资源描述
第五章 不定积分 习题 511. 1. 验证在(-,+) 内, 都是同一函数的原函数.解 2. 2. 验证在(-,+) 内, 的原函数.解 3.已知一个函数的导数是，并且当x = 1时, 该函数值是，求这个函数.解 设所求函数为f(x), 则由题意知 又当x = 1时，代入上式, 得C = 故满足条件的函数为 =.3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.解 设曲线方程为 , 则由题意知因为 所以 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 .5. 求函数y = cosx 的分别通过点( 0, 1) 与点(, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x积分曲线方程为 因为 所以 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(, -1),代入上式, 得C1 = 1 与 C2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为 与 .6. 已知 f(x) = k tan2x的一个原函数是，求常数k.解 因为是f(x)的一个原函数所以 7. 已知 , 求函数f(x).解 因为由不定积分的性质, 有所以, 令t = x+1,有8. 设f(x) 是(-,+)内的连续的奇函数, F(x)是它的一个原函数, 证明: F(x)是偶函数.证 由已知F(x)是f(x)的一个原函数, 则 又因为f(x) 是(-,+)内的连续的奇函数, 则于是 即,故F(x)是偶函数.9.设的原函数, 求.解 因为 的原函数, 则习题 52 1. 求下列不定积分： 解 2. . 解 当时,当0时, 故 .3. 设某企业的边际收益是 (其中x 为产品的产量)，且当产量 x = 0 时，收益R = 0. 试求收益函数R(x) 和平均收益函数.解 由已知边际收益是 所以在上式两端积分, 得 将代入上式, 得C = 0故收益函数为 平均收益函数为 .4. 某商品的需求量Q为价格P的函数. 已知需求量的变化率为且该商品的最大需量为1000.求该商品的需求函数.解 由已知需求量的变化率为所以在上式两端积分, 得又因为该商品的最大需求量为Q =1000（P = 0时），代入上式, 得C = 0故满足条件的需求函数 .5. 一种流感病毒每天以 (240 t 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆发后的天数. 如果第一天有50个病人，试问在第10天有多少个人被感染?解 设为天被感染上的人数, 则由题意得 所以在上式两端积分, 得 又当时，代入上式, 得C = 69 习题 53(1) 1. 1. 填空：解 2. 求下列不定积分： 习题 53(2)1. 1. 求下列不定积分：解 2. 若己知 . 求： (1) (2)(3) (4)解 （1）因为.（2）因为 （3）因为 （4）因为 3. 下列不定积分：解 .习题 53(3)1 1 下列不定积分： （12） 解 . 移项解方程, 得 . 移项解方程, 得 2. 2. 已知的一个原函数是，求.解 因为的一个原函数是, 则所以两边求导, 得 于是 故 .3.已知，求.解 设 由已知，则所以 故 .4. 已知的一个原函数是，求.解 因为的一个原函数是,则 所以两边求导,得 于是 故 .习题 54求下列不定积分： 解 解 解 解 解 解 解 解 解 综合习题五1.选择填空：(1) 设, 则f(x) = ( ) . cot4x cot4x 3cos4 x 3cot4 x (2) 设, 则k = ( ) . -1 -2 1 2(3) 设 , 则f(x) = ( ) . (4) 如果 是函数f(x) 的一个原函数, 则( ). 1 (5) 设 ( ) . 解 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) .2.计算下列不定积分：解 3. 已知是f(x)的一个原函数, 求.解 因为 是f(x) 的一个原函数, 则于是 4.试求函数 y = 2x + 1的一条积分曲线, 使此曲线在 x =1 处的切线刚好通过(2, 1)点.解 设积分曲线为, 则由已知得 于是 又曲线在x =1 处的切线刚好通过(2, 1)点,于是曲线的切线方程为于是曲线在x =1的切线方程的纵坐标为 -2，代入方程, 得 C = 4 故满足条件的积分曲线方程为 .5. 设 .解 由已知令，得6.设F(x) 为f(x) 的原函数, 且x 0, 已知 F(0) = 1, F(x) 0, 试求f(x) . 解 因为F(x) 为f(x)的原函数，又因为 F(0）=1，代入上式, 得C = 0 7.设当x0 时，连续，求. 解 9.一公司某产品的边际成本为3x+20, 它的边际收益为44-5x, 当生产与销售80单位产品时的成本为11400元，试求: (1)产量的最佳水平; (2)利润函数; (3)在产量的最佳水平是盈利还是亏损?解 （1）因为产量最佳水平满足的条件是边际成本 = 边际收益所以由 （2）成本函数为即成本函数为 .收益函数为即收益函数为 .故利润函数为 .（3）由（1）知道最佳产量水平是代入利润函数得 故在最佳水平时亏损164元.22
展开阅读全文