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第五章圆5.2与圆有关的计算,中考数学(浙江专用),1.(2018宁波,9,4分)如图,在ABC中,ACB=90,A=30,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则的长为()A.B.C.D.,考点一有关弧长及扇形面积的计算,A组2014-2018年浙江中考题组,五年中考,答案CACB=90,A=30,AB=4,BC=2,B=60,l=.故选C.,2.(2017宁波,9,4分)如图,在RtABC中,A=90,BC=2.以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC切于D、E两点,则的长为()A.B.C.D.2,答案B连接OA、OE、OD.RtABC中,O为BC的中点,BC=2,OA=OB=OC=.又AC、AB是O的切线,OD=OE=r,OEAC,ODAB,又A=90.四边形ODAE为正方形.DOE=90.易知AC=2r,AB=2r,在RtABC中,由勾股定理可得(2r)2+(2r)2=(2)2.r=1.的长=.故选B.,解题关键求出EOD及半径r是解题的关键.,3.(2015绍兴,8,4分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,O的半径为2,B=135,则的长是()A.2B.C.D.,答案B因为四边形ABCD是O的内接四边形,B=135,所以D=45.连接OA、OC,则AOC=2D=90,所以的长是=,故选B.,4.(2014金华,10,3分)一张圆心角为45的扇形纸板和圆形纸板按如图所示的方式分别剪得一个正方形,且正方形边长都为1,则扇形和圆形纸板的面积比是()A.54B.52C.2D.,答案A如图1,连接OD.四边形ABCD是正方形,图1DCB=ABO=90,AB=BC=CD=1.AOB=45,OB=AB=1.由勾股定理得,OD=,扇形的面积是=.如图2,连接MB、MC.,图2四边形ABCD是M的内接四边形,四边形ABCD是正方形,BMC=90,MB=MC,MCB=MBC=45,BC=1,MC=MB=,M的面积是=.所求面积比为=54,故选A.,5.(2018温州,12,5分)已知扇形的弧长为2,圆心角为60,则它的半径为.,答案6,解析设半径为r,则2=,解得r=6,故答案为6.,6.(2017温州,13,5分)已知扇形的面积为3,圆心角为120,则它的半径为.,答案3,解析由扇形的面积为3,圆心角为120,可知整圆的面积是9,根据圆的面积公式S=r2,得半径为3.,7.(2016台州,13,5分)如图,ABC的外接圆O的半径为2,C=40,则的长是.,答案,解析C=40,AOB=80.的长是=.,8.(2016宁波,17,4分)如图,半圆O的直径AB=2,弦CDAB,COD=90,则图中阴影部分的面积为.,答案,解析半圆O的直径AB=2,半径R=1,CDAB,SACD=SOCD,S阴影=S扇形COD=.,9.(2014杭州,16,4分)点A,B,C都在半径为r的圆上,直线AD直线BC,垂足为D,直线BE直线AC,垂足为E,直线AD与BE相交于点H.若BH=AC,则ABC所对的弧长等于(长度单位).,答案或,解析由题意可画出两种图形,易证BHDACD,所以=,所以ABD=30,则图1中ABC=150,图2中ABC=30,所对的弧的度数分别是300,60.由弧长公式l=求得所求弧长等于r或r.,解后反思此题是圆与相似三角形、三角函数的综合题目,很容易丢掉一种情况,是难度比较大的综合题.,10.(2015丽水,21,8分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作O的切线DF,交AC于点F.(1)求证:DFAC;(2)若O的半径为4,CDF=22.5,求阴影部分的面积.,解析(1)证明:如图,连接OD,OB=OD,ABC=ODB.AB=AC,ABC=ACB.ODB=ACB.ODAC.DF是O的切线,DFOD,DFAC.(2)如图,连接OE,DFAC,CDF=22.5,ABC=ACB=67.5.BAC=45.又OA=OE,AOE=90.O的半径为4,S阴影=S扇形AOE-SAOE=-44=4-8.,11.(2015金华,21,8分)如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DEAF,垂足为点E.