大学物理简明教程课后习题及答案

大学物理简明教程习题解答 习题一 1 1 r 与 有无不同 td r 和 有无不同 td v 和 有无不同 其不同在哪里 试 举例说明 解 1 是位移的模 r是位矢的模的增量 即 r 12 12r 2 td r 是速度的模 即 td vt s 只是速度在径向上的分量 有 r 式中 叫做单位矢 则 t rtddr 式中 td就是速度径向上的分量 t r与 不同如题 1 1 图所示 题 1 1 图 3 td v 表示加速度的模 即 t vad 是加速度 a在切向上的分量 有 表轨道节线方向单位矢 所以 tvtd 式中 dt v 就是加速度的切向分量 r 与 的运算较复杂 超出教材规定 故不予讨论 1 2 设质点的运动方程为 x t y t 在计算质点的速度和加速度时 有人先求 出 r 2yx 然后根据 v t rd 及 a 2t r 而求得结果 又有人先计算速度和加速度 的分量 再合成求得结果 即 v 22 tytx 及 22d tytx 你认为两种方法哪一种正确 为什么 两者差别何在 解 后一种方法正确 因为速度与加速度都是矢量 在平面直角坐标系中 有 jyixr jtyitxrav 22dd 故它们的模即为 2222d tytxattvyxyx 而前一种方法的错误可能有两点 其一是概念上的错误 即误把速度 加速度定义作 2dtrtrv 其二 可能是将 2dt r与 误作速度与加速度的模 在 1 1 题中已说明 t rd 不是速度的模 而只是速度在径向上的分量 同样 2dt r 也不是加速度的模 它只是加速度在径向分量中 的一部分 22dtrta 径 或者概括性地说 前一种方法只考虑了位矢 r 在径向 即量值 方面随时间的变化率 而没有考虑位矢 r 及速度 v的方向随间的变化率对速度 加速度的贡献 1 3 一质点在 xOy平面上运动 运动方程为 x 3t 5 y 2 1t 2 3 4 式中 t以 s 计 以 m 计 1 以时间 为变量 写出质点位置矢量的表示式 2 求出 1 s 时刻和 t 2s 时刻的位置矢量 计算这 1 秒内质点的位移 3 计算 t 0 s 时刻到 4s 时刻内的平均速度 4 求出质点速度矢量表示式 计算 t 4 s 时质点的速度 5 计算 t 0s 到 4s 内质点的平均加速度 6 求出质点加速度矢量的表示式 计算 t 4s 时质点的加速度 请把位置矢量 位移 平均速度 瞬时速度 平均加速度 瞬时加速度都 表示成直角坐标系中的矢量式 解 1 jtitr 4321 53 m 2 将 t 2代入上式即有 ji 081 r 25 43 3 jij167 50 14 sm0 rtv 4 1sm 3 d jitrv 则 jiv 74 1s 5 jivjiv 73 40 24sm1 ta 6 d jta 这说明该点只有 y方向的加速度 且为恒量 1 4 在离水面高 h 米的岸上 有人用绳子拉船靠岸 船在离岸 S 处 如题 1 4 图所示 当 人以 0v m 1 s 的速率收绳时 试求船运动的速度和加速度的大小 图 1 4 解 设人到船之间绳的长度为 l 此时绳与水面成 角 由图可知 22sh 将上式对时间 t求导 得 t stld2 题 1 4 图 根据速度的定义 并注意到 是随 减少的 t svtlvd 0 船绳 即 cosd 0ls 船 或 vhlv2 120 船 将 船v再对 t求导 即得船的加速度 32020 020 ddsvhsl vsltsltva 船船 1 5 质点沿 x轴运动 其加速度和位置的关系为 a 2 6 2x 的单位为 2sm x的单 位为 m 质点在 0 处 速度为 10 1m 试求质点在任何坐标处的速度值 解 vttvadd 分离变量 xadxd 62 两边积分得 cv321 由题知 0 x时 50 13sm2 x 1 6 已知一质点作直线运动 其加速度为 a 4 3 t2 开始运动时 x 5 m v 0 求该质点在 t 10s 时的速度和位置 解 ttv4d 分离变量 得 3 积分 得 1 2ctv 由题知 0 t v 01c 故 234t 又因为 dt xv 分离变量 tx 234 d 积分得 2 321ctx 由题知 0t 5x 2c 故 132 t 所以 st时 m705120s93410 12 xv 1 7 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动 运动方程为 2 3 3t 式中以弧度计 t以秒 计 求 1 t 2 s 时 质点的切向和法向加速度 2 当加速度的方向和半径成 45 角时 其角位移是多少 解 tt18d 9d2 1 s2 t时 2sm3618 Ra 229 n 2 当加速度方向与半径成 45角时 有 145tan n 即 R 2 亦即 8 9 2 则解得 9 23 t 于是角位移为 rad67 2932 t 1 8 质点沿半径为 R的圆周按 s 0 1btv 的规律运动 式中 s为质点离圆周上某点的 弧长 0v b都是常量 求 1 时刻质点的加速度 2 t为何值时 加速度在数值上等 于 解 1 btvts 0d R tvan202 则 2 422bt 加速度与半径的夹角为 20 arctnbtv 2 由题意应有 242Rb 即 0 402402 btvtv 当 b vt0 时 a 1 9 以初速度 20 1sm 抛出一小球 抛出方向与水平面成幔 60 的夹角 求 1 球轨道最高点的曲率半径 R 2 落地处的曲率半径 2R 提示 利用曲率半径与法向加速度之间的关系 解 设小球所作抛物线轨道如题 1 10 图所示 题 1 9 图 1 在最高点 o016csvx 2m gan 又 1 m10 60cos2 2 nav 2 在落地点 22v1s 而 o60c gan m8s1 2 n 1 10 飞轮半径为 0 4 m 自静止启动 其角加速度为 0 2 rad 2s 求 t 2s 时边缘 上各点的速度 法向加速度 切向加速度和合加速度 解 当 s2 t时 4 02 t 1srad 则 164 0 Rv1s 064 2 Ran 2s 8 m222 1 04 n 1 11 一船以速率 1v 30km h 1沿直线向东行驶 另一小艇在其前方以速率 2v 40km h 1 沿直线向北行驶 