2019年春七年级数学下册第五章生活中的轴对称3简单的轴对称图形同步课件（新版）北师大版.ppt

知识点一等腰三角形 1 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形是等腰三角形 相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底边 两腰所夹的角叫做顶角 底边与腰的夹角叫做底角 如图5 3 1 图5 3 1 2 等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 2 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高重合 简称 三线合一 其所在的直线是等腰三角形的对称轴 3 等腰三角形是以顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高 所在直线为对称轴的轴对称图形 通常只有一条对称轴 注意 1 等边对等角 是在同一个三角形中 否则 不能使用该性质 2 等腰三角形 三线合一 的应用非常广泛 它可以用来得到角相等 线段相等 垂直关系等 3 等腰三角形的对称轴是直线 3 等边三角形 1 等边三角形的概念 三边都相等的三角形叫做等边三角形 也叫正三角形 2 等边三角形的性质 等边三角形是轴对称图形 它有三条对称轴 等边三角形的三个内角都相等 并且每个内角都等于60 例1如图5 3 2所示 在 ABC中 AB AC AD平分 BAC 1 求 ADB的度数 2 若 BAC 100 求 B C的度数 3 若BC 3cm 求BD的长 图5 3 2 解析 1 因为AB AC AD平分 BAC 所以AD BC 所以 ADB 90 2 因为 BAC 100 所以 B C 80 因为AB AC 所以 C B 40 3 因为AB AC AD平分 BAC 所以BD BC 3 1 5 cm 知识点二线段的垂直平分线 例2 2017安徽阜阳十九中期中 如图5 3 3 在 ABC中 AB AC 20cm DE垂直平分AB 垂足为E 交AC于点D 若 DBC的周长为35cm 则BC的长为 图5 3 3A 5cmB 10cmC 15cmD 17 5cm 解析 DE垂直平分AB AD BD AC 20cm AD CD 20cm BD CD 20cm DBC的周长为35cm BD CD BC 35cm BC 15cm 答案C 知识点三角平分线1 角的对称性 角是轴对称图形 角平分线所在的直线是角的对称轴 2 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 应用格式 如图5 3 4 OP平分 AOB PD OA PE OB PD PE 角平分线上的点到角两边的距离相等 图5 3 4 例3如图5 3 5 已知 ABC 求作一点P 使P到 BAC的两边的距离相等 且PA PB 下列确定P点的方法正确的是 图5 3 5A P是 BAC与 ABC两角平分线的交点B P为 BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点C P为AC AB两边上的高的交点D P为AC AB两边的垂直平分线的交点 解析由P到 BAC的两边的距离相等 知P在 BAC的平分线上 由PA PB确定点P在AB的垂直平分线上 故选B 答案B 题型综合运用尺规作角的平分线和线段的垂直平分线例如图5 3 6所示 在公园草地上准备修建一个凉亭 要求凉亭与花坛M N之间的距离相等 并且与两条小径AB CD的距离也相等 请你来确定凉亭的位置 图5 3 6 分析凉亭到M N的距离相等 则应在线段MN的垂直平分线上 到AB CD的距离也相等 则应在AB CD所成角的平分线上 两者的交点即为所求 解析延长BA DC交于点O 作 BOD的平分线OQ 连接MN 作MN的垂直平分线交OQ于点P 如图5 3 7所示 点P即为所求 图5 3 7 点拨正确运用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键 易错点对 三线合一 的性质理解有误而出错例如图5 3 8所示 在等腰 ABC中 AB AC A 40 BD AC于点D 则 CBD 图5 3 8 错解35 错因分析本题错解的原因是认为等腰三角形底角的平分线 腰上的中线 腰上的高相互重合 等腰三角形的 三线合一 指的是顶角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 