(1)求证:DE=AB;(2)以D为圆心,DE为半径作圆弧交AD于点G,若BF=FC=1,试求的长.,解析(1)证明:DEAF,AED=90,又四边形ABCD是矩形,ADBC,B=90,DAE=AFB,AED=B=90,又AD=AF,ADEFAB(AAS),DE=AB.(2)BF=FC=1,AD=BC=BF+FC=2,又ADEFAB,AE=BF=1,在RtADE中,AE=AD,ADE=30,又DE=,的长=.,1.(2017杭州,8,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,AB=2,BC=1.把ABC分别绕直线AB和BC旋转一周,所得几何体的底面圆的周长分别记作l1,l2,侧面积分别记作S1,S2,则()A.l1l2=12,S1S2=12B.l1l2=14,S1S2=12C.l1l2=12,S1S2=14D.l1l2=14,S1S2=14,考点二圆锥,答案A由题意可得l1l2=r1r2=12,S1S2=r1r2=12,此题选A.,思路分析根据圆的周长公式(C=2r)和圆锥的侧面积公式(S=rl)可知l1l2=r1r2,S1S2=r1r2,进而得到比值.,2.(2016宁波,9,4分)如图,圆锥的底面半径r为6cm,高h为8cm,则圆锥的侧面积为()A.30cm2B.48cm2C.60cm2D.80cm2,答案Cr=6cm,h=8cm,圆锥的母线长l=10cm,圆锥的侧面积为rl=610=60cm2,故选C.,评析本题考查了圆锥侧面积的计算以及圆锥母线长、底面半径、圆锥的高之间的关系,解题的关键是掌握圆锥侧面积的计算公式.,3.(2015宁波,9,4分)如图,用一个半径为30cm,面积为300cm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗),则圆锥的底面半径r为()A.5cmB.10cmC.20cmD.5cm,答案B扇形的半径为30cm,面积为300cm2,扇形的圆心角的度数为=120.扇形的弧长为=20(cm).圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长,2r=20,r=10cm.故选B.,4.(2015湖州,4,3分)若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240的扇形,则这个圆锥的底面半径是()A.6cmB.9cmC.12cmD.18cm,答案C由题意得=2r(其中r为圆锥底面半径),所以r=12cm,故选C.,5.(2014宁波,5,4分)圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的侧面积是()A.6B.8C.12D.16,答案B此圆锥的侧面积=422=8.故选B.,1.(2018内蒙古包头,7,3分)如图,在ABC中,AB=2,BC=4,ABC=30,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点D,则图中阴影部分的面积是()A.2-B.2-C.4-D.4-,B组2014-2018年全国中考题组,考点一有关弧长及扇形面积的计算,答案A如图,作AEBC于点E,在RtABE中,ABC=30,AB=2,AE=AB=1,S阴影=SABC-S扇形ABD=BCAE-=41-=2-.故选A.,2.(2017内蒙古包头,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ABC=45,以AB为直径的O交BC于点D.若BC=4,则图中阴影部分的面积为()A.+1B.+2C.2+2D.4+1,答案B连接AD,OD,AB是直径,AB=AC,ADBC,BD=CD,OD是ABC的中位线,易知CAB=90,由BC=4可得AB=AC=4,OB=2.S阴影=SOBD+S扇形OAD=22+22=2+.,思路分析先将阴影部分分割成一个三角形和一个扇形,再分别计算这两个图形的面积并求和.,3.(2015江苏苏州,9,3分)如图,AB为O的切线,切点为B,连接AO,AO与O交于点C,BD为O的直径,连接CD.若A=30,O的半径为2,则图中阴影部分的面积为()A.-B.-2C.-D.-,答案AAB与O相切于B,BDAB.在RtABO中,A=30,AOB=60,ODC=AOB=30,OD=OC,OCD=ODC=30,DOC=180-30-30=120.