问在船上看小艇的速度为何 在艇上看船的速度又为何 解 1 大船看小艇 则有 121v 依题意作速度矢量图如题 1 13 图 a 题 1 11 图 由图可知 1212 hkm50 vv 方向北偏西 87 364arctnrt2 2 小船看大船 则有 12 依题意作出速度矢量图如题 1 13 图 b 同上法 得5012v1hk 方向南偏东 o87 36 习题二 2 1 一个质量为 P的质点 在光滑的固定斜面 倾角为 上以初速度 0v运动 0的方向 与斜面底边的水平线 AB平行 如图所示 求这质点的运动轨道 解 物体置于斜面上受到重力 mg 斜面支持力 N 建立坐标 取 方向为 X轴 平行斜 面与 X轴垂直方向为 Y轴 如图 2 2 题 2 1 图 X方向 0 xF tvx0 Y 方向 yymag sin 0 t 时 2i1t 由 式消去 t 得 220sinxgvy 2 2 质量为 16 kg 的质点在 xO平面内运动 受一恒力作用 力的分量为 xf 6 N yf 7 N 当 t 0 时 0 x 2 m s 1 yv 0 求 当 t 2 s 时质点的 1 位矢 2 速度 解 2sm8316 fax7 y 1 20 1sm87216453dtavyyxx 于是质点在 s2时的速度 145 ji 2 m874134 167 2 42 1220ji jijtattvryx 2 3 质点在流体中作直线运动 受与速度成正比的阻力 kv 为常数 作用 t 0 时质点的 速度为 0v 证明 1 t时刻的速度为 v tke 0 2 由 0 到 t的时间内经过的距离为x k m 1 tmke 3 停止运动前经过的距离为 k 4 证明当 kmt 时速 度减至 0v的 1 式中 m 为质点的质量 答 1 t vmkad 分离变量 得 v 即 vtmk0dktelnl tmkv 0 2 t tt mkkeevx0 1 d 3 质点停止运动时速度为零 即 t 故有 00kvtmk 4 当 t k m 时 其速度为 evevkm0100 即速度减至 0v的 e 1 2 4 一质量为 m的质点以与地的仰角 30 的初速 0v 从地面抛出 若忽略空气阻力 求质 点落地时相对抛射时的动量的增量 解 依题意作出示意图如题 2 6 图 题 2 4 图 在忽略空气阻力情况下 抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同 与轨道相切斜向 下 而抛物线具有对 y轴对称性 故末速度与 x轴夹角亦为 o30 则动量的增量为vmp 由矢量图知 动量增量大小为 0v 方向竖直向下 2 5 作用在质量为 10 kg 的物体上的力为 itF 21 N 式中 t的单位是 s 1 求 4s 后 这物体的动量和速度的变化 以及力给予物体的冲量 2 为了使这力的冲量为 200 N s 该力应在这物体上作用多久 试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j 6 m s 1 的物体 回答这两个问题 解 1 若物体原来静止 则 ititFp 10401 smkg56d 21 d 沿 x轴正向 ipIv 11s6 若物体原来具有 6 1s 初速 则 tt FvmFvmp0000 d d 于是 tpFp012d 同理 1v 2I 这说明 只要力函数不变 作用时间相同 则不管物体有无初动量 也不管初动量有多大 那么物体获得的动量的增量 亦即冲量 就一定相同 这就是动量定理 2 同上理 两种情况中的作用时间相同 即 t ttI020d 亦即 12 解得 s10 t s2 t舍去 2 6 一颗子弹由枪口射出时速率为 0sm v 当子弹在枪筒内被加速时 它所受的合力为 F bta N 为常数 其中 t以秒为单位 1 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零 试计算子弹走完枪筒全长所需时间 2 求子弹所受的冲量 3 求子弹的质量 解 1 由题意 子弹到枪口时 有 0 btaF 得 b at 2 子弹所受的冲量 t ttI021d 将 b at 代入 得 baI2 3 由动量定理可求得子弹的质量 00vm 2 7 设 N67jiF 合 1 当一质点从原点运动到 m1643kjir 时 求 F所作 的功 2 如果质点到 r处时需 0 6s 试求平均功率 3 如果质点的质量为 1kg 试求动 能的变化 解 1 由题知 合 为恒力 1643 67 kjijirFA 合 J4521 2 w 0 tP 3 由动能定理 Ek 2 8 如题 2 18 图所示 一物体质量为 2kg 以初速度 0v 3m s 1从斜面 A点处下滑 它 与斜面的摩擦力为 8N 到达 B点后压缩弹簧 20cm 后停止 然后又被弹回 求弹簧的劲度 系数和物体最后能回到的高度 解 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点 弹簧原 长处为弹性势能零点 则由功能原理 有 37sin21mgvkxsfr 22137sinkxsfmgvkr 式中 52 084 s 0 x 再代入有关数据 解得 1mN39 k 题 2 8 图 再次运用功能原理 求木块弹回的高度 h 2o137sinkxmgfr 代入有关数据 得 4 1 s 则木块弹回高度 84 0sio h 2 9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞 试证碰后两小球的运动方向 互相垂直 证 两小球碰撞过程中 机械能守恒 有 221201mvv 即 题 2 9 图 a 题 2 9 图 b 又碰撞过程中 动量守恒 即有 210vmv 亦即 210v 由 可作出矢量三角形如图 b 又由 式可知三矢量之间满足勾股定理 且以 0v 为斜边 故知 1v 与 2是互相垂直的 2 10 一质量为 的质点位于 1 yx 处 速度为 jviyx 质点受到一个沿 x负方向 的力 f的作用 求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩 解 由题知 质点的位矢为 jir1 作用在质点上的力为 f 所以 质点对原点的角动量为 vmrL 