《方程的根与函数的零点》教学设计

页 1 方程的根与函数的零点 教学设计 一 学情分析 程度差异性 中低等程度的学生占大多数 程度较高与程度很差的学生占 少数 知识 心理 能力储备 学生之前已经学习了函数的图象和性质 现在 基本会画简单函数的图象 也会通过图象去研究理解函数的性质 这就为学生 理解函数的零点提供了帮助 初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数 零点的存在性 因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点 从认 知规律上讲 应该是容易理解的 二 设计思想 教学理念 培养学生学习数学的兴趣 学会严密思考 并从中找到乐趣 教学原则 注重各个层面的学生 教学方法 三学一导 三 教学目标 1 知识与技能 理解函数 结合二次函数 零点的概念 领会函数零点与相应方程的关系 掌握零点存在的判定条件 培养学生的观察能力 2 过程与方法 通过观察二次函数图象 并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点 找 到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法 让学生归纳整理本节所学知识 3 情感 态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值 四 教学重点 难点 重点 函数零点与方程根之间的关系 连续函数在某区间上存在零点的判定方 法 难点 发现与理解方程的根与函数零点的关系 探究发现函数存在零点的方 法 五 教学过程设计 1 指导学生进行课前学习 预习教材 完成以下习题 2 指导学生进行课堂学习 1 方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索 问题 1 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象 如图 1 方程 与函数032 x32 xy 方程 与函数1 1 方程 与函数2x2xy 页 2 图 1 师生互动 师 教师引导学生解方程 画函数图象 分析方程的根与图象和 x 轴交点 坐标的关系 推广到一般的方程和函数引出零点概念 零点概念 对于函数 y f x x D 把使 f x 0 成立的实数 x 叫 做函数 y f x x D 的零点 师 填表格 函数 32 12 12 y 函数的零点 方程的根 生 经过独立思考 填完表格 师提示 根据零点概念 提出问题 零点是点吗 零点与函数方程的根有何关 系 生 经过观察表格 得出第一个结论 师再问 根据概念 函数 y f x 的零点与函数 y f x 的图象与 x 轴交点 有什么关系 生 经过观察图像与 x 轴交点完成解答 得出第二个结论 师 概括总结前两个结论 请学生总结 1 概念 函数的零点并不是 点 它不是以坐标的形式出现 而是实数 例如函数 的零点为 x 1 332 y 2 函数零点的意义 函数 的零点就是方程 实数根 亦即 fy 0 xf 函数 的图象与 轴交点的横坐标 xfyx 3 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数0 xfyx 有零点 xfy 师 引导学生仔细体会上述结论 再提出问题 如何并根据函数零点的意义求零点 生 可以解方程 而得到 代数法 0 xf 可以利用函数 的图象找出零点 几何法 y 问题 3 是不是所有的二次函数都有零点 师 仅提出问题 不须做任何提示 生 根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况 并进行交流 总结概 括形成结论 二次函数 的零点 看 0 2 acbxy 页 3 方程 有两不等实根 二次函数的图象与 轴有02 cbxa x 两个交点 二次函数有两个零点 方程 有两相等实根 二重根 二次函数的图2 象与 轴有一个交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 x 方程 无实根 二次函数的图象与 轴无交点 02 cbxa x 二次函数无零点 第一阶段设计意图 本节的前半节一直以二次函数作为模本研究 此题是从特殊到一般的升华 也全面总结了二次函数零点情况 给学生一个清晰的解题思路 进而培养学生 归纳总结能力 2 零点存在性的探 你能将结论进一步推广到 yfx 吗 新知 对于函数 f 我们把使 0f 的实数 x 叫做函数 yfx 的零点 zero point 反思 函数 的零点 方程 0f的实数根 函数 yfx 的图象与 x 轴交点的横坐标 三者有什么关系 2 16 f 例 1 求 函 数 的 零 点ln0 思 考 方 程 是 否 有 实 数 根 有 几 个 实 数 根 一般地 我们有 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一 条曲线并且有 f a f b 0 时 函数在区间 a b 内没有零点吗 探究 2 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲 线 并且有 f a f b 0 时 函数在区间 a b 内有零点 但是否只一 个零点 探究 3 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲 线 并且函数在区间 a b 内有零点时一定有 f a f b 0 探究 4 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象不是一条连续不断的 曲线 函数在区间 a b 内有零点时一定有 f a f b 0 图 3 反例 师 总结两个条件 1 函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 页 4 2 在区间 a b 上有 f a f b 0 一个结论 函数 y f x 在区间 a b 内单调则函数在这个区间内有且 只有一个零点 补充 什么时候只有一个零点 观察得出 函数 y f x 在区间 a b 内单调时只有一个零点 例 2 1 你可以想到什么方法来判断函数零点个数 2 判断函数的单调性 由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性 设计意图 教师引导学生理解函数零点存在定理 例 求 函 数 f x 2lg12的 零 点 个 数x 3例 方 程 lo的 解 所 在 区 间 为 A 0 B 1 C 3 D 4 变 式 训 练 函 数 fx2的 零 点 所 在 的 区 间 2 师 多媒体演示 结合图象考察零点所在的大致区间与个数 结合函数的单调 性说明零点的个数 让学生认识到函数的图象及基本性质 特别是单调性 在确定函数零点中的重要作用 生 建议学生使用计算器求出函数的大致区间 培养学生的估算能力 也为下 一节的用二分法求方程的近似解做准备 设计意图 利用练习巩固新知识 加深理解 为用二分法求方程的近似解做准 备 3 探索研究 可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整 师 把学生分成小组共同探究 给学生足够的自主学习时间 让学生充分研究 发挥其主观能动性 也可以让各组把这几个题做为小课题来研究 激发学生 学习潜能和热情 老师用多媒体演示 直观地演示根的存在性及根存在的区 间大小情况 生 分组讨论 各抒己见 在探究学习中得到数学能力的提高 设计意图 一是为用二分法求方程的近似解做准备 二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识 本组探究题目就 是为了培养学生的探究能力 此组题目具有较强的开放性 探究性 基本上可 以达到上述目的 4 课堂小结 5 作业回馈 3 指导学生进行课后学习 通过学生的作业反馈 重点辅导没有落实的课标要求 案例反思 本设计根据 三学一导 的教学法 突出了学生的主体作用 有效激发了学 生学习的兴趣 同时也遵循了由浅入深 循序渐进的原则 从学生认为较简单 页 5 的一元二次方程与相应的二次函数入手 由具体到一般 建立一元二次方程的 根与相应的二次函数的零点的联系 然后将其推广到一般方程与相应的函数的 情形