正解20 知识点一等腰三角形1 2017山东烟台中考 某城市几条道路的位置关系如图5 3 1所示 已知AB CD AE与AB的夹角为48 若CF与EF的长度相等 则 C的度数为 图5 3 1A 48 B 40 C 30 D 24 答案D AB CD DFE BAF 48 CF EF C E C E DFE 48 C 24 2 2017浙江台州中考 如图5 3 2 已知等腰三角形ABC AB AC 若以点B为圆心 BC长为半径画弧 交腰AC于点E 则下列结论一定正确的是 图5 3 2A AE ECB AE BEC EBC BACD EBC ABE 答案C AB AC ABC ACB 由题意可知BC BE ACB BEC BAC EBC 故选C 3 2017浙江丽水中考 等腰三角形的一个内角为100 则顶角的度数是 答案100 解析 100 90 100 的角是顶角 故答案为100 4 2017江西中考 如图5 3 3 1 是一把园林剪刀 把它抽象为图5 3 3 2 其中OA OB 若剪刀张开的角为30 则 A 度 图5 3 3 答案75 解析由对顶角相等可得 AOB 30 OA OB A 75 5 如图5 3 4 在等边三角形ABC中 BE和CD分别是AC AB边上的高 求 BFC的度数 图5 3 4 解析 ABC是等边三角形 BE CD分别是AC AB边上的高 FBC FCB 60 30 BFC 180 30 30 120 知识点二线段的垂直平分线6 2017湖北荆州中考 如图5 3 5 在 ABC中 AB AC A 30 AB的垂直平分线l交AC于点D 则 CBD的度数为 图5 3 5A 30 B 45 C 50 D 75 答案B AB AC A 30 ABC ACB 75 AB的垂直平分线交AC于D AD BD A ABD 30 BDC 60 CBD 180 75 60 45 故选B 7 2017广东深圳中考 如图5 3 6 已知线段AB 分别以A B为圆心 大于AB为半径作弧 连接弧的交点得到直线l 在直线l上取一点C 使得 CAB 25 延长AC至M 则 BCM的度数为 图5 3 6A 40 B 50 C 60 D 70 答案B由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线 C在l上 AC BC B CAB 25 BCM 50 故选B 8 2017江苏常州中考 如图5 3 7 已知在 ABC中 DE是BC的垂直平分线 垂足为E 交AC于点D 若AB 6 AC 9 则 ABD的周长是 图5 3 7 答案15 解析 DE是BC的垂直平分线 DB DC ABD的周长 AB AD DB AB AD DC AB AC 15 故答案为15 知识点三角平分线9 2017山东枣庄中考 如图5 3 8 在Rt ABC中 C 90 以顶点A为圆心 适当长度为半径画弧 分别交AC AB于点M N 再分别以点M N为圆心 大于MN的长为半径画弧 两弧交于点P 作射线AP交边BC于点D 若CD 4 AB 15 则 ABD的面积是 图5 3 8A 15B 30C 45D 60 答案B由题意得AP是 BAC的平分线 如图 过点D作DE AB于E C 90 DE CD 4 ABD的面积 AB DE 15 4 30 10 2017浙江台州中考 如图5 3 9 点P是 AOB的平分线OC上一点 PD OB 垂足为D 若PD 2 则P到边OA的距离是 图5 3 9A 1B 2C D 4 答案B如图 过点P作PH OA 垂足为H 点P是 AOB的平分线OC上一点 PD OB PH OA PH PD 2 1 2015江苏苏州中考 如图 在 ABC中 AB AC D为BC的中点 BAD 35 则 C的度数为 A 35 B 45 C 55 D 60 答案C AB AC D为BC的中点 CAD BAD 35 AD DC 在 ADC中 C 90 DAC 55 故选C 2 如图所示 在 ABC中 AB AC A 50 AB的垂直平分线交AB于D 交AC于E 连接BE 则 EBC的度数是 A 15 B 20 C 65 D 100 答案A AB AC A 50 ABC 65 DE为AB的垂直平分线 AE BE A ABE 50 EBC ABC ABE 65 50 15 故选A 3 2015浙江湖州中考 如图 已知在 ABC中 CD是AB边上的高线 BE平分 ABC 交CD于点E BC 5 DE 2 则 BCE的面积等于 A 10B 7C 5D 4 答案C过点E作EK BC于点K 则 EKB 90 因为BE平分 