0 1jvimiyxyx kmvyxx 11 作用在质点上的力的力矩为 kfifjifrM 110 2 11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆 它离太阳最近距离为 r 8 75 10 10m 时的 速率是 1v 5 46 10 4 m s 1 它离太阳最远时的速率是 2v 9 08 10 2m s 1 这时它离 太阳的距离 2r多少 太阳位于椭圆的一个焦点 解 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力 即有心力的作用 所以角动量守恒 又由于 哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直 故有 21mv m106 508 9475221 vr 2 12 物体质量为 3kg t 0 时位于 ir s ji 如一恒力 N5jf 作用 在物体上 求 3 秒后 1 物体动量的变化 2 相对 z轴角动量的变化 解 1 301skg15djtjfp 2 解 一 7340 tvxjaty 5 2620 即 ir 1 ji 5 10 xv356 aty 即 jiv 61 jiv 12 kmrL 7 341 jijivmrL 5 5 27 22 1212sg8 k 解 二 dt zM tttFrL00d d 30 12smkg5 8 4 5d53162tktji 题 2 12 图 2 13 飞轮的质量 m 60kg 半径 R 0 25m 绕其水平中心轴 O转动 转速为 900rev min 1 现利用一制动的闸杆 在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 F 可使飞轮 减速 已知闸杆的尺寸如题 2 25 图所示 闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 0 4 飞轮的转 动惯量可按匀质圆盘计算 试求 1 设 F 100 N 问可使飞轮在多长时间内停止转动 在这段时间里飞轮转了几转 2 如果在 2s 内飞轮转速减少一半 需加多大的力 F 解 1 先作闸杆和飞轮的受力分析图 如图 b 图中 N 是正压力 r 是摩 擦力 x和 y是杆在 A点转轴处所受支承力 R是轮的重力 P是轮在 O轴处所受支承 力 题 2 13 图 a 题 2 13 图 b 杆处于静止状态 所以对 A点的合力矩应为零 设闸瓦厚度不计 则有 FlNllF121210 对飞轮 按转动定律有 IRr 式中负号表示 与角速度 方向相反 N l r12 又 mRI FlIFr12 以 N10 F等代入上式 得 2srad34050 26 7 4 0 由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 6 69 t 这段时间内飞轮的角位移为 rad21 53 49 3021496020 t 可知在这段时间里 飞轮转了 转 2 0 srad629 要求飞轮转速在 2 ts内减少一半 可知 200rad152 tt 用上面式 1 所示的关系 可求出所需的制动力为 NlmRF172 75 0 4 021621 2 14 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 O 转动 设大小圆柱体 的半径分别为 R和 r 质量分别为 M和 m 绕在两柱体上的细绳分别与物体 1m和 2相 连 1m和 2则挂在圆柱体的两侧 如题 2 26 图所示 设 R 0 20m r 0 10m 4 kg M 10 kg 1 2 2 kg 且开始时 1 2离地均为 h 2m 求 1 柱体转动时的角加速度 2 两侧细绳的张力 解 设 1a 2和 分别为 1 2和柱体的加速度及角加速度 方向如图 如图 b 题 2 14 a 图 题 2 14 b 图 1 1m 2和柱体的运动方程如下 22amgT 11 IrR 2 式中 aT 1221 而 2MI 由上式求得 2 22221srad13 6 8 910 01 40 grmRI 2 由 式 8 93 622 gmrT N 由 式 17208911 R 2 15 如题 2 15 图所示 一匀质细杆质量为 长为 l 可绕过一端 O的水平轴自由转动 杆于水平位置由静止开始摆下 求 1 初始时刻的角加速度 2 杆转过 角时的角速度 解 1 由转动定律 有 31 22mlg l 2 由机械能守恒定律 有 2 31 sin2 llg l 题 2 15 图 习题三 3 1 气体在平衡态时有何特征 气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同 答 气体在平衡态时 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换 系统的宏观性质不随时 间变化 力学平衡态与热力学平衡态不同 当系统处于热平衡态时 组成系统的大量粒子仍在不停 地 无规则地运动着 大量粒子运动的平均效果不变 这是一种动态平衡 而个别粒子所 受合外力可以不为零 而力学平衡态时 物体保持静止或匀速直线运动 所受合外力为 零 3 2 气体动理论的研究对象是什么 理想气体的宏观模型和微观模型各如何 答 气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统 是从物质的微观结构和分子运动 论出发 运用力学规律 通过统计平均的办法 求出热运动的宏观结果 再由实验确认的 方法 从宏观看 在温度不太低 压强不大时 实际气体都可近似地当作理想气体来处理 压强 越低 温度越高 这种近似的准确度越高 理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由 运动的质点 3 3 温度概念的适用条件是什么 温度微观本质是什么 答 温度是大量分子无规则热运动的集体表现 是一个统计概念 对个别分子无意义 温 度微观本质是分子平均平动动能的量度 3 4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率 iN 21 4 6 8 