几何证明——角平分线模型(中级)

初中几何证明专题 几何证明角平分线模型(中级)【知识要点】、角平分线： （1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）； （2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线）。2、角平分线常见用法（或辅助线作法）：垂两边：如图1，已知平分，过点作，则。截两边：如图2，已知平分，点上，在上截取，则。角平分线+平行线等腰三角形：如图3，已知平分，则；如图4，已知平分，则。 (1) (2) (3) (4)三线合一（利用角平分线+垂线等腰三角形）： 如图5，已知平分，且，则，。 （5）3、角平分线比例定理如图6，为的角平分线，则或。 （6）【经典例题】例1、已知如图，中，平分，若，求证：；例2、如图，在中，于，平分交于，交于，且交于。试求：与的大小关系如何？例3、已知如图，中，平分，若，求证：；例4、如图：已知是的内心，交于点，交于。求证：的周长等于。例5、如图：已知在中，的平分线与的外角平分线交于点，交于点，交 于点，求证：。例6、如图，已知中垂直于的平分线于，交于，求证：。 【提升训练】1、如图，已知的周长是分别平分和，于，且，求的面积2如图，ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60其三条角平分线交于点O，则SABO：SBCO：SCAO= 3如图，AOB=30，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于 4如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，求EDF的面积5已知如图在ABC中，ACB=90，CDAB于D，A的平分线交CD于F，BC于E，过点E作EHAB于H求证：EC=CF=EH6已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形7如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长8如图，已知在ABC中，B=90，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离都相等，则这个距离是多少？9已知：如图在ABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，求：D到AB边的距离10如图，ABC中，点D在BC上，记ABD的面积为S1，ACD的面积为S2，若S1：S2=AB：AC，则AD是ABC的角平分线请说明理由11、如图，已知在中，分别以为边向外作正、正，与交于，求证：（1）。（2）平分。12、已知：如图， 、分别是外角和的平分线，它们交于点，求证：为的平分线。13、如图，求证：。14、如图，已知、分别平分和过点，求证：。15、如图，中，是的平分线，分别为上一点，且，求证：。16、已知：平分，求证：。17、已知，在中，、为角平分线，过点作交于，交于。 求证：。18、已知如图，平分，求证：。 19、如图，在四边形中，平分，过作于，并且，求证：。20、已知中，过且/，的平分线与和分别交于、， 的平分线与和分别交于、。求证。21、如图，已知线段，与相交于点，平分，猜想线段、三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。22、如图，已知中，平分，且，求证：。23如图所示，在四边形ABCD中，A=90，AD=4，连接BD，BDCD，ADB=C若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 24如图所示，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AMBN，MAB和NBA的平分线交于点E，过点E作一直线垂直于AM，垂足为点D，交BN于点C（1）观察DE、EC，你有什么发现？请证明你的结论；（2）请你再研究AD+BC与AB的关系，并给予证明25已知：如图所示，AQ，BM，CN是ABC的三条角平分线试说明AQ，BM，CN交于一点26如图，ABC中，C=90，AD是角平分线，AC=8，AD=，求B、BC、AB27如图，已知BAC=90，ADBC于点D，1=2，EFBC交AC于点F试说明AE=CF28如图，已知点B，C分别在射线AN，AM上，MCB与NBC的平分线交于点P（1）求证：AP平分BAC；（2）若ACB=90，PC=4，PB=5，AB=7，求AP的长29如图，ABC中，AC=BC，AD平分BAC，若AC+CD=AB，求C的度数30如图，在ABC中，C=90，M为AB的中点，DMAB，CD平分ACB，求证：MD=AM31如图，ABC中，D为BC的中点，DEBC交BAC的平分线于E，EFAB，交AB于F，EGAC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论32已知：点P为EAF平分线上一点，PBAE于B，PCAF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM=PN（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM=CN；（2）在（1）的条件下，AM+AN= AC；（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC=2：1，PC=4，求四边形ANPM的面积33已知：DAB=120，AC平分DAB，B+D=180（1）如图1，当B=D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当BD时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由34、如图，已知，平分，则能得如下两个结论：；(1)请你证明结论；（2）在图（2）中，把（1）中的条件“”改为，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。12角平分线模型