高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法(复习课)

一元二次不等式及其解法(复习课)【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】解下列不等式(1)0；(2)2.解(1)由0，此不等式等价于(x2)(x1)0，原不等式的解集为x|x1(2)法一：移项得20，左边通分并化简有0，即0，它的同解不等式为x2或x5.原不等式的解集为x|x2或x5法二：原不等式可化为0，此不等式等价于或解得x5，解得x2，原不等式的解集为x|x1.解：(1)原不等式等价于即2x3.原不等式的解集为x|2x0，即0.等价于(3x2)(4x3)0.x.原不等式的解集为x|x.题型二、不等式中的恒成立问题【例2】关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，求实数m的取值范围解原不等式等价于mx2mxm10，对xR恒成立，当m0时，0x20x10对xR恒成立当m0时，由题意，得m0.综上，m的取值范围为m0.【类题通法】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2bxc0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2bxc0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2bxc0的解集为的条件为【对点训练】2若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，求实数a的取值范围解：当a0时，原不等式可化为2x20，其解集不为R，故a0不满足题意，舍去；当a0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a.综上，所求实数a的取值范围为.题型三、一元二次不等式的实际应用【例3】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)依题意得，y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原计划税收为200a10%20a(万元)依题意得，a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范围是x|0x2【类题通法】用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解【对点训练】3某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(8002x) m，宽为(6002x) m根据题意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以0x100或x600，x600不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为(0,100 m.【练习反馈】1若集合Ax|12x13，Bx|0，则AB()Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x1解析：选BAx|1x1，Bx|0x2，ABx|0x12已知不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是()A4a4 B4a4Ca4或a4Da4或a4解析：选A依题意应有a2160，解得4a4，故选A.3不等式3的解集为_解析：3300x(2x1)0且x0x0或x.答案：4若函数f(x)log2(x22axa)的定义域为R，则a的取值范围为_解析：已知函数定义域为R，即x22axa0对任意xR恒成立(2a)24a0.解得1a0.答案：(1,0)5你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50x) m，且0x50.由题意，得围成矩形的面积Sx(50x)600，即x250x6000，解得20x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形