单变量推论统计1：参数估计.ppt

第三章单变量的推论统计之一：参数估计,第一节抽样分布第二节参数的点估计和区间估计,第一节抽样分布一、相关名词解释参数值统计值随机抽样随机样本,二、蒙特卡罗抽样分布：常见的统计问题是：总体未知，比如我们并不知道华电所有学生的大学语文的平均分为u=65。我们只是随机抽样，比如抽取了3000名学生，得知这个3000名学生所构成的样本的均值=64。因此我们用得到的这个样本统计值去估计总体的参数值。但是我们都知道，样本是随机抽取的，不同的人抽取到的样本（假设让全班28个人每个人都抽一个3000人容量的样本）是不同的，同一个人反复抽样时也很可能抽取到不同的样本。根据排列组合，抽到的是无限个情况的样本。我们反复从华电学生（假设是10000名）中抽3000个人组成样本，每次都计算出一个新的样本均值，那么将会得到无数个样本均值，这种重复抽样的方法就叫蒙特卡罗抽样方法。从每个样本中可以计算出一个样本均值，我们将重复抽取的n个样本的都计算出来，研究发现，这些均值就构成了均值的蒙特卡罗抽样分布。,因此可见，它是一种理论分布。研究发现：1、抽样分布的图形显示样本均值围绕其目标u，以标准误差SE=/近似正态地波动。(因此n越大，SE越小，即波动越小)2、同样地，我们发现样本比例p也可以用这个方法来处理，它围绕其目标P，以标准误差SE=近似正态地波动。,三、对比总体分布、样本分布、抽样分布1、参数值：u和都是唯一确定的值。统计值：由于总体容量N样本容量n，因为重复抽样时，每次抽取到的元素都会不尽相同。因此，不同的样本的统计量很可能不同。2、抽样中样本只涉及到总体中的部分元素而不是全部元素。因为样本的统计量与总体的参数值之间总是存在一定的差别，我们引入抽样分布的概念，旨在对这种差别进行一定的说明。3、均值的正态近似原理：样本均值以SE的标准误差围绕总体均值u波动。随着n的增加，波动越来越小，越接近正态分布。（n30）,4、比例的正态近似定理：在容量为n的随机样本中，样本比例p以SE=的标准误差围绕总体比例波动。随着n的增加，p的分布也就围绕其目标波动地原来越小，越来越接近正态分布。（n30，np5）5、抽样分布是关于样本均值的分布，它的均值就是总体的均值u，即。，而抽样分布的标准差，将之称为标准误差SE，以与总体分布、样本分布相区分。其中SE=，而当样本相当大时，一般用样本的标准差s来代替总体。,例：台湾的一次普遍调查显示，台湾民众的月收入近似地服从正态分布，其均值为13110台币，标准差为8750元，求：（1）随机地抽取一个人，其收入超过18430元的概率。（2）抽取一个含有50人的随机样本，求其平均收入超过16000元的概率。（3）如果总体不是正态的，那么（2）的答案是什么？,例：全厂满意工作环境的工人比例为35%，现在从全厂中随机抽取150名工人，问其满意工作环境的工人比例超过45%的概率。,作业题：1、试计算以下数值的四分位差、中位数、众数2，3，4，5，4，4，2，5，6，6，7,2、调查某地区的212个乡，目的是要知道每个乡之育龄妇女（15-44岁）落实计划生育的比率，以下为收集到的资料。1）试求四分位差。2）试求40百分位数点的值。,第二节参数的点估计和区间估计,一、点估计1、总体均值的点估计值。2、总体方差的点估计值。3、总体标准差的点估计值。4、总体比例的点估计值。,二、区间估计（即：求置信区间）1、基本概念置信度：又称可信度、置信水平。即总体的参数值落在置信区间的把握。或者说用置信区间去估计总体参数值时，成功的可能性有多大。置信区间：在一定的置信水平下，根据样本的统计值来估计总体的参数值处于一定的区间之内，这个区间就是置信区间。显著度：又称显著性水平。它表示用置信区间来估计总体参数，其不可靠的概率。若置信水平为95%，则显著性水平为5%或0.05。,2、置信区间与置信度之间的关系相互制约置信度高低反映的是这种估计的可靠性或把握性的问题，而置信区间的大小反映的是这种估计的精确性问题。对于同一个总体和同一个抽样规模来说，所给区间的大小与做出这种估计所具有的把握性成正比。即区间越大，则对这一估计成功的把握性也越大；反之，则把握性越小。综上，从精确性出发，要求所估计的区间越小越好，但是从把握性出发，又要求所估计的区间越大越好。人们总是需要在二者兼进行平衡与选择。