ABC CD AB 所以EK ED 2 所以 BCE的面积 BC EK 5 2 5 故选C 4 如图 ABC是等边三角形 AD是 ABC的角平分线 ADE是等边三角形 下列结论 AD BC EF FD BE BD 其中正确的有 填序号 答案 解析因为 ABC是等边三角形 AD是其角平分线 所以AD BC CAD BAD 30 因为 ADE是等边三角形 所以 DAE 60 所以 EAF DAF 30 所以EF FD AB DE 所以BE BD 5 2015江苏宿迁中考 如图 已知AB AC AD 且AD BC 试说明 C 2 D 解析 AB AC AD C ABC D ABD ABC CBD D AD BC CBD D ABC D D 2 D 又 C ABC C 2 D 1 2017内蒙古包头中考 若等腰三角形的周长为10cm 其中一边长为2cm 则该等腰三角形的底边长为 A 2cmB 4cmC 6cmD 8cm 答案A当腰长为2cm时 底边长为6cm 但是2 2 4 6 即两边之和小于第三边 不合题意 当底边长为2cm时 腰长为4cm 符合题意 故选A 2 2017贵州黔西南州中考 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6 则该等腰三角形的周长是 答案15 解析当腰为3时 3 3 6 3 3 6不能组成三角形 当腰为6时 3 6 9 6 3 6 6能组成三角形 该三角形的周长为3 6 6 15 3 2017湖南湘潭中考 如图5 3 10 在Rt ABC中 C 90 BD平分 ABC交AC于点D DE垂直平分AB 垂足为E点 请任意写出一组相等的线段 图5 3 10 答案BC BE 或DC DE或BE AE 解析已知 C 90 BD平分 ABC DE垂直平分AB 显然BE AE 利用角平分线性质定理可知DC DE 根据已知条件易得 BCD BED 根据全等三角形的性质可得BC BE 4 2017湖南益阳中考 如图5 3 11 在 ABC中 AB AC BAC 36 DE是线段AC的垂直平分线 若BE a AE b 则用含a b的代数式表示 ABC的周长为 图5 3 11 答案2a 3b 解析 AB AC BE a AE b AC AB a b DE是线段AC的垂直平分线 AE CE b ECA BAC 36 AB AC ABC ACB 72 BCE ACB ECA 36 BEC 180 ABC ECB 72 BEC ABC CE BC b ABC的周长为AB AC BC 2a 3b 5 如图5 3 12 已知 ABC是等边三角形 且 1 2 3 1 求 BEC的度数 2 DEF是等边三角形吗 请简要说明理由 图5 3 12 解析 1 ABC为等边三角形 BCA 60 DEF BCE 2 2 3 DEF BCE 3 BCA 60 BEC 180 DEF 180 60 120 2 DEF是等边三角形 理由 与 1 同理可知 EDF 60 DFE 60 DEF DFE EDF 60 DEF为等边三角形 1 如图所示的正方形网格中 网格线的交点称为格点 已知A B是两格点 如果C也是图中的格点 且使得 ABC为等腰三角形 则点C共有 A 6个B 7个C 8个D 9个 答案C若 ABC为等腰三角形 则AC BC或AC AB或BC AB 当AC BC时 点C在线段AB的垂直平分线上 可以找到4个符合题意的点 当AC AB时 可以找到2个符合题意的点 当BC AB时 也可找到2个符合题意的点 故符合题意的点C共有8个 2 等边三角形中 两条中线相交所成的钝角的度数为 A 120 B 130 C 150 D 160 答案A如图 ABC为等边三角形 AD BE都是中线 AD BE都是 ABC的角平分线 1 2 30 AFB 180 1 2 120 故选A 3 2015浙江义乌中考 由于木质衣架没有柔性 在挂置衣服的时候不太方便操作 小敏设计了一种衣架 在使用时能轻易收拢 然后套进衣服后松开即可 如图 衣架杆OA OB 18cm 衣架收拢时 AOB 60 如图 则此时A B两点之间的距离是cm 答案18 解析 OA OB 衣架收拢时 AOB 60 连接AB 则 AOB是等边三角形 AB OA OB 18cm 4 如图 已知点P为 MON内一点 点P与点A关于直线ON对称 点P与点B关于直线OM对称 若AB的长为15cm 求 PCD的周长 解析 点P与点A关于直线ON对称 点P与点B关于直线OM对称 DA DP CP CB PCD的周长 DP CP DC DA DC CB AB 15cm 一 