常系数线性非齐次递推关系.ppt

3.3常系数线性非其次递推关系,3.3.1非其次递推关系3.3.2举例,3.3.1非其次递推关系,常系数线性非其次递推关系anc1an-1c2an-2ckan-kF(n)(3.3.1)其中c1,c2,ck是实数常数，ck0；F(n)是只依赖于n且不恒为0的函数。相伴的齐次递推关系anc1an-1c2an-2ckan-k(3.3.2),3.3.1非其次递推关系,定理3.3.1若anx(n)为递推关系(3.3.1)相伴的齐次递推关系(3.3.2)的通解，any(n)为递推关系(3.3.1)的一个特解，则anx(n)y(n)为递推关系(3.3.1)的通解。,3.3.1非其次递推关系,定理3.3.2设常系数线性非齐次递推关anc1an-1c2an-2ckan-kF(n)其中c1,c2,ck是实数常数，ck0；且F(n)(btntbt-1nt-1b1nb0)Sn其中b1,b2,bt和S是实数常数。当S是相伴的线性齐次递推关系的特征方程的m(m0)重根时，存在一个下述形式的特解：annm(ptntpt-1nt-1p1np0)Sn其中p1,p2,pt为待定系数。,3.3.2举例,例3.3.1解递归解(1)相伴齐次递推关系anan-1()()的特征方程x10()的特征根x1()的通解ana1na(a为任意常数),3.3.2举例,(2)由于F(n)nn1n且s1是()的1重根，所以得()的一个特解形如ann1(p1np0)1n(p1,p0为待定系数)代入a11，a23得,3.3.2举例,故得()的一个特解ann1(n)1nn2n(3)()的通解anan2n(a为任意常数)代入a11得a0(4)求得递归的解ann2n,3.3.2举例,例3.3.2解Hanoi问题的递归，即解(1)相伴齐次递推关系an2an-1()()的特征方程x20()的特征根x2()的通解ana2n(a为任意常数),3.3.2举例,(2)由于F(n)111n且s1是()的0重根，所以得()的一个特解形如ann0p1np(p为待定系数)代入()得p1故得()的一个特解an1,3.3.2举例,(3)()的通解ana2n1(a为任意常数)代入a11得a1(4)求得递归的解an2n1,3.3.2举例,定理3.3.3若anx(n)和any(n)分别是递推关系anc1an-1c2an-2ckan-kF1(n)anc1an-1c2an-2ckan-kF2(n)的解，其中c1,c2,ck(ck0)是实数常数，F1(n)与F1(n)是只依赖于n且不恒为0的函数，则anx(n)y(n)为递推关系anc1an-1c2an-2ckan-kF1(n)F2(n)的解,3.3.2举例,例3.3.3解递归解(1)相伴齐次递推关系an3an-1()()的特征方程x30()的特征根x3()的通解ana3n(a为任意常数),3.3.2举例,(2)分别求an3an-132n()an3an-14n()的一个特解()的一个特解形如b2n(b为常数)将其代入()得b6故求得()的一个特解an62n类似求得()的一个特解an2n3故求得()的一个特解an62n2n3,3.3.2举例,(3)()的通解ana3n62n2n3(a为任意常数)(4)代入a18得a5。故求得递归的解an53n62n2n3,