,3、总体均值的区间估计1）总体方差已知时，大、小样本的均值估计2）总体方差未知时，大样本的均值估计3）总体方差未知时，小样本的均值估计4）未知总体比例（成数），大样本的比例估计5）未知总体比例，小样本的比例估计例：设某工厂妇女从事家务劳动时间服从正态分布N（u，），随机抽取了一个n=36的样本，发现其每天平均从事家务劳动的时间=2.65小时，求u的双侧置信区间。（a=0.05）解：,例：设某工厂妇女从事家务劳动时间服从正态分布N（u，），随机抽取了一个n=25的样本，发现其每天平均从事家务劳动的时间=2.65小时，求u的双侧置信区间。（a=0.05）解：,总结：1）总体参数u是常数，并且一直保持不变，变化的是随机区间，其中心为，长度为2SE。2）随着样本含量n的增加，的标准误差/也越来越小，因此置信区间也变得更窄更精确。这就是增加样本含量的价值。3）随着置信度的增高，也随之增大，因此置信区间变得更宽，即更加含糊不明确，这也是可以理解的：要想把某一个声明表达得更有把握，就必须使其更加含糊不明确。因此置信度和精确度之间是矛盾的。我们对于实际问题总是在两者之间作一个合理的折衷。,例：设某社区受教育程度服从正态分布N(u，)，根据35人的随机抽样调查，=11.5年，S=3.6年，求u的双侧置信区间。（a=0.01）解：,例：设某社区受教育程度服从正态分布N(u，)，未知，根据26人的随机抽样调查，=11.5年，S=3.6年，求u的双侧置信区间。（a=0.01）解：,t分布是适用于小样本的一种分布。其扁平或高耸的程度取决于自由度（df=n-1），其自由度越大，越高耸，形状与标准正态分布曲线越接近。当n30时，一般认为与正态分布近似。t分布与正态分布的相似之处：t分布基线上的t值从-+；平均数等于0处，左侧t值为负，右侧t值为正；曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部无限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。使用t分布的条件：必须假定总体为正态分布。（与使用Z分布的不同之处）,为什么t分布的自由度是n-1而不是n呢？自由度：指的是可以自由取值的个案的数目，对于一组数据来说，假定n=1，则我们可以算出均值（就是这个唯一的数本身），但是无法考虑分布的形状。描述分布的形状最有价值的是方差，只有n超过1，我们才能得到这组数据分布的方差。(=)，因此对于方差来说，均值占用了一个自由度，其余的n-1个自由度留给了方差。例：有5个数，其均值为3，请问：1）你能确定这5个数都是什么吗？2）如果不能，那么请问其中有几个数是可以自由取值的？,戈塞尔用笔名“学生”发表。为什么分母中根号下为n-1？样本数据的离散程度小于总体数据的离散程度（假设用全距这个离散量数来说明）。因此样本的标准差会比总体的标准差偏小。因此s除以根号n会有偏误，所以采用了根号n-1，在nS/，因此分母中为更贴近于/）,例：从某社区取n=200个家庭的样本，36%的家庭中家庭事务是丈夫说了算，问：此社区家庭事务是丈夫说了算的家庭比例的置信区间。（a=0.01）解：法一：法二：,4、二总体均值差的区间估计1）已知，大样本（n1+n2100）2）已知，小样本（n1+n2100）3）未知，大样本4）未知，小样本5、二总体成数差的区间估计,例：为了了解甲、乙两地中学毕业生成绩的差别，两地作了抽样调查，结果显示：甲地：=520，S1=40，n1=800名，乙地：=505，S2=50，n2=1000名，求：a=0.05时，两地平均成绩差的区间估计。,例：有两个小组，甲小组：n1=11，人均每周抽烟=5盒，S1=1.5。乙小组：n2=11，人均每周抽烟=7盒，S2=2.0，求：a=0.05时，两组抽烟均值差的置信区间。,例：甲、乙两地各做1000户抽样调查，其中甲地拥有电视机为825户；乙地拥有电视机为760户。求：a=0.05时，两地电视机拥有比例（成数）差的置信区间。,6、单侧置信区间,例：设某工厂月平均收入服从正态分布N（u，），随机抽取了一个n=36的样本，发现其每人平均月平均收入为265元，求u的单侧置信区间。（a=0.05）解：,作业：1、我国某地区成年人教育水平的均值为8.2年，标准差为3年。随机抽取了25位成年人进行调查，发现平均受学校教育在7-9年之间的概率是多少？（抽样分布）2、一架电梯是按照极限负重为1000公斤设计的，声称可以容纳13人。假定利用该电梯的所有乘客重量的平均值为70公斤，标准差为12公斤。那么一个13人的随机样本的重量总体超过负重极限1000公斤的概率是多少？（先算出样本均值）,3、课本403，六A4、课本403，六B,