2 sm 1 iV 10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 解 平均速率 28642150300 iNV7 214890 1sm 方均根速率 286421500021 232 iNV6 5 sm 3 5 速率分布函数 vf的物理意义是什么 试说明下列各量的物理意义 n为分子数密度 N 为系统总分子数 1 vfd 2 vnfd 3 vNfd 4 0 5 0 6 21v 解 f 表示一定质量的气体 在温度为 T的平衡态时 分布在速率 附近单位速率区 间内的分子数占总分子数的百分比 1 vd 表示分布在速率 v附近 速率区间 vd内的分子数占总分子数的百分比 2 nf 表示分布在速率 附近 速率区间 内的分子数密度 3 N 表示分布在速率 附近 速率区间 内的分子数 4 vf0 表示分布在 21 区间内的分子数占总分子数的百分比 5 d 表示分布在 0的速率区间内所有分子 其与总分子数的比值是 1 6 21 vf 表示分布在 21v区间内的分子数 3 6 题 3 6 图 a 是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线 哪一条代表氢 题 3 6 图 b 是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线 哪一条的温度较高 答 图 a 中 表示氧 表示氢 图 b 中 温度高 题 3 6 图 3 7 试说明下列各量的物理意义 1 kT2 2 kT3 3 kTi2 4 RiMmol 5 Ri 6 R 解 在平衡态下 分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为k21 T 在平衡态下 分子平均平动动能均为 kT23 3 在平衡态下 自由度为 i的分子平均总能量均为 i 4 由质量为 M 摩尔质量为 mol 自由度为 i的分子组成的系统的内能为 RTiM2mol 5 1摩尔自由度为 i的分子组成的系统内能为 RT2 6 摩尔自由度为 3的分子组成的系统的内能 3 或者说热力学体系内 1 摩尔分子 的平均平动动能之总和为 RT2 3 8 有一水银气压计 当水银柱为 0 76m 高时 管顶离水银柱液面 0 12m 管的截面积为 2 0 10 4m2 当有少量氦 He 混入水银管内顶部 水银柱高下降为 0 6m 此时温度为 27 试计算有多少质量氦气在管顶 He 的摩尔质量为 0 004kg mol 1 解 由理想气体状态方程 TMpVmol 得 RpVol 汞的重度 5103 Hgd3N 氦气的压强 Hg 67 dP 氦气的体积 4 2 8V3 27 10 804 4g RM 31 8 607 H d6109 Kg 3 9 设有 N个粒子的系统 其速率分布如题 6 18 图所示 求 1 分布函数 vf的表达式 2 a与 0之间的关系 3 速度在 1 5 到 2 0 0之间的粒子数 4 粒子的平均速率 5 0 5 0v到 1 区间内粒子平均速率 题 3 9 图 解 1 从图上可得分布函数表达式 2 0 0vvNfaf 0f vf 满足归一化条件 但这里纵坐标是 vNf而不是 vf故曲线下的总面积为 N 2 由归一化条件可得 00 0232dvvaa 3 可通过面积计算 31 5 0 4 N个粒子平均速率 00200 dd d vvavNfvf 02029131a 5 05 v到 1区间内粒子平均速率 005 15 ddvvN 0 05 5 211 vvafN473d0035 021avv 05 v 到 1区间内粒子数 Nvva18 5 2001 97602Nav 3 10 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于 10 pv与 10 pv之间的 分子数占总分子数的百分比 解 令 Pvu 则麦克斯韦速率分布函数可表示为 deNdu24 因为 1 0 由 u 2 得 6 1 41 e 3 11 1mol 氢气 在温度为 27 时 它的平动动能 转动动能和内能各是多少 解 理想气体分子的能量 RTiE2 平动动能 3 t 5 37901 82 tEJ 转动动能 r 4r 内能 5i 6 i J 3 12 一真空管的真空度约为 1 38 10 3 Pa 即 1 0 10 5 mmHg 试 求在 27 时单位体积 中的分子数及分子的平均自由程 设分子的有效直径 d 3 10 10 m 解 由气体状态方程 nkTp 得 17230 108 3m 由平均自由程公式 nd2 5 7103 1092 3 13 1 求氮气在标准状态下的平均碰撞频率 2 若温度不变 气压降到 1 33 10 4Pa 平均碰撞频率又为多少 设分子有效直径 10 10 m 解 1 碰撞频率公式 vndz2 对于理想气体有 kTp 即kTn 所以有 vdz 2 而 mol60 1MRv 43 528731 60 1sm 氮气在标准状态下的平均碰撞频率 8052 104 7318 45 z s 气压下降后的平均碰撞频率 1237 3 14 1mol 氧气从初态出发 经过等容升压过程 压强增大为原来的 2 倍 然后又经过等 温膨胀过程 体积增大为原来的 2 倍 求末态与初态之间 1 气体分子方均根速率之比 2 分子平均自由程之比 解 由气体状态方程 21Tp 及 32Vp 方均根速率公式 mol73 MRv2122 pTv末初 对于理想气体 nk 即 kTp 所以有 pd2 12 T末初 习题四 4 1 下列表述是否正确 为什么 并将错误更正 1 AEQ 2 VpEQd 3 1 2 4 1 2 不 可 逆 解 1 不正确 2 不正确 Vpd 3 不正确 1 2Q 4 不正确 不 可 逆 4 2 用热力学第一定律和第二定律分别证明 在 Vp 图上一绝热线与一等温线不能有两 个交点 题 4 2 图 解 1 由热力学第一定律有 AEQ 若有两个交点 a和 b 则 经等温 过程有 011 经绝热 过程 2 AE 从上得出 21E 这与 a b两点的内能变化应该相同矛盾 2 若两条曲线有两个交点 则组成闭合曲线而构成了一循环过程 这循环过程只有吸热 无放热 且对外做正功 热机效率为 