高等数学教案

高等数学教案第 1 次课学科高等数学（一）课题函 数周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数初等函数教学目的和要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、 函数的概念2、 函数的特性3、 复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程1 函数一、 集合与区间1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A=a1, a2, , an, M=x | x具有性质P . 例如M=(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z= , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 若xA, 则必有xB, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B)或BA . 如果集合A与集合B互为子集, AB且BA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 若AB且AB, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AB, 即 AB=x|xA或xB. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称IA为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律AB=BA, AB=BA; (2)结合律 (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (3)分配律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)C=AC BC, (AB)C=AC BC. (AB)C=AC BC的证明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为AB, 即 AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb. 类似地有 a, b = x | a xb 称为闭区间, a, b) = x | axb 、(a, b = x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, b-a称为区间的长度. 无限区间: a, +) = x | ax , (-, b = x | x b , (-, +)=x | | x | +. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点a的d邻域, 记作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d x a+d =x | | x-a|d. 其中点a称为邻域的中心, d 称为邻域的半径. 去心邻域(a, d): (a, d)=x |0| x-a |1时, y=1+x. 例如; ; f(3)=1+3=4. 三、 函数的几种特性(1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方. 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x) K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有| f(x) |M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间. 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2)函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一M1, 总有x1: , 使 , 所以函数无上界. 函数在(1, 2)内是有界的. (2)函数的单调性 设函数y = f(x)的定义域为D, 区间I D. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1x2时, 恒有 f(x1) f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调增加的. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y = x2在区间(-, 0上是单调增加的, 在区间0, +)上是单调减少的, 在（-, +）上不是单调的. (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD, 则-xD). 如果对于任一xD, 有f(-x) = f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果对于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 则称f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y=x2, y=cos x 都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数. (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l) = f(x)则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 四、 反函数定义: 设函数f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射f -1: f(D)D, 称此映射f -1为函数f的反函数. 按此定义, 对每个yf(D), 有唯一的xD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 这就是说, 反函数f -1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 一般地, y=f(x), xD的反函数记成y=f -1(x), xf(D). 若f是定义在D上的单调函数, 则f : Df(D)是单射, 于是f的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数. 相对于反函数y=f -1(x)来说, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数y=f -1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(x)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称的. 五、 复合函数初等函数1. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数y=f(u)的定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D) D 1, 则由下式确定的函数 y=fg(x), xD称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即 ()=fg(x). 与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)D f. 否则, 不能构成复合函数. 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定义域为-1, 1, 在上有定义, 且g(D)-1, 1, 则g与f可构成复合函数 , xD; 但函数y=arcsin u和函数u=2+x2不能构成复合函数, 这是因为对任xR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定义域-1, 1内. 