《空间向量的运算》课件北师大版.ppt

空间向量及其运算 一 复习1 平面向量的概念2 平面向量的加减和数乘运算 1 空间向量的概念在空间 我们把具有大小和方向的量叫做向量 注意 空间的平移就是一个向量 平移实际就是点到点的一次变换 因此我们说空间任意两个向量是共面的 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2 空间向量的运算结论 空间向量的加法 减法 数乘向量的定义与平面向量的运算一样 指向被减向量 a b a 运算律 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 空间向量加法的运算律要注意以下几点 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 即 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形 则它们的和为零向量 即 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 例 已知平行六面体 如图 化简下列向量表达式 并标出化简结果的向量 3 共线向量 平行向量 1 概念 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b 记作a b 2 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使a b 推论 如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线 那么对任一点O 点P在直线l上的充要条件是存在实数t 满足等式a 其中向量a叫做直线l的方向向量 1 概念 已知平面 与向量 作 如果直线OA平行于平面 或在 内 那么我们说向量平行于平面 记作 通常我们把平行于同一平面的向量 叫做共面向量说明 空间任意两个向量总是共面的 空间任意三个向量不一定共面 空间四边形ABCD中 不共面 4 共面向量 2 共面向量定理如果两个向量 不共线 则向量与向量 共面的充要条件是 存在实数对x y 使 x y 推论 空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x y 使 x y或对空间任一点O 有 x y 平面MAB内 点P对应的实数对 x y 是唯一的 式叫做平面MAB的向量表达式 例2 对空间任一点O和不共线的三点A B C 试问满足向量关系式 x y Z 其中x y z 1 的四点P A B C是否共面 例3 已知平行四边形ABCD 从平面AC外一点O引向量 k k k k 求证 四点E F G H共面 平面EG 平面AC 小结 1 空间向量的概念2 空间向量的运算3 共线向量 平行向量 的概念及空间向量共线的充要条件4 共面向量的概念及向量共面的充要条件 作业 2 如图设A是 BCD所在平面外的一点 G是 BCD的重心 求证 1 如图是正方体 P Q R S分别是所在棱的中点 求证 这四个点共面 P S R Q