选择题1 2017北京昌平临川育人学校第二次月考 10 下列说法中正确的是 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 角是轴对称图形 线段不是轴对称图形 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 A B C D 答案C 二 填空题2 2018山东德州期末 18 已知 ABC中 AB AC AB的垂直平分线交AB于点D 交直线AC于点E 若 EBC 42 则 BAC的度数为 答案32 或152 或88 解析如图1 ABC是等腰三角形 AB AC ABC ACB ABC ACB BAC 180 DE垂直且平分AB EA EB ABE BAC EBC ACB AEB 42 180 BAC 180 2 BAC 解得 BAC 32 如图2 同理可得 BAC 152 如图3 同理可得 BAC 88 综上所述 BAC 32 或152 或88 3 2017内蒙古乌加河学校期末 13 已知等腰三角形的两边长分别是4cm和5cm 则它的周长是 若等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm 则它的周长是 答案13或14cm 22cm 解析三角形的三边长分别为4cm 4cm 5cm或4cm 5cm 5cm 故周长为4 4 5 13cm或4 5 5 14cm 因为4 4 9 所以三角形的三边长不能为4cm 4cm 9cm 只能为4cm 9cm 9cm 故周长为9 9 4 22cm 三 解答题4 2018广东云浮云城期末 19 如图5 3 13 在 ABC中 DE是AC的垂直平分线 AE 5cm ABD的周长为17cm 求 ABC的周长 图5 3 13 解析 DE垂直平分AC AE EC 5cm AD DC AB BD AD AB BD DC AB BC 17cm AB BC AC 17 10 27cm 即 ABC的周长为27cm 1 2018江苏泰州靖江期中 8 如图 在 ABC中 AB AC BAC 108 ADB 72 DE平分 ADB 则图中等腰三角形的个数是 A 3B 4C 5D 6 答案C AB AC ABC是等腰三角形 又 BAC 108 C B 36 BAD 180 B ADB 180 36 72 72 ADB AB BD ADB是等腰三角形 DAC BAC BAD 108 72 36 C CD AD ACD是等腰三角形 DE平分 ADB BDE ADE 36 B BE ED EBD是等腰三角形 AED 180 72 36 72 EAD ED AD AED是等腰三角形 共有5个等腰三角形 故选C 2 2016北京昌平期末 6 如图 DE是 ABC中AC边的垂直平分线 若BC 8 AB 10 则 EBC的周长是 A 13B 16C 18D 20 答案C DE垂直平分AC AE CE CE BE AE BE AB 10 又 BC 8 EBC的周长 BC CE BE BC AB 8 10 18 3 2018广东蓬江期末 20 如图 在 ABC中 BAC 90 BE平分 ABC AM BC于点M AD平分 MAC 交BC于点D 交BE于点F AM交BE于点G 1 试说明 BAM C 2 判断直线BE与线段AD之间的关系 并说明理由 解析 1 AM BC ABC BAM 90 BAC 90 ABC C 90 BAM C 2 BE垂直平分AD 理由 如图 AD平分 MAC 1 2 BAD BAM 1 ADB C 2 BAM C BAD ADB AB BD BAD是等腰三角形 又 BE平分 ABC BE垂直平分AD 4 2016湖北黄冈五校期中联考 21 如图 已知点B C D在同一条直线上 ABC和 CDE都是等边三角形 BE交AC于F AD交CE于H 1 试说明 BCE ACD 2 试说明 FH BD 解析 1 ABC和 CDE都是等边三角形 BC AC CE CD BCA ECD 60 BCA ACE ECD ACE 即 BCE ACD 在 BCE和 ACD中 BCE ACD SAS 2 由 1 知 BCE ACD 则 CBF CAH ABC和 CDE都是等边三角形 且点B C D在同一条直线上 ACH 180 ACB ECD 60 ACH BCF 在 BCF和 ACH中 BCF ACH ASA CF CH 又 FCH 60 CHF为等边三角形 FHC HCD 60 FH BD 一 选择题1 2018湖北黄冈中考 4 如图5 3 14 在 ABC中 直线DE是AC的垂直平分线 