多个函数的复合: 2. 基本初等函数: 幂函数: y=x m (mR是常数); 指数函数: y=a x(a0且a1); 对数函数: y=loga x (a0且a1, 特别当a=e时, 记为y=ln x); 三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第18页第15题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）注：从第二页开始以课时或单元为单位编制，每节课或每个单元都要有教案。第 2次课学科高等数学（一）课题函数的极限周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：1、 自变量趋于有限值时函数的极限2、 自变量趋于无穷大时的函数的极限教学目的和要求：1、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限。教学重点：1、 极限的概念、极限的性质及四则运算法则。教学难点：1、 极限的概念教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程3 函数的极限一、函数的极限1自变量趋于有限值时函数的极限定义:如果当x无限接近于xo , 函数f(x)的值无限接近于常数A, 则称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限. 记作 f(x)=A或f(x)A(当x).定义的简单表述: e0, $d0, 当0|x-x0|d时, |f(x)-A|X时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|0, $X0, 当|x|X时, 有|f(x)-A|0 , $ d 0, 使当0|x-x0|d 时, 有|f(x)-A|0 , $ d 0, 使当0|x-x0|d , 有|a|e 或|f(x)-A|0 , $ d 0, 使当0|x-x0|d , 有f(x)-A|e , 就有|a|0 , $ d 0, 使当0|x-x0|d , 有|a|e , 就有f(x)-A|0, 当0|x-|d 时, 有, 由于当0|x-|0,当0|x-|0, $d 0, 当0|x- x0|d 时, 有|f(x)|0, $d 0,当0|x- x0|M, 即, 所以f(x)0(xx0).课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第43页第2题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第 4次课学科高等数学（一）课题函数运算法则周次7时数2授课班级1202114主要教学内容：极限运算法则教学目的和要求：掌握极限运算法则。教学重点：极限运算法则教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程5 极限运算法则一、极限运算法则定理1 如果lim f (x)=A, lim g (x)=B, 那么 (1) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g (x) =A B ; (2) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g (x) =AB ; (3)(B0). 证明(1): 因为lim f (x)=A, lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A+a, g (x)=B+b, 其中a及b 为无穷小. 于是f (x) g (x)=(A + a) (B + b) = (A B) + (a b), 即f (x) g (x)可表示为常数(A B)与无穷小(a b)之和. 因此lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x) = A B . 定理2 如果j(x)f(x), 而lim j(x)=a , lim y(x)=b , 那么ab .推论1 如果lim f (x)存在, 而c为常数, 则lim c f (x)=c lim f (x). 推论2 如果lim f (x)存在, 而n是正整数, 则lim f (x)n =lim f (x)n.例3. 求. 解: . 例4. 求. 解: , 根据无穷大与无穷小的关系得=. 例5求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: 例6求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例7. 求. 解: 因为, 所以 .例8. 求. 解: 当x时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用. 因为, 是无穷小与有界函数的乘积, 所以 . 课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第50页第2题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第 5 次课学科高等数学（一）课题极限存在准则两个重要极限周次8时数2授课班级1202114主要教学内容：夹逼准则单调有界收敛准则教学目的和要求：了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。教学重点：两个重要极限教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程6 极限存在准则两个重要极限极限存在准则两个重要极限1. 夹逼准则准则I 如果数列xn 、yn及zn满足下列条件: (1)ynxnzn(n=1, 2, 3, ), (2), , 那么数列xn 的极限存在, 且. 证明:因为, , 以根据数列极限的定义, e 0, $N 10, 当nN 1时, 有|y n-a|0, 当nN 2时, 有|z n-a|N 时, 有|y n-a|e , |z n-a|e 同时成立, 即a-eyna+e , a-ez nN 时, 有a-eynx nz na+e , 即 |x n-a|0, $N 0, 当nN 时，有 |y n-a|e 及|z n-a|e , 即有 a-eyna+e , a-ez na+e , 由条件(1), 有 a-ey nx nz na+e , 即 |x n-a|e . 这就证明了. 准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:OCADB1x (1) g(x)f(x)h(x); (2) lim g(x)=A, lim h(x)=A; 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A. 第一重要极限： 证明 首先注意到, 函数对于一切x0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BCOA, DAOA. 圆心角AOB=x (0x). 显然 sin x=CB, x=, tan x=AD. 因为 SDAOBS扇形AOBSDAOD , 所以sin xxtan x, 即 sin xxtan x. 不等号各边都除以sin x, 就有, 或 . 注意此不等式当-x0时也成立. 而, 根据准则I, . 简要证明: 参看附图, 设圆心角AOB=x (). 显然 BC AB AD, 因此 sin x x tan x, 从而 (此不等式当x0时也成立). OCADB1x 因为, 根据准则I, . 应注意的问题: 在极限中, 只要a(x)是无穷小, 就有.这是因为, 令u=a(x), 则u 0, 于是., (a(x)0).2. 单调有界收敛准则准则II 单调有界数列必有极限. 