10 违背了热力学第二定律 4 3 一循环过程如题 4 3 图所示 试指出 1 cab 各是什么过程 2 画出对应的 Vp 图 3 该循环是否是正循环 4 该循环作的功是否等于直角三角形面积 5 用图中的热量 acbaQ 表述其热机效率或致冷系数 解 1 是等体过程bc 过程 从图知有 KTV 为斜率 由 vRp 得K 故 c过程为等压过程a 是等温过程 2 Vp 图如题 4 3 图 题 4 3 图 3 该循环是逆循环 4 该循环作的功不等于直角三角形面积 因为直角三角形不是 Vp 图中的图形 5 abcbQ e 题 4 3 图 题 4 4 图 4 4 两个卡诺循环如题 4 4 图所示 它们的循环面积相等 试问 1 它们吸热和放热的差值是否相同 2 对外作的净功是否相等 3 效率是否相同 答 由于卡诺循环曲线所包围的面积相等 系统对外所作的净功相等 也就是吸热和放热 的差值相等 但吸热和放热的多少不一定相等 效率也就不相同 4 5 根据 BABTQS可 逆d 及 BABTQS不 可 逆d 这是否说明可逆过程的熵变大于 不可逆过程熵变 为什么 说明理由 答 这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变 熵是状态函数 熵变只与初末状态 有关 如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同 具有相同的熵变 只能说在不可逆过程 中 系统的热温比之和小于熵变 4 6 如题 4 6 图所示 一系统由状态 a沿 cb到达状态 b 的过程中 有 350 J 热量传入系 统 而系统作功 126 J 1 若沿 adb时 系统作功 42 J 问有多少热量传入系统 2 若系统由状态 沿曲线 b返回状态 时 外界对系统作功为 84 J 试问系统是吸热还 是放热 热量传递是多少 题 4 6 图 解 由 abc过程可求出 b态和 a态的内能之差 AEQ 2416350 AQE Jd 过程 系统作功 系统吸收热量ba 过程 外界对系统作功 83J 系统放热 4 7 1 mol 单原子理想气体从 300 K 加热到 350 K 问在下列两过程中吸收了多少热量 增 加了多少内能 对外作了多少功 1 体积保持不变 2 压力保持不变 解 1 等体过程 由热力学第一定律得 EQ 吸热 2 112VTRiTCEQ 5 63 035 1 82 EQ J 对外作功 A 2 等压过程 2 112PTRiTC 吸热 75 1038 35 8 Q J 2VTCE 内能增加 6 2 J 对外作功 541375 108 A 4 8 0 01 m3氮气在温度为 300 K 时 由 0 1 MPa 即 1 atm 压缩到 10 MPa 试分别求氮 气经等温及绝热压缩后的 1 体积 2 温度 3 各过程对外所作的功 解 1 等温压缩 3T 由 21Vp 求得体积 32110 0 pV m 对外作功 2 11lnlpRTA 0 03 5 31067 4 J 2 绝热压缩 C25V 7 由绝热方程 21p 12 pV 12 12 34109 0 m 由绝热方程 21pT 得 K579 24 04 122 pT 热力学第一定律 AEQ 所以 12molTCMV RTMpVmol 51Rp 35 105 2 30579 2301 1 A J 4 9 1 mol 的理想气体的 T V 图如题 4 9 图所示 ab为直线 延长线通过原点 O 求ab 过程气体对外做的功 题 4 9 图 解 设 KVT 由图可求得直线的斜率 K为 02V T 得过程方程 由状态方程 Rp 得 V T ab 过程气体对外作功 02dvpA 000202dVvVRT 4 10 一卡诺热机在 1000 K 和 300 K 的两热源之间工作 试计算 1 热机效率 2 若低温热源不变 要使热机效率提高到 80 则高温热源温度需提高多少 3 若高温热源不变 要使热机效率提高到 80 则低温热源温度需降低多少 解 1 卡诺热机效率 1 2T 7013 2 低温热源温度不变时 若 8031 T 要求 501 TK 高温热源温度需提高 5K 3 高温热源温度不变时 若 8012 要求 20K 低温热源温度需降低 4 11 如题 4 11 图所示是一理想气体所经历的循环过程 其中 AB和 CD是等压过程 BC和 DA为绝热过程 已知 B点和 C点的温度分别为 2T和 3 求此循环效率 这是卡 诺循环吗 题 4 11 图 解 1 热机效率 1 2Q AB 等压过程 P1TC 吸热 mo ABlMCD 等压过程 12P2v 放热 ol 2 DCTQ 1 1 BABABDCT 根据绝热过程方程得到 AD 绝热过程 pBC 绝热过程 CB 11 又 B DA Tp 2 31 2 不是卡诺循环 因为不是工作在两个恒定的热源之间 4 12 1 用一卡诺循环的致冷机从 7 的热源中提取 1000 J 的热量传向 27 的热源 需 要多少功 从 173 向 27 呢 2 一可逆的卡诺机 作热机使用时 如果工作的两热源的温度差愈大 则对于作功就愈有 利 当作致冷机使用时 如果两热源的温度差愈大 对于致冷是否也愈有利 为什么 解 1 卡诺循环的致冷机 21 2TAQe 静7 2 时 需作功 4 7102831 QTA J3 时 需作功 2212 J 2 从上面计算可看到 当高温热源温度一定时 低温热源温度越低 温度差愈大 提取同 样的热量 则所需作功也越多 对致冷是不利的 4 13 如题 4 13 图所示 1 mol 双原子分子理想气体 从初态 K30 L211 TV经历三 种不同的过程到达末态 K30 L422 TV 图中 1 2 为等温线 1 4 为绝热线 4 2 为等压线 1 3 为等压线 3 2 为等体线 试分别沿这三种过程计算气体的熵变 题 4 13 图 解 21 熵变 等温过程 AQd Vpd RT 21122VRTS76 5lnl J1K 3 熵变 1232dTQS 3 2V13pVp12 lnld233 TCTCS 31 等压过程 31 3 2 123 等体过程 23T p pT 1 23 1 2V12P12lnlpCS 在 21 等温过程中 p 所以 lllln121212P12 R 4 熵变 1242dTQS 