几何证明——角平分线模型(中级)

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初中几何证明专题 几何证明角平分线模型(中级)【知识要点】、角平分线: (1)角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:证明两条线段相等); (2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。(作用:证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线)。2、角平分线常见用法(或辅助线作法):垂两边:如图1,已知平分,过点作,则。截两边:如图2,已知平分,点上,在上截取,则。角平分线+平行线等腰三角形:如图3,已知平分,则;如图4,已知平分,则。 (1) (2) (3) (4)三线合一(利用角平分线+垂线等腰三角形): 如图5,已知平分,且,则,。 (5)3、角平分线比例定理如图6,为的角平分线,则或。 (6)【经典例题】例1、已知如图,中,平分,若,求证:;例2、如图,在中,于,平分交于,交于,且交于。试求:与的大小关系如何?例3、已知如图,中,平分,若,求证:;例4、如图:已知是的内心,交于点,交于。求证:的周长等于。例5、如图:已知在中,的平分线与的外角平分线交于点,交于点,交 于点,求证:。例6、如图,已知中垂直于的平分线于,交于,求证:。 【提升训练】1、如图,已知的周长是分别平分和,于,且,求的面积2如图,ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60其三条角平分线交于点O,则SABO:SBCO:SCAO= 3如图,AOB=30,OP平分AOB,PCOB,PDOB,如果PC=6,那么PD等于 4如图,AD是ABC的角平分线,DFAB,垂足为F,DE=DG,ADG和AED的面积分别为50和39,求EDF的面积5已知如图在ABC中,ACB=90,CDAB于D,A的平分线交CD于F,BC于E,过点E作EHAB于H求证:EC=CF=EH6已知:如图,平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形7如图,等边ABC中,AO是BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边CDE,连接BE(1)求证:ACDBCE;(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长8如图,已知在ABC中,B=90,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P到各边的距离都相等,则这个距离是多少?9已知:如图在ABC中,C=90,AD平分BAC,交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,求:D到AB边的距离10如图,ABC中,点D在BC上,记ABD的面积为S1,ACD的面积为S2,若S1:S2=AB:AC,则AD是ABC的角平分线请说明理由11、如图,已知在中,分别以为边向外作正、正,与交于,求证:(1)。(2)平分。12、已知:如图, 、分别是外角和的平分线,它们交于点,求证:为的平分线。13、如图,求证:。14、如图,已知、分别平分和过点,求证:。15、如图,中,是的平分线,分别为上一点,且,求证:。16、已知:平分,求证:。17、已知,在中,、为角平分线,过点作交于,交于。 求证:。18、已知如图,平分,求证:。 19、如图,在四边形中,平分,过作于,并且,求证:。20、已知中,过且/,的平分线与和分别交于、, 的平分线与和分别交于、。求证。21、如图,已知线段,与相交于点,平分,猜想线段、三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。22、如图,已知中,平分,且,求证:。23如图所示,在四边形ABCD中,A=90,AD=4,连接BD,BDCD,ADB=C若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为 24如图所示,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AMBN,MAB和NBA的平分线交于点E,过点E作一直线垂直于AM,垂足为点D,交BN于点C(1)观察DE、EC,你有什么发现?请证明你的结论;(2)请你再研究AD+BC与AB的关系,并给予证明25已知:如图所示,AQ,BM,CN是ABC的三条角平分线试说明AQ,BM,CN交于一点26如图,ABC中,C=90,AD是角平分线,AC=8,AD=,求B、BC、AB27如图,已知BAC=90,ADBC于点D,1=2,EFBC交AC于点F试说明AE=CF28如图,已知点B,C分别在射线AN,AM上,MCB与NBC的平分线交于点P(1)求证:AP平分BAC;(2)若ACB=90,PC=4,PB=5,AB=7,求AP的长29如图,ABC中,AC=BC,AD平分BAC,若AC+CD=AB,求C的度数30如图,在ABC中,C=90,M为AB的中点,DMAB,CD平分ACB,求证:MD=AM31如图,ABC中,D为BC的中点,DEBC交BAC的平分线于E,EFAB,交AB于F,EGAC,交AC的延长线于G,试问:BF与CG的大小如何?证明你的结论32已知:点P为EAF平分线上一点,PBAE于B,PCAF于C,点M、N分别是射线AE、AF上的点,且PM=PN(1)当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时(如图1),求证:BM=CN;(2)在(1)的条件下,AM+AN= AC;(3)当点M在线段AB的延长线上时(如图2),若AC:PC=2:1,PC=4,求四边形ANPM的面积33已知:DAB=120,AC平分DAB,B+D=180(1)如图1,当B=D时,求证:AB+AD=AC;(2)如图2,当BD时,猜想(1)中的结论是否发生改变并说明理由34、如图,已知,平分,则能得如下两个结论:;(1)请你证明结论;(2)在图(2)中,把(1)中的条件“”改为,其他条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。12角平分线模型
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