如果数列x n满足条件x 1x 2x 3 x nx n+1 ,就称数列x n是单调增加的; 如果数列x n满足条件x 1x 2x 3 x nx n+1 ,就称数列x n是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列x n满足条件x nx n+1, nN+, 在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛. 准则II的几何解释: 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A, 而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II, 可以证明极限存在. 设, 现证明数列xn是单调有界的. 按牛顿二项公式, 有 , . 比较x n , x n+1的展开式, 可以看出除前两项外, x n的每一项都小于x n+1的对应项, 并且x n+1还多了最后一项, 其值大于0, 因此 x n x n+1 , 这就是说数列xn是单调有界的. 这个数列同时还是有界的. 因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得 第二重要极限：根据准则II, 数列xn必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即. 我们还可以证明. e是个无理数, 它的值是e=2. 718281828459045 . 指数函数y=e x 以及对数函数y=ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限中, 只要a(x)是无穷小, 就有. 这是因为, 令, 则u , 于是. , (a(x)0). 例3. 求. 解: 令t=-x, 则x 时, t . 于是 . 或 .课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第60页第1题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第 6 次课学科高等数学（一）课题无穷小的比较周次8时数2授课班级1202114主要教学内容：无穷小的比较教学目的和要求：掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学难点：用等价无穷小求极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程7 无穷小的比较无穷小的比较1定义：（1）如果，就说是比高阶的无穷小，记作；（2）如果，就说是比低阶的无穷小，（3）如果，就说是比同阶的无穷小，（4）如果，就说是关于的阶的无穷小，（5）如果，就说与是等价的无穷小，记作例1.证明：当时，定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为例2. 因为当时，所以当时有，定理2 设，且存在，则例3 求 例4 求 例5 求.课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。）第72页第2题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）第 7 次课学科高等数学（一）课题函数的连续性周次9时数2授课班级1202114主要教学内容：函数连续性的概念函数的间断点初等函数的连续性教学目的和要求：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。了解连续函数的性质和初等函数的连续性。教学重点：连续函数的性质和初等函数的连续性教学难点：连续函数的性质和初等函数的连续性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程8 函数的连续性函数的连续性1. 变量的增量: 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2-u1就叫做变量u的增量, 记作Du , 即Du =u2-u1. 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+Dx时, 函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx), 因此函数y的对应增量为Dy= f(x0+Dx)- f(x0). 2. 函数连续的定义 设函数y=f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量Dx =x-x0 趋于零时, 对应的函数的增量Dy= f(x0+Dx)- f(x0 )也趋于零, 即, 或,那么就称函数y=f(x)在点x0 处连续. 注: 设x=x0+Dx, 则当Dx0时, xx0, 因此 . 函数连续的等价定义2:设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数e , 总存在着正数d , 使得对于适合不等式|x-x0|d 的一切x, 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-f(x0)|0, $d0, 当0|x-x0|d 时, 有|fg(x)-f(u0)|0, $h0, 当|u-u0|h 时, 有|f(u)-f(u0)|0, $d0, 当0|x-x0|d 时, 有|g(x)-u0|h. 从而 |fg(x)-f(u0)|e . (2)定理的结论也可写成. 求复合函数fg(x)的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序. 表明,在定理3的条件下, 如果作代换u=g(x),那么求就转化为求, 这里. 把定理5 中的xx0换成x, 可得类似的定理. 例3. 求. 解: . 提示: 是由与复合而成的. , 函数在点连续. =g(x0) 定理4 设函数y=fg(x)由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, U(x0)Df og. 若函数u=g(x)在点x0连续, 函数y=f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y=fj(x)在点x0也连续. 证明: 因为j(x)在点x0连续, 所以j(x)=j(x0)=u0.又y=f(u)在点u=u0连续, 所以 fj(x)=f(u0)=fj(x0).这就证明了复合函数fj(x)在点x0连续. 例4. 讨论函数的连续性. 解: 函数是由y=sin u及复合而成的. sin u当-u+时是连续的, 当-x0和0x0, a 1)对于一切实数x都有定义,且在区间(-, +)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +). 由定理4, 对数函数log ax (a0, a 1)作为指数函数ax的反函数在区间(0, +)内单调且连续. 幂函数y=xm 的定义域随m的值而异, 但无论m为何值, 在区间(0, +)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +)内幂函数是连续的. 事实上, 设x0, 则y=xm=, 因此, 幂函数xm可看作是由y=au, u=mlogax 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +)内是连续的.如果对于m取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的. 结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. 最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间. 初等函数的连续性在求函数极限中的应用: 如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点,则f(x)=f(x0). 例5. 求. 解: 初等函数f(x)=在点是有定义的, 所以 . 例6. 求. 解: 初等函数f(x)=ln sin x在点是有定义的, 所以 . 例7. 求. 解: