对数和对数函数练习题(答案)

1 对数与对数函数同步测试 一 选择题 1 3log928的值是 A 32 B 1 C 23 D 2 2 若 log2 log l log l l 515321 zyx 0 则 x y z 的大小关系是 A z x y B x y z C y z x D z y x 3 已知 x 1 则 log4 x3 x 6 等于 A 2 B 4C 0 D 2 4 已知 lg2 a lg3 b 则 15l等于 A ba 1 B ba 1C ba 12D ba 12 5 已知 2 lg x 2 y lgx lg y 则 的值为 A 1 B 4 C 1 或 4 D 4 或 6 函数 y 1 log2 的定义域为 A 2 B 1 C 21 1 D 1 7 已知函数 y log ax2 2 x 1 的值域为 R 则实数 a的取值范围是 A a 1 B 0 a 1 C 0 a 1 D 0 a 1 8 已知 f ex x 则 f 5 等于 A e 5 B 5 e C ln5 D log 5e 9 若 log 0 2 affx 且 的图像是 A B C D 10 若 2log yxa 在区间 13 上是增函数 则 a的取值范围是 A 23 B 3 C 2 D 23 11 设集合 BAxx 则 0log 01 2 等于 A B C 1 D 1 x或 12 函数 1ln xy的反函数为 O x y O x y O x y O x y 2 A 0 1 xey B 0 1 xeyC 0 1 xeyD x 二 填空题 13 计算 log 2 56 25 lg 10 ln e 3log12 14 函数 y log4 x 1 2 x 1 的反函数为 15 已知 m 1 试比较 lgm 0 9与 lgm 0 8的大小 16 函数 y log 4x 2 log 4x2 5 在 2 x 4 时的值域为 三 解答题 17 已知 y loga 2 ax 在区间 0 1 上是 x的减函数 求 a的取值范围 18 已知函数 f x lg a2 1 x2 a 1 x 1 若 f x 的定义域为 R 求实数 a的取值范围 19 已知 f x x2 lg a 2 x lg b f 1 2 当 x R 时 f x 2 x恒成立 求实数 a的值 并求此时 f x 的最小值 20 设 0 x 1 a 0 且 a 1 试比较 log a 1 x 与 log a 1 x 的大小 21 已知函数 f x loga a ax 且 a 1 1 求函数的定义域和值域 2 讨论 f x 在其定义域上的单调性 3 证明函数图象关于 y x对称 3 22 在对数函数 y log2x 的图象上 如图 有 A B C 三点 它们的横坐标依次为 a a 1 a 2 其中 a 1 求 ABC 面积的最大值 参考答案 一 选择题 ADBCB CDCBA AB 二 填空题 13 213 14 y 1 2 x x R 15 lg m 0 9 lg m 0 8 16 8425 y 三 解答题 17 解析 先求函数定义域 由 2 ax 0 得 ax 2 又 a是对数的底数 a 0 且 a 1 x 2 由递减区间 0 1 应在定义域内可得 a 1 a 2 又 2 ax在 x 0 1 是减函数 y loga 2 ax 在区间 0 1 也是减函数 由复合函数单调性可知 a 1 1 a 2 18 解 依题意 a2 1 x2 a 1 x 1 0 对一切 x R 恒成立 当 a2 1 0 时 其充要条件是 4 102 解得 a 1 或 a 35 又 a 1 f x 0满足题意 a 1 不合题意 所以 a的取值范围是 1 19 解析 由 f 1 2 得 f 1 1 lg a 2 lg b 2 解之 lga lg b 1 10 a 10b 又由 x R f x 2 x恒成立 知 x2 lg a 2 x lg b 2 x 即 x2 xlga lg b 0 对 x R 恒成立 由 lg2a 4lg b 0 整理得 1 lg b 2 4lg b 0 即 lg b 1 2 0 只有 lgb 1 不等式成立 即 b 10 a 100 f x x2 4 x 1 2 x 2 3 当 x 2 时 f x min 3 20 解法一 作差法 loga 1 x log a 1 x alg1 alg 1 l lg 1 x lg 1 x 0 x 1 0 1 x 1 1 x 上式 lga lg 1 x lg 1 x l lg 1 x2 由 0 x 1 得 lg 1 x2 0 lg1a lg 1 x2 0 log a 1 x log a 1 x 解法二 作商法 1 log a log 1 x 1 x 0 x 1 0 1 x 1 x log 1 x 1 x log 1 x 1 x log 1 x 1 由 0 x 1 1 x 1 0 1 x2 1 4 0 1 x 1 x 1 x 1 x 0 0 log 1 x log 1 x 1 x 1 log a 1 x log a 1 x 解法三 平方后比较大小 log a2 1 x log a2 1 x loga 1 x log a 1 x loga 1 x log a 1 x loga 1 x2 loga 1 lg 2 lg 1 x2 lg 1 0 x 1 0 1 x2 1 0 1 lg 1 x2 0 lg x 0 log a2 1 x log a2 1 x 即 log a 1 x log a 1 x 解法四 分类讨论去掉绝对值 当 a 1 时 log a 1 x log a 1 x log a 1 x log a 1 x log a 1 x2 0 1 x 1 1 x 0 1 x2 1 log a 1 x2 0 log a 1 x2 0 当 0 a 1 时 由 0 x 1 则有 loga 1 x 0 log a 1 x 0 log a 1 x log a 1 x loga 1 x log a 1 x loga 1 x2 0 当 a 0 且 a 1 时 总有 log a 1 x log a 1 x 21 解析 1 定义域为 1 值域为 1 2 设 1 x 2 x 1 a 1 12x 于是 a 2 a 1 则 loga a a log a a 1 即 f x2 f x 1 f x 在定义域 1 上是减函数 3 证明 令 y loga a a x x 1 则 a a x ay x log a a a y f 1 x loga a a x x 1 故 f x 的反函数是其自身 得函数 f x loga a a x x 1 图象关于 y x 对称 22 解析 根据已知条件 A B C 三点坐标分别为 a log 2a a 1 log 2 a 1 a 2 log 2 a 2 则 ABC 的面积 S log l2 log l2 1 log l 222 2 l1 a 1l a1log22 2log2 因为 a 所以 34log1 l2max S