连接BC,易得BC=2,DC=2,SOCD=SBCD=BCDC=,又S扇形COD=,故S阴影=S扇形COD-SOCD=-,故选A.,4.(2015山东聊城,12,3分)如图,点O是圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使和都经过圆心O,则阴影部分的面积是O面积的()A.B.C.D.,答案B如图,连接OA,OB,过点O作OEAB于点E,并将OE延长交圆O于点D,由折叠知,OE=OD=OA,所以OAE=30,所以AOD=60,所以AOB=120;如图,连接OA,OB,OC,则AOB=AOC=BOC=120,由圆的对称性可知S阴影=S扇形OCB=S圆O.,解后反思本题对图形的拆分、拼合能力要求较高,需要在图形的变换过程中注意到折叠、过圆心这样的关键词.,5.(2018河南,14,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC=2,将ABC绕AC的中点D逆时针旋转90得到ABC,其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为.,答案-,解析如图,连接BD,BD,作DEAB于点E.在RtBCD中,BC=2,CD=AC=1,BD=.由旋转得ABAB,BDB=90,DE=AA=AB=,BC=,S阴影=S扇形BDB-SBCD-SBCD=-21=-.,思路分析首先确定所在圆的圆心为点D,根据题意求出半径DB和圆心角BDB的度数,然后通过S扇形BDB-SBCD-SBCD可求得阴影部分的面积.,6.(2017安徽,13,5分)如图,已知等边ABC的边长为6,以AB为直径的O与边AC,BC分别交于D,E两点,则劣弧的长为.,答案,解析连接OD,OE,因为在等边三角形ABC中,A=B=60,又OA=OB=OE=OD=3,所以OBE,ODA都是等边三角形,所以AOD=BOE=60,所以DOE=60,所以劣弧的长为=.,思路分析连接OD,OE,由三角形ABC是等边三角形可推出OBE,ODA都是等边三角形,从而可求DOE的度数,再由弧长公式求解即可.,解题关键作出辅助线OD,OE是解决本题的关键.,7.(2014河北,19,3分)如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形=cm2.,答案4,解析由题意可知扇形的周长为8cm.因为半径r=2cm,所以弧长l=8-22=4(cm),所以S扇形=lr=42=4(cm2).,8.(2015福建福州,23,10分)如图,RtABC中,C=90,AC=,tanB=.半径为2的C分别交AC,BC于点D,E,得到.(1)求证:AB为C的切线;(2)求图中阴影部分的面积.,解析(1)证明:过点C作CFAB于点F,在RtABC中,tanB=,BC=2AC=2.AB=5.CF=2.AB为C的切线.(2)S阴影=SABC-S扇形CDE=ACBC-=2-=5-.,1.(2018黑龙江齐齐哈尔,12,3分)已知圆锥的底面半径为20,侧面积为400,则这个圆锥的母线长为.,考点二圆锥,答案20,解析侧面展开图的弧长就是圆锥底面的周长,即40,设圆锥的母线长为l,则l40=400,l=20.(注意:该题数据不严谨,母线长要大于底面半径才行),2.(2015湖南郴州,10,3分)已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为cm2.,答案3,解析该圆锥的侧面积为213=3cm2.,3.(2015内蒙古呼和浩特,14,3分)一个圆锥的侧面积为8,母线长为4,则这个圆锥的全面积为.,答案12,解析设圆锥的底面半径为r,根据题意得2r4=8,解得r=2,则圆锥的底面积是4,故其全面积是12.,4.(2015福建龙岩,14,3分)圆锥的底面半径是1,母线长是4,则它的侧面展开图的圆心角是.,答案90,解析设圆锥的侧面展开图的圆心角为n,依题意可得=21,解得n=90,所以圆锥的侧面展开图的圆心角是90.,1.(2015内蒙古包头,9,3分)如图,在ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将ABC绕点A逆时针旋转30后得到ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为()A.B.C.D.,考点一有关弧长及扇形面积的计算,C组教师专用题组,答案AS阴影=SAED+S扇形ADB-SABC,由旋转的性质可知SADE=SABC,所以S阴影=S扇形ADB=.故选A.,2.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120cm,两扇活页门的宽OC=OB=60cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若OBC=50,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60cm时,求O在此过程中运动的路径长.参考数据:sin500.77,cos500.64,tan501.19,取3.14.,解析(1)如图,过点O作ODAB于点D,在RtOBD中,BD=OBcosOBD=60cos50600.64=38.4(cm).OC=OB,BC=2BD.AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm).(2)如图,AB=120cm,AC=60cm,BC=AB-AC=60cm.OC=OB=60cm,BC=OC=OB,OBC为等边三角形,OBC=60.点O的运动路径为,点O运动的路径长为=20=62.8(cm).,思路分析(1)过点O作ODAB于点D,先根据OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的性质求得BC,进而求得AC的长;(2)点O运动路径是以点B为圆心,OB长为半径的圆弧,先确定当点C从点A向右运动60cm后OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.,解题关键解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确理解点O的运动路径.,3.(2016河北,25,10分)如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其中P点在上且不与A点重合,但Q点可与B点重合.发现的长与的长之和为定值l,求l;思考点M与AB的最大距离为,此时点P,A间的距离为;点M与AB的最小距离为,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为;探究当半圆M与AB相切时,求的长.,解析发现连接OP,OQ,则OP=OQ=PQ=2.POQ=60.的长=.l=4-=.(2分)思考;2;-.(6分)探究半圆M与AB相切,分两种情况:如图1,半圆M与AO切于点T时,连接PO,MO,TM,则MTAO,OMPQ.图1,在RtPOM中,sinPOM=,POM=30.(7分)在RtTOM中,TO=,cosAOM=,即AOM=35.(8分)POA=35-30=5,的长=.(9分)如图2,半圆M与BO切于点S时,连接QO,MO,SM.图2,由对称性,同理得的长=.由l=,得的长=-=.综上,的长为或.(10分),关键提示本题是运动型问题,涉及最值、分类讨论思想,解决本题的关键是将半圆放在合适的位置上.要注意半圆M与AB相切时有两种情况,左侧相切和右侧相切是对称的.,4.(2014贵州贵阳,23,10分)如图,PA,PB分别与O相切于点A,B,APB=60,连接AO,BO.(1)所对的圆心角AOB=度;(2)求证:PA=PB;(3)若OA=3,求阴影部分的面积.,解析(1)120.(3分)(2)证明:连接OP,(4分)PA,PB分别切O于点A,B,OAP=OBP=90.OA=OB,OP=OP,RtOAPRtOBP,PA=PB.(6分)(3)由(2)知RtOAPRtOBP,则OPA=OPB=APB=30.在RtOAP中,OA=3,AP=3,SOPA=33=,(8分)S阴影=2-=9-3.(10分),1.(2015山东威海,8,3分)若用一张直径为20cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面,接缝忽略不计,则所得圆锥的高为()A.5cmB.5cmC.cmD.10cm,考点二圆锥,答案A设圆锥底面圆的半径为rcm,依题意,得20=2r,解得r=5,则圆锥的高为=5cm.故选A.,2.(2014湖北黄冈,7,3分)如图,圆锥体的高h=2cm,底面圆半径r=2cm,则圆锥体的全面积为cm2()A.4B.8C.12D.(4+4),答案C设圆锥的母线长为acm,则a=4,所以圆锥体的全面积为ra+r2=24+22=12cm2,故选C.,3.(2016聊城,15,3分)如图,已知圆锥的高为,高所在直线与母线的夹角为30,圆锥的侧面积为.,答案2,解析设圆锥底面圆的半径为x,则由圆锥高所在直线与母线夹角为30得母线长为2x,由勾股定理得x2+()2=(2x)2,解得x=1(负值舍去),即圆锥底面圆的半径为1,圆锥的母线长为2,圆锥侧面积=2=2.,1.(2017宁波七校联考,8)如图,点A、B、C在O上,若BAC=45,OB=2,则图中阴影部分的面积为()A.-2B.-1C.-3D.-2,三年模拟,A组20162018年模拟基础题组,考点一有关弧长及扇形面积的计算,答案ABAC=45,BOC=90,OBC是等腰直角三角形,OB=2,S阴影=S扇形BOC-SOBC=22-22=-2.故选A.,思路分析先算出BOC的度数,再根据S阴影=S扇形BOC-SOBC求解.,2.(2016杭州十三中二模,13)如图,O的半径为2,AB是O的一条弦,O=60,则图中阴影弓形的面积为.,答案-,解析S弓形=S扇形AOB-SAOB=-2=-.,3.(2016温州六校联考,15)已知扇形的弧长为2,半径为3,则扇形的面积是.,答案3,解析由扇形的面积公式S扇形=lR可知:S扇形=23=3.,1.(2018滨江一模,8)小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线剪开,若不考虑接缝,则它是一个半径为12cm,圆心角为60的扇形,则()A.圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cmB.圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC.圆锥形冰淇淋纸套的高为2cmD.圆锥形冰淇淋纸套的高为6cm,考点二圆锥,答案C半径为12cm,圆心角为60的扇形弧长为=4.设圆锥底面的半径为rcm,高为hcm,则2r=4cm,r=2,故A、B均错误.h=2cm.故C正确,D错误.,2.(2016杭州江干一模,6)一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm,圆心角为120的扇形,则此圆锥的高为()A.cmB.cmC.cmD.cm,答案A由题意知圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为8=cm,设圆锥的底面半径为rcm,则2r=,r=,则圆锥的高为=cm.,3.(2018宁波二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,若该圆锥的体积等于9,则这个圆锥的高等于.,答案3,解析由于圆锥侧面展开图是一个半圆,圆锥轴截面是一个正三角形,设圆锥底面半径为r,V=r2r=9,解得r=3,h=r=3.,1.(2017宁波七校联考,11)如图,在四边形ABCD中,ABCD,A=90,AB=5,CD=2.以A为圆心,AD为半径的圆与BC边切于点M,与AB交于点E,将扇形DAE剪下围成一个圆锥,则圆锥的高为()A.1B.4C.D.,B组20162018年模拟提升题组(时间:5分钟分值:6分),一、选择题（共3分）,答案C如图,作CFAB于F,连接AM.ADCF,CDAF,四边形ADCF是平行四边形,又DAF=90,四边形ADCF是矩形,AD=CF=AM,CD=AF=2,AB=5,BF=3,在AMB和CFB中,AMBCFB,BM=BF=3,在RtAMB中,AM=4,设圆锥的高为h,底面半径为r,由题意得2r=24,r=1,h=,故选C.,解题关键求出扇形的半径及圆锥的底面半径是解题的关键.,方法点拨若题中出现圆与直线相切,一般连圆心与切点,构造直角求解.,2.(2016温州六校联考,15)如图,点C在以AB为直径的半圆弧上,ABC=30,沿直线CB将半圆折叠,点A与A重合,AB和相交于点D,已知AB=6,则图中阴影部分的面积为.,二、填空题（共3分）,答案,解析连接OC、OD,ABC=30,AOC=60,又由折叠知CBD=ABC=30,COD=2CBD=60,DOB=60=COD,=,OD垂直平分CB,连接CA,则ACB=90,ODAC,D为AB中点,则O点经折叠后与D点重合,连接CD,易知阴影部分面积即为扇形ADC的面积,亦即扇形AOC的面积,S阴影=S扇形AOC=.,
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