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例4细杆的热传导问题,长为的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热，端绝热，端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。,解：定解问题为,得本征问题,当或时,当时,由得,由得故,即,图1,由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根,故本征值为：,令,有,函数方程,对应的本征函数,的方程：,解为,故,可以证明,函数系在上正交,由初始条件得,例5.在带电的云跟大地之间的匀强静电场(设其强度为,方向为竖直的)，水平架设一输电线，讨论输电线(导体圆柱体)对匀强电场的影响。,解:设输电线圆柱半径为a，取垂直于圆柱体的平面为xy平面,(x,y)点处电势用u(x,y)表示。,柱体外空间无电荷，电势满足二维Laplace方程,亦即,无限远处静电场保持匀强，且由于x轴平行于故在无限远处，即,因此u(x,y)满足的定解问题为：,采用平面极坐标。,令,由于不能分解，故不能直接用分离变量法。,令则,则,取参数,由平面极坐标下极角周期性，应有,即,亦即,自然周期条件,则,本征值问题,由解得,结合自然周期条件，可求得本征值和本征函数,的方程,欧拉型常微分方程,作代换，方程化为,其解为,分离变量形式解,所以,由边界条件,由此,即,再由条件,由于大时，和远远小于项，当时，,因而得,从而,最后得柱外的静电势为：,式中三项有明显的物理意义：,均匀带电圆柱体周围的静电场和的电势;,原来的匀强静电场中的电势分布;,例6钢锭传热问题。,轧制钢材之前，须将钢锭加热到适当温度，使其硬度降低，宜于轧制，该过程既费时，又费燃料，为了节约，须研究钢锭的最佳在炉时间。,该问题可简化为求表面温度为零度、初始温度已知的长方体的热传导问题：,为待定常数，再设代入，得：,令,由边界条件得三个本征值问题,其本征值和本征函数分别为,所以,关于的方程,解得,则满足方程和边界条件的解,由初值条件,例7梁的横振动,梁发生振动时，两端固定，且端点的扰矩为零，初始位移和初始速度分别为,解定解问题为,本征值问题：,当或时,时,其中A,B,C,D为任意常数，由边界条件得,解之有A=B=C=0,本征值和本征函数,关于T的方程，,所以,有解,将初值条件代入，比较系数得：,
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