且分别交BC AC于点D和E B 60 C 25 则 BAD为 图5 3 14A 50 B 70 C 75 D 80 答案B因为直线DE是AC的垂直平分线 所以AD DC 所以 DAC C 25 所以 ADC 180 25 25 130 因为 ADC B BAD 所以 BAD ADC B 130 60 70 故选B 2 2018江苏扬州中考 7 如图5 3 15 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于D CE平分 ACD交AB于E 则下列结论一定成立的是 图5 3 15A BC ECB EC BEC BC BED AE EC 答案C ACB 90 CD AB ACD BCD 90 ACD A 90 BCD A CE平分 ACD ACE DCE 又 BEC A ACE BCE BCD DCE BEC BCE BC BE 故选C 二 填空题3 2018湖南湘潭中考 12 如图5 3 16 在等边三角形ABC中 点D是边BC的中点 则 BAD 图5 3 16 答案30 解析 ABC是等边三角形 BAC 60 AB AC 又点D是边BC的中点 BAD BAC 30 三 解答题4 2016江苏常州中考 23 如图5 3 17 已知 ABC中 AB AC BD CE是高 BD与CE相交于点O 1 试说明 OB OC 2 若 ABC 50 求 BOC的度数 图5 3 17 解析 1 AB AC ABC ACB 即 EBC DCB BD CE是 ABC的两条高 BEC BDC 90 在 BEC和 CDB中 BEC CDB ECB DBC OB OC 2 ABC 50 AB AC A 180 2 50 80 又 ADB 90 ABD 10 DBC ABC ABD 50 10 40 BOC 180 2 40 100 2017山东滨州中考 8 如图 在 ABC中 AB AC D为BC上一点 且DA DC BD BA 则 B的大小为 A 40 B 36 C 80 D 25 答案B设 C x 由DA DC可得 DAC C x 所以 ADB C DAC 2x 因为BD BA 所以 BAD ADB 2x 由AB AC可得 B C x 根据三角形内角和定理 得x x 3x 180 解得x 36 所以 B 36 1 如图5 3 18 在一张长为8cm 宽为6cm的长方形纸片上 要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形 要求 等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点A重合 其余的两个顶点都在长方形的边上 这个等腰三角形的剪法有 图5 3 18A 1种B 2种C 3种D 4种 答案C当等腰三角形中以A为顶点的角为顶角时 如图1 此时AE AF 5cm 图1当等腰三角形中以A为顶点的角为底角时 有两种情况 如图2 图3 故选C 2 2017天津中考 如图5 3 19 在 ABC中 AB AC AD CE是 ABC的两条中线 P是AD上的一个动点 则下列线段的长等于BP EP最小值的是 图5 3 19A BCB CEC ADD AC 答案B如图 连接PC AB AC BD CD AD BC PB PC PB PE PC PE PE PC CE 当P C E三点共线时 PB PE的值最小 最小值为CE 故选B 2017黑龙江哈尔滨中考 24改编 已知 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 连接AE BD交于点O AE与DC交于点M BD与AC交于点N 1 如图 试说明 AE BD 2 如图 若AC DC 在不添加任何辅助线的情况下 请直接写出图 中至少三对全等的直角三角形 解析 1 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 AC BC DC EC ACB ACD DCE ACD 即 BCD ACE 在 ACE与 BCD中 ACE BCD SAS AE BD 2 AC DC AC CD EC CB 又 ACB DCE 90 ACB DCE SAS 由 1 可知 AEC BDC EAC DBC ODM EDM DEO AEC EDM DEO 90 DOM 90 易知 AEC CAE CBD 又EC BC ECM BCN 90 EMC BNC ASA CM CN DM AN 又 DOM AON 90 ODM OAN DOM AON AAS