4 1p42pp12 lnld024 TCTCS 4 绝热过程 14141 VTVT 12 14141 pVp 在 2 等温过程中 21Vp 1 2 41 124 VT2lnl1ln2P41P12 RVCS 4 14 有两个相同体积的容器 分别装有 1 mol 的水 初始温度分别为 1T和 2 1 2 令其进行接触 最后达到相同温度 T 求熵的变化 设水的摩尔热容为 molC 解 两个容器中的总熵变 TTlS12dmomol0 21 mol21ol n l nTTC 因为是两个相同体积的容器 故 ol2mol 得 1 21 mol04 nTCS 4 15 把 0 的 0 5kg的冰块加热到它全部溶化成 0 的水 问 1 水的熵变如何 2 若热源是温度为 20 的庞大物体 那么热源的熵变化多大 3 水和热源的总熵变多大 增加还是减少 水的熔解热 34 1gJ 解 1 水的熵变 612273045 1 TQS J1K 2 热源的熵变 579 2 1 3 总熵变 4206121 S J 熵增加 习题五 5 1 电量都是 q的三个点电荷 分别放在正三角形的三个顶点 试问 1 在这三角形的中 心放一个什么样的电荷 就可以使这四个电荷都达到平衡 即每个电荷受其他三个电荷的库 仑力之和都为零 2 这种平衡与三角形的边长有无关系 解 如题 8 1 图示 1 以 A处点电荷为研究对象 由力平衡知 q 为负电荷 2020 3 413cos 41aa 解得 q 2 与三角形边长无关 题 5 1 图 题 5 2 图 5 2 两小球的质量都是 m 都用长为 l的细绳挂在同一点 它们带有相同电量 静止时两 线夹角为 2 如题 5 2 图所示 设小球的半径和线的质量都可以忽略不计 求每个小球所 带的电量 解 如题 8 2 图示 20 sin 41sinco lqFTmge 解得 ta4sin20mglq 5 3 在真空中有 A B两平行板 相对距离为 d 板面积为 S 其带电量分别为 q和 则这两板之间有相互作用力 f 有人说 f 204 q 又有人说 因为 f E SqE0 所以 f S q02 试问这两种说法对吗 为什么 f到底应等于多少 解 题中的两种说法均不对 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的 第二种说法 把合场强 0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的 正确解答应为一 个板的电场为 S qE02 另一板受它的作用力 S qf020 这是两板间相互作 用的电场力 5 4 长 l 15 0cm 的直导线 AB 上均匀地分布着线密度 5 0 x10 9C m 1 的正电荷 试求 1 在导线的延长线上与导线 B 端相距 1a 5 0cm 处 P点的场强 2 在导线的垂直平分线 上与导线中点相距 2d 5 0cm 处 Q点的场强 解 如题 5 4 图所示 题 5 4 图 1 在带电直线上取线元 xd 其上电量 qd在 P点产生场强为 20 41xaE 2dlP 1 40lal 4 20la 用 15lcm 910 1mC 5 2 c代入得7 6PEN 方向水平向右 2 同理 20d 4 d xQ 方向如题 8 6 图所示 由于对称性 lx 即 QE 只有 y分量 220d1 xy 2 4 lQyyE 23 lx20d4 2 l 以 91 5 1cmC 5lc d2cm代入得206 QyEN 方向沿 y轴正向 5 5 1 点电荷 q位于一边长为 a 的立方体中心 试求在该点电荷电场中穿过立方体的一 个面的电通量 2 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上 这时穿过立方体各面 的电通量是多少 3 如题 5 5 3 图所示 在点电荷 q的电场中取半径为 R 的圆平 面 在该平面轴线上的 A点处 求 通过圆平面的电通量 x arctn 解 1 由高斯定理 0 d qSEs 立方体六个面 当 在立方体中心时 每个面上电通量相等 各面电通量 06 e 2 电荷在顶点时 将立方体延伸为边长 a2的立方体 使 q处于边长 a2的立方体中心 则 边长 a2的正方形上电通量 06 qe 对于边长 的正方形 如果它不包含 所在的顶点 则 024 e 如果它包含 q所在顶点则 e 如题 5 5 a 图所示 题 5 5 3 图 题 5 5 a 图 题 5 5 b 图 题 5 5 c 图 3 通过半径为 R的圆平面的电通量等于通过半径为 2xR 的球冠面的电通量 球冠 面积 1 222xxS 40R Sq 0 q 2 1xR 关于球冠面积的计算 见题 8 9 c 图 0dsin 2rSr co1 2 5 6 均匀带电球壳内半径 6cm 外半径 10cm 电荷体密度为 2 510 C m 3求距球心 5cm 8cm 12cm 各点的场强 解 高斯定理 0 d qSEs 0 2 4 qr 当 5 rc时 8 时 q3 p r 3内 20 4E 内 4108 1CN 方向沿半径向外 12 r cm 时 3 q 外r 内 3 420310 4 rE 内外 1CN 沿半径向外 5 7 半径为 1R和 的两无限长同轴圆柱面 单位长度上分别带有电量 和 试求 1 2 1 2R 3 r 2处各点的场强 解 高斯定理 0 d qSs 取同轴圆柱形高斯面 侧面积 rl 则 ES2 对 1 1Rr 0 q 2 2 l r E0 2 沿径向向外 3 2R 0 q E 题 5 8 图 5 8 两个无限大的平行平面都均匀带电 电荷的面密度分别为 1 和 2 试求空间各处场 强 解 如题 8 12 图示 两带电平面均匀带电 电荷面密度分别为 与 两面间 nE 2120 1 面外 1 2 面外 n 220 n 垂直于两平面由 1 面指为 面 题 5 9 图 5 9 如题 5 9 图所示 在 A B两点处放有电量分别为 q 的点电荷 AB间距离为 2R 现将另一正试验点电荷 0q从 O点经过半圆弧移到 C点 求移动过程中电场力作的 功 解 如题 8 16 图示 0 41 OU Rq30 6 qqAoCO00 5 10 如题 5 10 图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷 两直导线的长度和半 圆环的半径都等于 R 试求环中心 点处的场强和电势 解 1 由于电荷均匀分布与对称性 B和 D段电荷在 O点产生的场强互相抵消 取 dl 则 q产生 点 E d 如图 由于对称性 点场强沿 y轴负方向 题 5 10 图 cos 4d220 REyR0 4 2sin si 2 2 AB电荷在 O点产生电势 以 0 U 20001 2ln 4d 4RxxU 同理 CD产生 2 半圆环产生 00 34 R 0 321 42ln UO 5 11 三个平行金属板 A B和 C的面积都是 200cm2 A和 B相距 4 0mm A与 C相距 2 0 mm B 都接地 如题 8 22 图所示 如果使 板带正电 3 0 10 7C 略去边缘效 应 问 板和 板上的感应电荷各是多少 以地的电势为零 则 板的电势是多少 解 如题 8 22 图示 令 板左侧面电荷面密度为 1 右侧面电荷面密度为 2 题 5 11 图 1 ABCU 即 Ed 221ACB 且 1 2S q 得 32A A3 而 7110 Cqq C0172 SqB 2 300 2dACACEU V 5 12 两个半径分别为 1R和 1 2 的同心薄金属球壳 现给内球壳带电 q 试 计算 1 外球壳上的电荷分布及电势大小 2 先把外球壳接地 然后断开接地线重新绝缘 此时外球壳的电荷分布及电势 3 再使内球壳接地 此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量 解 1 内球带电 q 球壳内表面带电则为 q 外表面带电为 q 且均匀分布 其电 势 题 5 12 图 2200 4dRRRqrrEU 2 外壳接地时 外表面电荷 入地 外表面不带电 内表面电荷仍为 q 所以球壳电 势由内球 q 与内表面 产生 42020 3 设此时内球壳带电量为 q 则外壳内表面带电量为 q 外壳外表面带电量为 qq 电荷守恒 此时内球壳电势为零 且 0 4 4 22010 RRUA 得 q1 外球壳上电势 201202020 4 4 RRqB 5 13 在半径为 1R的金属球之外包有一层外半径为 2R的均匀电介质球壳 介质相对介电 常数为 r 金属球带电 Q 试求 1 电介质内 外的场强 2 电介质层内 外的电势 3 金属球的电势 解 利用有介质时的高斯定理 qSD d 1 介质内 21Rr 场强 303 4 QEDr 内 介质外 2r场强 303 r 外 2 介质外 2Rr 电势QEU0r 4d 外 介质内 21 电势 2020 4 4Rrq 1Qr 3 金属球的电势 rd221 RREU外内 22 00 44 r 1 21Qrr 题 5 14 图 5 14 两个同轴的圆柱面 长度均为 l 半径分别为 1R和 2 1 且 l 2R 1 两柱面之间充有介电常数 的均匀电介质 当两圆柱面分别带等量异号电荷 Q和 时 求 1 在半径 r处 1R 2 厚度为 dr 长为 l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和 整个薄壳中的电场能量 2 电介质中的总电场能量 r rr外内 3 圆柱形电容器的电容 解 取半径为 r的同轴圆柱面 S 则 rlD 2d 当 21R 时 Qq rl 1 电场能量密度 2 2 8w 薄壳中 rl lrlW 4dd2 2 电介质中总电场能量 21 12ln 4RVRQrl 3 电容 C ln 21W 题 5 15 图 5 15 如题 5 15 图所示 1C 0 25 F 2 0 15 F 3C 0 20 F 1上电压为 50V 求 ABU 解 电容 1上电量1CQ 电容 2与 3并联 323 其上电荷 1 35 02123 CUQ86 5 021 UAB V 习题六 6 1 在同一磁感应线上 各点 B 的数值是否都相等 为何不把作用于运动电荷的磁力方向 定义为磁感应强度 的方向 解 在同一磁感应线上 各点 的数值一般不相等 因为磁场作用于运动电荷的磁力方向 不仅与磁感应强度 的方向有关 而且与电荷速度方向有关 即磁力方向并不是唯一由磁 场决定的 所以不把磁力方向定义为 的方向 6 2 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场 答 不能 因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性 但不是稳恒电流 安培环路 定理并不适用 6 3 已知磁感应强度 0 2 BWb m 2 的均匀磁场 方向沿 x轴正方向 如题 9 6 图所 示 试求 1 通过图中 abcd面的磁通量 2 通过图中 befc面的磁通量 3 通过图中aefd 面的磁通量 解 如题 9 6 图所示 题 6 3 图 1 通过 abcd面积 1S的磁通是 24 03 021 SB Wb 2 通过 ef面积 2的磁通量 22 3 通过 ad面积 3S的磁通量 4 05 30cos5 03 B b 或曰 24 0 b 题 6 4 图 6 4 如题 6 4 图所示 AB CD为长直导线 CB 为圆心在 O点的一段圆弧形导线 其 半径为 R 若通以电流 I 求 O点的磁感应强度 解 如题 9 7 图所示 点磁场由 三部分电流产生 其中AB 产生 01 CD 产生 I2 方向垂直向里 段产生 231 60sin9 i403 RIR 方向 向里 231 03210 IB 方向 向里 6 5 在真空中 有两根互相平行的无限长直导线 1L和 2 相距 0 1m 通有方向相反的电 流 1I 20A 2 10A 如题 9 8 图所示 A B两点与导线在同一平面内 这两点与导线2L 的距离均为 5 0cm 试求 两点处的磁感应强度 以及磁感应强度为零的点的位 置 题 6 5 图 解 如题 6 5 图所示 AB 方向垂直纸面向里 42010 10 5 2 II T 2 设 0 在 2L外侧距离 为 r处 则 2 1 0 rII 解得 r m 题 6 6 图 6 6 如题 6 6 图所示 两根导线沿半径方向引向铁环上的 A B两点 并在很远处与电源 相连 已知圆环的粗细均匀 求环中心 O的磁感应强度 解 如题 9 9 图所示 圆心 