二次函数动点问题(提高篇)

1 数学压轴题 二次函数动点问题 1 如图 抛物线 y ax 2 bx c a 0 与 x轴交于 A 3 0 B两点 与 y轴相交于点 C 0 当 x 4和 x 2时 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的函数值 y相等 连3 结 AC BC 1 求实数 a b c的值 2 若点 M N同时从 B点出发 均以每秒 1个单位长度的速度分别沿 BA BC边运动 其 中一个点到达终点时 另一点也随之停止运动 当运动时间为 t秒时 连结 MN 将 BMN 沿 MN翻折 B点恰好落在 AC边上的 P处 求 t的值及点 P的坐标 3 在 2 的条件下 抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使得以 B N Q为顶点的三角 形与 ABC相似 若存在 请求出点 Q的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 由题意得 cbacba2416309 解得 a b c 332 2 由 1 知 y x 2 x 令 y 0 得 x 2 x 0 333 解得 x1 3 x2 1 A 3 0 B 1 0 又 C 0 OA 3 OB 1 OC 3 AB 4 BC 2 tan ACO ACO 60 CAO 30 OA 同理 可求得 CBO 60 BCO 30 ACB 90 ABC是直角三角形 又 BM BN t BMN是等边三角形 BNM 60 PNM 60 PNC 60 2 Rt PNC Rt ABC NCPBA 由题意知 PN BN t NC BC BN 2 t t 24 t OM BM OB 1 3434 如图 1 过点 P作 PH x轴于 H 则 PH PM sin60 3423 MH PM cos60 OH OM MH 1 3421 点 P的坐标为 1 3 存在 由 2 知 ABC是直角三角形 若 BNQ与 ABC相似 则 BNQ也是直角三角形 二次函数 y x 2 x 的图象的对称轴为 x 1 点 P在对称轴上 33 PN x轴 PN 对称轴 又 QN PN PN BN QN BN BNQ不存在以点 Q为直角顶点的情形 如图 2 过点 N作 QN 对称轴于 Q 连结 BQ 则 BNQ是以点 N为直角顶点的直角三角 形 且 QN PN MNQ 30 PNQ 30 QN o30csP2 4938 3 tan60 BNQ349 82BCA3BNQCA 当 BNQ以点 N为直角顶点时 BNQ与 ABC不相似 如图 3 延长 NM交对称轴于点 Q 连结 BQ 则 BMQ 120 AMP 60 AMQ BMN 60 PMQ 120 BMQ PMQ 又 PM BM QM QM BMQ PMQ BQM PQM 30 BNM 60 QBN 90 CAO 30 ACB 90 BNQ ABC 当 BNQ以点 B为直角顶点时 BNQ ABC 设对称轴与 x轴的交点为 D DMQ DMP 60 DM DM Rt DMQ Rt DMP DQ PD 点 Q与点 P关于 x轴对称 点 Q的坐标为 1 32 综合 得 在抛物线的对称轴上存在点 Q 1 使得以 B N Q为顶点的三角32 形与 ABC相似 2 如图 已知抛物线 y ax 2 bx 3 a 0 与 x轴交于点 A 1 0 和点 B 3 0 与 y轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M 问在对称轴上是否存在点 P 使 CMP为等腰三 角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点 P的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 若点 E为第二象限抛物线上一动点 连接 BE CE 求四边形 BOCE面积的最 大值 并求此时 E点的坐标 4 解 1 由题意得 解得 039 ba 21 ba 所求抛物线的解析式为 y x 2 2 x 3 2 存在符合条件的点 P 其坐标为 P 1 或 P 1 00 或 P 1 6 或 P 1 35 3 解法一 过点 E作 EF x轴于点 F 设 E m m 2 2 m 3 3 a 0 则 EF m 2 2 m 3 BF m 3 OF m S 四边形 BOCE S BEF S 梯形 FOCE BF EF EF OC OF2121 m 3 m 2 2 m 3 m 2 2 m 6 m 21 m 2 m m 2 393863 当 m 时 S 四边形 BOCE 最大 且最大值为 此时 y 2 2 3 此时 E点的坐标为 341523415 解法二 过点 E作 