等差、等比数列性质总结

等差数列性质总结1.等差数列的定义式：（d 为常数）（）；2等差数列通项公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： 从而；3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn 是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 （2） 等差中项：数列是等差数列 数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若或(常数) 是等差数列等差中项性质法：7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）8.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.注：，（4）若、为等差数列，则都为等差数列(5) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 （6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和当项数为偶数时，当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）（8）的前和分别为、，且，则.（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和则(10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量等比数列性质1. 等比数列的定义：，称为公比2. 通项公式：， 首项：；公比：推广：， 从而得 3. 等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4. 等比数列的前n项和公式：(1) 当时， (2) 当时，（为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列（3） 通项公式：为等比数列（4） 前n项和公式：为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列7. 注意（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等差，可设为，（公比为，中间项用表示）；8. 等比数列的性质(1) 当时等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得注：(4) 列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列，成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, , 成等比数列(9) 当时， 当时，, 当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当q0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,. (11)若是公比为q的等比数列,则