点磁场由直电流 和 及两段圆弧上电流 1I与 2所产 生 但 A和 B在 点产生的磁场为零 且 2121RI电 阻电 阻 产生 方向 纸面向外 01 2I 产生 B方向 纸面向里 202RIB 1 12 I 有 020 6 7 设题 6 7 图中两导线中的电流均为 8A 对图示的三条闭合曲线 a b c 分别写出安 培环路定理等式右边电流的代数和 并讨论 1 在各条闭合曲线上 各点的磁感应强度 B的大小是否相等 2 在闭合曲线 c上各点的 是否为零 为什么 解 al08d b cl 1 在各条闭合曲线上 各点 B 的大小不相等 2 在闭合曲线 C上各点 不为零 只是 的环路积分为零而非每点 0 B 题 6 7 图 6 8 一根很长的同轴电缆 由一导体圆柱 半径为 a 和一同轴的导体圆管 内 外半径分别 为 b c 构成 如题 6 8 图所示 使用时 电流 I从一导体流去 从另一导体流回 设电 流都是均匀地分布在导体的横截面上 求 1 导体圆柱内 r a 2 两导体之间 a r 3 导体圆筒内 b r c 以及 4 电缆外 c 各点处磁感应强度的大小 解 LIlB0d 1 a 20RIrB 20RIr 2 br Ir0rIB 0 3 cr bcrIB0202 2bcrI 4 cr r0 B 题 6 8 图 题 6 9 图 6 9 在磁感应强度为 B 的均匀磁场中 垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线 电 流为 I 如题 6 9 图所示 求其所受的安培力 解 在曲线上取 ld 则 baF l与 夹角 l 2 不变 B 是均匀的 baba IIBI d 方向 向上 大小 F 题 6 10 图 6 10 如题 6 10 图所示 在长直导线 AB内通以电流 1I 20A 在矩形线圈 CDEF中通有 电流 2I 10 A B与线圈共面 且 CD EF都与 平行 已知 a 9 0cm b 20 0cm d 1 0 cm 求 1 导线 AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力 2 矩形线圈所受合力和合力矩 解 1 CDF 方向垂直 向左 大小 4102 8 dIbFCD N 同理 FE方向垂直 向右 大小 51020 aIIFE CF 方向垂直 向上 大小为 adCF dIrI 5210210 12 9ln NED 方向垂直 向下 大小为 5 9 CFED 2 合力 CFECD 方向向左 大小为 4102 7 合力矩 BPMm 线圈与导线共面 BPm 0 6 11 一正方形线圈 由细导线做成 边长为 a 共有 N匝 可以绕通过其相对两边中点 的一个竖直轴自由转动 现在线圈中通有电流 I 并把线圈放在均匀的水平外磁场 B 中 线圈对其转轴的转动惯量为 J 求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期 T 解 设微振动时线圈振动角度为 BPm 则 sinsin2IaM 由转动定律 NIatJ22d 即 0 N 振动角频率 JBI 2 周期 INaT2 6 12 一长直导线通有电流 1I 20A 旁边放一导线 b 其中通有电流 2I 10A 且两者共 面 如 6 12 图所示 求导线 ab所受作用力对 O点的力矩 解 在 ab上取 rd 它受力F d 向上 大小为 I 210 对 O点力矩 FrM 方向垂直纸面向外 大小为 rIFrMd2d10 babaI610 3 mN 题 6 12 图 6 13 电子在 B 70 10 4T 的匀强磁场中作圆周运动 圆周半径 r 3 0cm 已知 B 垂直 于纸面向外 某时刻电子在 A点 速度 v 向上 如题 6 13 图 1 试画出这电子运动的轨道 2 求这电子速度 v 的大小 3 求这电子的动能 kE 题 6 13 图 解 1 轨迹如图 2 rvmeB2 710 3 v1s 3 62KE J 题 6 14 图 6 14 题 6 14 图中的三条线表示三种不同磁介质的 HB 关系曲线 虚线是 B H0 关系 的曲线 试指出哪一条是表示顺磁质 哪一条是表示抗磁质 哪一条是表示铁磁质 答 曲线 是顺磁质 曲线 是抗磁质 曲线 是铁磁质 6 15 螺绕环中心周长 L 10cm 环上线圈匝数 N 200 匝 线圈中通有电流 I 100 mA 1 当管内是真空时 求管中心的磁场强度 和磁感应强度 0 2 若环内充满相对磁导率 r 4200 的磁性物质 则管内的 B和 各是多少 3 磁性物质中心处由导线中传导电流产生的 0和由磁化电流产生的 各是多少 解 1 IlHl dNIHL 201mA 405 B T 2 1 05 1 Bor T 3 由传导电流产生的 0 即 1 中的 402 由磁化电流产生的 习题七 7 1 一半径 r 10cm 的圆形回路放在 B 0 8T 的均匀磁场中 回路平面与 B 垂直 当回路 半径以恒定速率 td 80cm s 1 收缩时 求回路中感应电动势的大小 解 回路磁通 2 rSm 感应电动势大小 40 d d2 tBt V 题 7 2 图 7 2 如题 7 2 图所示 载有电流 I的长直导线附近 放一导体半圆环 MeN与长直导线共面 且端点 MN的连线与长直导线垂直 半圆环的半径为 b 环心 O与导线相距 a 设半圆环 以速度 v平行导线平移 求半圆环内感应电动势的大小和方向及 两端的电压 U 解 作辅助线 则在 eNM回路中 沿 v 方向运动时 0d m 0 eNM 即 又 baMN baIvlvBln2dcos0 所以 MeN 沿 方向 大小为 baIln20 点电势高于 点电势 即 baIvUNM ln20 题 7 3 图 7 3 如题 7 3 所示 在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈 两导线中的电 流方向相反 大小相等 且电流以 tId的变化率增大 求 1 任一时刻线圈内所通过的磁通量 2 线圈中的感应电动势 解 以向外磁通为正则 1 ln l 2 2000 dabIrlIrlIabadm 2 tat n 7 4 如题 7 4 图所示 长直导线通以电流 I 5A 在其右方放一长方形线圈 两者共面 线 圈长 b