常微分方程积分曲线.ppt

序：什么是方程？微分方程及其应用微分方程的基本概念小结,主要内容,重点：理解微分方程的解等基本概念。,难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。,第一章绪论,在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程和对数方程等等。在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线性代数方程组。这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值，而是一个函数。这类方程称为函数方程。,一、序及方程,第一节微分方程的定义,例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程(*)来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求的未知函数。,返回,设f(x)是自变量为x的已知连续函数，试求函数y=y(x)满足下列方程：,在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：,方程（*）和方程（*）共同之处在于未知的都是函数，不同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（*）中却出现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它们和其变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数导数的方程叫做微分方程.,二、微分方程的定义,数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式.,微分方程是数学中的古老分支之一它与动力系统紧密相关并有重要应用价值如分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题,偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力工具它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工程技术中的有关问题在本世纪中偏微分方程的理论取得了重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究还有许多问题,返回,三、物体冷却过程的数学模型,问题一：将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测量得温度为.,问题与要求：决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。,基本假设：空气的温度保持为.,了解有关物体温度变化的基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛顿（Newton）冷却定律.,分析,假设：设物体在时刻的温度为，则温度的变化速度以来表示。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。因而，所以温差恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度恒为负。因此由牛顿冷却规律得到：,其中k是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数u及它的(一阶)导数，这样的方程，就成为（一阶）微分方程。,改写（1.1）为：,变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得到：,由此，令，有：,代入初始条件，并整理得到：,解曲线,其中是积分常数，对上式进行变形又得到：,分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温物体在低温环境中的温度变化过程和情况.,问题二：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程).,问题三：R-L-C电路电流方程；问题四：R-L电路电流方程；其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等,人口增长模型（Logistic）:,天气预报模型（Lorenz方程）:,分支与混沌！,前面介绍一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等，都提出了大量的微分方程问题.同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题.,因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.,返回,第二节微分方程的基本概念,定义：把包含未知函数导数的方程叫做微分方程.例如方程（1.1）.,1、微分方程,定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数(或微分)的关系式,数学上称为微分方程.,设是自变量的已知连续函数,试求函数满足方程,在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：,分析：,上述（*）方程就是一个典型的微分方程.,2、什么是常微分方程？,定义：在所讨论的微分方程中，当未知函数是一元函数时，称为常微分方程，而未知函数是多元函数时，称为偏微分方程.,偏微分方程：,二阶，线性,一阶，线性,二阶，非线性,3、微分方程的阶,定义：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数（阶）.,一般地，n阶常微分方程为,这里是的已知函数，一定含有；是未知函数，是自变量.,4、线性和非线性,定义：如果微分方程中，未知函数和出现的各阶导数而言是一次有理整式，则此微分方程称为线性微分方程，否则称为非线性微分方程.参见上述各例.,5、解和隐式解,1、如果可微函数代入方程（1.12）后，能使它变为恒等式，则称函数为方程（1.12）的解.,2、如果由关系式所确定的隐函数是微分方程（1.12）的解，则称关系式是微分方程（1.12）的积分（？）或隐式解.,定义,6、通解和特解,定义：把含有个独立的任意常数的解,称为阶方程（1.12）的通解.,类似地，定义n阶方程（1.12）的隐式通解。同样，不加以区分通解和隐式通解，统称为方程（1.12）的通解.,定解条件：为了确定微分方程一个特定的解，给出这个解所必需满足的条件。常见的定解条件就是初始条件和边界条件.,定解问题：求微分方程满足定解条件（初始条件）的解.初值问题(柯西Cauchy问题)：当定解条件是初始条件时，相应的定解问题就称为初值问题.这是本课程讨论的重点.特解：把满足初始条件的解称为微分方程的特解初始条件不同对应的特解也不同，一般来说，特解可以通过初始条件的限制，从通解中确定任意常数而得到.,初始条件：所谓n阶微分方程（1.12）的初始条件是指如下的n个条件：,当时，,例实例分析,讨论下列方程在给定条件下的解,1、求通解:,2、求在点（1,2）的解:,3、求满足条件的解:,4、求与直线相切的的解:,分析,一阶微分方程解的曲线图,微分方程(1.17)的通解代表xy平面上的一族曲线，就称之为微分方程的积分曲线族。,1.满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线。,2.方程（1.17）的积分曲线的每一点上的切线斜率刚好等于函数在这点的值.,7、积分曲线和方向场,积分曲线（定义）,注释：,方向场,设函数的定义域为，在每一点处画上一个有向小线段，其斜率等于在该点的值，把带有这种直线段的区域称为由方程（1.17）规定的方向场，又称向量场.,等斜线,在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等倾斜线）.,图1.2,等斜线,积分曲线：图中实线,讨论微分方程,等斜线是双曲线：,积分曲线的分布概况如左图.,拐点所在的曲线,例实例分析（方向场）,注释：原方程的解为,分析：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.,例3画出方程所确定的方向场示意图.,解,方程的等斜线为,取(0,1)，(0,0)，(0,-1)，画出三条等斜线,再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量，即可得方向场（如图示），并可以进一步大体描绘出其积分曲线。,方向场画法,例4考察方程,的方向场和它的积分曲线。,半直线族中的直线上每一点的方向都和方向场的方向重合，故原方程的积分曲线是半直线族.,除坐标原点（，）外，原方程在整个（x,y）平面上定义了一个方向场，在任意一点P(x,y)处方向场的方向由比式确定，这与从坐标原点到P点的射线OP的方向一致,返回,8、微分方程组,定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组.,Lorenz方程,Volterra两种种群竞争模型,(1.18),(1.19),高阶微分方程的另一种形式（如果可能！）,如果把都理解为未知函数，并作变换,上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组,并可以记为向量形式,其中均为向量函数,分析：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便.,9、驻定与非驻定、动力系统,如果方程组的右端不含自变量，即,则称为驻定（自治）的，否则就称为非驻定的（非自治）的.,注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组.,把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统。动力系统分为连续和离散系统两种类型，对应有连续动力系统和离散动力系统.,注：记为单参数的的映射（变换），则映射满足恒同性和可加性，即：,和,10、相空间、奇点和轨线,把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间；积分曲线在相空间中的投影称为轨线；把驻定方程组的解称为微分方程组的平衡解（驻定解、常数解）或奇点（平衡点几何定义）；,轨线分布图,11、雅可比矩阵与函数相关性,对于个变元的个函数定义雅可比矩阵为,当时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为,解对常数的独立性是指,对应的行列式不为0，即有：,通解对常数的独立性,如果雅可比矩阵在内的任何点上的秩皆小于，则函数相关；如果秩皆为，则函数无关，彼此独立。,函数相关性,设函数及其一阶偏导数在某开集上连续，如果在内中的一个函数能表成其余函数的函数，则称它们在内函数相关；如果它们在内的任何点的邻域内皆非函数相关，则称它们在内函数无关，或称它们彼此独立。,小结,通过对实际问题的分析，引入了微分方程的一些基本概念：常微分方程和偏微分方程、微分方程的阶、线性和非线性、解和隐式解、特解和通解、积分曲线和方向场。并阐述了讨论微分方程的重要意义，指出了学习本课程的难点和重点.,作业：P272(任选)，3（任选），4，5，6，8（1-2）,