EF x轴于点 F 设 E x y 3 x 0 5 则 S 四边形 BOCE S BEF S 梯形 FOCE BF EF EF OC OF2121 3 x y 3 y x y x x 2 3 x 3 213 x 2 3863 当 x 时 S 四边形 BOCE 最大 且最大值为 2863 此时 y 2 2 3 此时 E点的坐标为 341523415 3 如图 已知抛物线 y ax 2 bx c与 x轴交于 A B两点 与 y轴交于点 C 其中点 A 在 x轴的负半轴上 点 C在 y轴的负半轴上 线段 OA OC的长 OA OC 是方程 x 2 5 x 4 0 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 x 1 1 求 A B C三点的坐标 2 求此抛物线的解析式 3 若点 D是线段 AB上的一个动点 与点 A B不重合 过点 D作 DE BC交 AC于点 E 连结 CD 设 BD的长为 m CDE的面积为 S 求 S与 m的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 S是否存在最大值 若存在 求出最大值并求此时 D点坐标 若不存在 请 说明理由 解 1 OA OC的长是方程 x 2 5 x 4 0 的两个根 OA OC OA 1 OC 4 点 A在 x轴的负半轴 点 C在 y轴的负半轴 A 1 0 C 0 4 抛物线 y ax 2 bx c的对称轴为 x 1 由对称性可得 B点坐标为 3 0 A B C三点的坐标分别是 A 1 0 B 3 0 C 0 4 2 点 C 0 4 在抛物线 y ax 2 bx c图象上 c 4 4分 6 将 A 1 0 B 3 0 代入 y ax 2 bx 4 得 解得 0439 ba 384 ba 此抛物线的解析式为 y x 2 x 4 3 BD m AD 4 m 在 Rt BOC中 BC 2 OB 2 OC 2 3 2 4 2 25 BC 5 DE BC ADE ABC 即 DE BCDEAE4m 4520m 过点 E作 EF AB于点 F 则 sin EDF sin CBA BCO5 EF DE 4 m DF545420 S S CDE S ADC S ADE 4 m 4 4 m 4 m m 2 2 m21211 m 2 2 2 0 m 4 1 0 当 m 2 时 S有最大值 2 2 此时 OD OB BD 3 2 1 此时 D点坐标为 1 0 4 如图 抛物线 y a x 3 x 1 与 x轴相交于 A B两点 点 A在点 B右侧 过点 A 的直线交抛物线于另一点 C 点 C的坐标为 2 6 1 求 a的值及直线 AC的函数关系式 2 P是线段 AC上一动点 过点 P作 y轴的平行线 交抛物线于点 M 交 x轴于点 N 求线段 PM长度的最大值 7 在抛物线上是否存在这样的点 M 使得 CMP与 APN相似 如果存在 请直接写 出所有满足条件的点 M的坐标 不必写解答过程 如果不存在 请说明理由 解 1 由题意得 6 a 2 3 2 1 a 2 抛物线的解析式为 y 2 x 3 x 1 即 y 2 x 2 4 x 6 令 2 x 3 x 1 0 得 x1 3 x2 1 点 A在点 B右侧 A 1 0 B 3 0 设直线 AC的函数关系式为 y kx b 把 A 1 0 C 2 6 代入 得 解得 620 bk 2 k 直线 AC的函数关系式为 y 2 x 2 2 设 P点的横坐标为 m 2 m 1 则 P m 2 m 2 M m 2 m 2 4 m 6 PM 2 m 2 4 m 6 2 m 2 2 m 2 2 m 4 2 m 2 19 当 m 时 线段 PM长度的最大值为 19 存在 M1 0 6 M2 4185 如图 1 当 M为直角顶点时 连结 CM 则 CM PM CMP ANP 点 C 2 6 点 M的纵坐标为 6 代入 y 2 x 2 4 x 6 得 2 x 2 4 x 6 6 x 2 舍去 或 x 0 M1 0 6 此时点 M在 y轴上 即抛物线与 y轴的交点 此时直线 MN与 y轴重合 点 N与原点 O重 合 如图 2 当 C为直角顶点时 设 M m 2 m 2 4 m 6 2 m 1 8 过 C作 CH MN于 H 连结 CM 设直线 AC与 y轴相交于点 D 则 CMP NAP 又 HMC CMP NAP OAD HMC OAD OCHAM C 2 6 CH m 2 MH 2 m 2 4 m 6 6 2 m 2 4 m 在 y 2 x 2 中 令 x 0 得 y 2 D 0 2 OD 2 14 整理得 4m 2 9 m 2 0 解得 m 2 舍去 或 m 1 当 m 时 2 m 2 4 m 6 2 4 6 M2 1414854185