPCD，此时，延长PO交AB于点H，最大值为OMHOHM3090120.如解图，当点P在CD上且与AB距离最小时，MPCD，达到最小，连接MP，作OHMP于点H，由垂径定理，得MH3，在RtMOH中，MO4，sinMOH，MOH49.2MOH，最小为98.的取值范围是98120.4(2016石家庄二十八中二模)问题提出学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究初步思考我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，ACDF，BCEF，BE，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究深入探究第一种情况：当B是直角时，ABCDEF.(1)如图，在ABC和DEF，ACDF，BCEF，BE90，根据_可以知道RtABCRtDEF.第二种情况：当ABC是钝角时，ABCDEF.(2)如图，在ABC和DEF中，ACDF，BCEF，ABCDEF，且B、E都是钝角，求证：ABCDEF.第三种情况：当ABC是锐角时，ABC和DEF不一定全等(3)在ABC和DEF中，ACDF，BCEF，BE，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等(不写作法，保留作图痕迹)(4)B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，ACDF，BCEF，BE，且B、E都是锐角，若_，则ABCDEF.解：(1)HL；(2)如答图，过点C作CGAB交AB的延长线于G，过点F作FHDE交DE的延长线于H.ABCDEF，且ABC，DEF都是钝角，180ABC180DEF，即CBGFEH，在CBG和FEH中，CBGFEH(AAS)，CGFH，在RtACG和RtDFH中，RtACGRtDFH(HL)，AD，在ABC和DEF中，ABCDEF(AAS)；(3)如答图，以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到DEF与和ABC不全等；(4)本题答案不唯一如BA，则ABCDEF.5(2016邯郸二十三中二模)某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB8.问题思考如图，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.(1)在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是，求出这个值；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值(2)分别连接AD，DF，AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在APK，ADK，DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问题拓展(3)如图，以AB为边作正方形ABCD，动点P，Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ8.若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长(4)如图，在“问题思考”中，若点M，N是线段AB上的两点，且AMBM1，点G，H分别是边CD，EF的中点请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OMOB的最小值解：问题思考(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值设APx，则PB8x，根据题意得这两个正方形面积之和为x2(8x)22x216x642(x4)232，当x4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32；(2)存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK与DFK.依题意画出图形，如图所示设APa，则PBBF8a.PEBF，即，PK，DKPDPKa，SAPKPKPAa，SDFKDKEF(8a)，SAPKSDFK；问题拓展(3)当点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A.此时在RtAPQ中，O为PQ的中点，AOPQ4.点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示PQ的中点O所经过的路径的长为：246；(4)如答图所示，分别过点G作GRAB于点R，过点O作OSAB于点S，过点H作HTAB于点T.点O为线段GH中点，四边形GRTH为直角梯形，OS(GRHT)(APPB)4，即OS的长度为定值，点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上MN8116，点P在线段MN上运动，且点O为线段GH的中点，点O的运动路径为线段XY，XYMN3，点P从M到N的运动过程中，GH所经过的路径长为3.XYAB且平行的距离为4，如答图所示，作M点关于XY所在直线的对称点M，连接MM，MB，根据对称点之间的线段被对称轴垂直平分性质可得OMOM，OMOB的最小值为MB的长度，在RtMMB中，由勾股定理得：MM2MB2MB2，MB，OMOB的最小值为.6(2015湖州中考)数学活动课上，某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD(BAD120)进行探究：将一块含60的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F(不包括线段的端点)(1)初步尝试如图1，若ADAB，求证：BCEACF，AEAFAC；(2)类比发现如图2，若AD2AB，过点C作CHAD于点H，求证：AE2FH；(3)深入探究如图3，若AD3AB，探究得：的值为常数t，则t_证明：(1)在平行四边形ABCD中，BAD120，DB60.ADAB，ABC和ACD均为等边三角形，BCAD60，ACB60，BCAC.ECF60，BCEACEACFACE60，BCEACF，BCEACF；BCEACF，BEAF，AEAFAEBEABAC；(2)设DHx，由题易得CD2x，CHx，AD2AB4x，AHADDH3x.CHAD，AC2x，AC2CD2AD2，ACD90，BACACD90，CAD30，ACH60.ECF60，HCFACFACEACF，HCFACE，ACEHCF，2，AE2FH；(3).7(2016河北石家庄二十八中三模)如图1，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点(点P与点A，O不重合)，AP的延长线交半圆O于点D，其中OA4.(1)判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；(2)连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；(3)过点D作DEAB，垂足为E(如图2)，设APx，OEy，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围解：(1)APPD.理由如下：如图，连接OP.OA是半圆C的直径，APO90，即OPAD.又OAOD，APPD；(2)如图，连接PC，OD.OD是半圆C的切线，AOD90.则(1)知，APPD.又ACOC，CPOD，ACPAOD90，的长为；(3)分两种情况：当点E落在OA上(即0x2)时，如图所示，连接OP，则APOAED.又AA，APOAED，.APx，AO4，AD2x，AE4y，yx24(0x2)；当点E落在线段OB上(即2x4)时，如图所示，连接OP.同，可得APOAED，.APx，AO4，AD2x，AE4y，yx24(2x4)
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