定积分讲义-

第六章 定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分 6.1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题例1 计算曲边梯形的面积设为闭区间上的连续函数，且由曲线，直线及轴所围成的平面图形(图61)称为在上的曲边梯形，试求这曲边梯形的面积 图61我们先来分析计算会遇到的困难由于曲边梯形的高是随而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积但我们可以用平行于轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图61所示在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法下面我们分三步进行具体讨论：(1) 分割 在 中任意插入个分点把分成个子区间，每个子区间的长度为(2) 近似求和 在每个子区间上任取一点，作和式 (1.1)(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A)因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有 例2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度是时间的连续函数试求该物体从时刻到时刻一段时间内所经过的路程因为是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题(1) 用分点把时间区间任意分成个子区间(图62)： ，每个子区间的长度为 () 图62 (2) 在每个子区间 ()上任取一点，作和式 (3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有 以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念定义6.1.1 设函数在上有定义，在内任取个分点把分成个子区间，每个子区间的长度为在每个子区间上任取一点(称为介点)，作和式，并记如果不论对怎样划分成子区间，也不论在子区间上怎样取介点，只要当时，和式(1.1)总趋于确定的值，则称这极限值为函数在区间上的定积分，记作，即 (1.2)其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分的下限和上限关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或的大小来确定因为尽管很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度，这时必然有(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当时却都以唯一确定的值为极限只有这时，我们才说定积分存在(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数在上有界因为如果不然，当把任意划分成个子区间后，至少在其中某一个子区间上无界于是适当选取介点，能使的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值(4) 由定义可知，当在区间上的定积分存在时，它的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有(5) 我们仅对的情形定义了积分，为了今后使用方便，对与的情况作如下补充规定：当时，规定；当时，规定根据定积分的定义，我们说：例1中在上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标从到的定积分 它就是定积分的几何意义注意到若，则由及可知这时曲边梯形位于轴的下方，我们就认为它的面积是负的因此当在区间上的值有正有负时，定积分的值就是各个曲边梯形面积的代数和，如图63所示图63例2中物体从时刻到时刻所经过的路程就是速度在时间区间上的定积分对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义当在区间上的定积分存在时，就称在上可积，说明(3)表明：在上可积的必要条件是在上有界下面是函数可积的两个充分条件，证明从略定理6.1.1(1) 若在上连续，则在上可积(2) 若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积2. 定积分的基本性质定理6.1.2 (积分的线性性质)(1) 若在上可积，为常数，则在上可积，且 (1.3) (2) 若，在上可积，则在上也可积，且 (1.4)证 根据定义，有所以(1.3)式成立类似可证(1.4)式成立定理6.1.2的更一般的结论是其中在上可积，为常数定理6.1.3 (积分对区间的可加性) 设是可积函数，则 (1.5)对任何顺序都成立证 先考虑的情形由于在上可积，所以不论将区间如何划分，介点如何选取，和式的极限总是存在的因此，我们把始终作为一个分点，并将和式分成两部分：，其中分别为区间与上的和式令最长的小区间的长度，上式两边取极限，即得(1.5)式对于其它顺序，例如，有，所以 (1.5)式仍成立定理6.1.4 (积分的不等式性质) 若，在上可积，且，则 (1.6)证 由假设知，且，所以上式右边的极限值为非负，从而有(1.6)式成立从定理6.1.4立刻推出推论6.1.1 若在上可积，且，则 推论6.1.2 (积分估值) 若在上可积，且存在常数和，使对一切有，则 推论6.1.3 若在上可积，则在上也可积，且这里在上的可积性可由的可积性推出，其证明省略推论6.1.4 (严格不等式) 设是上的连续函数，若在上且，则 证 由假设知，存在使，根据的连续性，必存在的邻域，使在其中，从而有 ，所以结论成立定理6.1.5 (积分中值定理) 若在上连续，则在上至少存在一点，使得 (1.7) 证 因为在上连续，所以在上可积，且有最小值和最大值于是在上，或根据连续函数的介值定理可知，在上至少存在一点，使所以(1.7)式成立积分中值定理的几何意义如图64所示图64若在上连续且非负，则在上的曲边梯形面积等于与该曲边梯形同底，以为高的矩形面积通常把，即称为函数在上的积分均值，而这正是算术平均值概念的推广定理6.1.6 (推广的积分中值定理) 若，在上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点，使得 (1.8)证 不妨设在上有，则，且在上 ，其中分别为在上的最小值与最大值由此推出若，则由上式知从而在上任取一点作为，(1.8)式都成立若，则得按连续函数的介值定理推出，在上至少存在一点，使所以(1.8)式也成立 6.2 微积分学的基本定理与基本公式若已知在上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式1. 微积分学基本定理设函数在区间上可积，则对中的每个，在上的定积分都存在，也就是说有唯一确定的积分值与对应，从而在上定义了一个新的函数，它是上限的函数，记作，即， 这个积分通常称为变上限积分定理6.2.1 设在上可积，则是上的连续函数证 任取及，使根据积分对区间的可加性， 由于在上连续，从而有界，即存在，使对一切有，于是故当时有所以在连续，由的任意性即知是上的连续函数定理6.2.2 (原函数存在定理) 设在上连续，则在上可导，且 ， ，也就是说是在上的一个原函数 证 任取及，使应用积分对区间的可加性及积分中值定理，有，或 ， (2.1)由于在上连续， 故在(2.1)中令取极限，得所以在上可导，且由的任意性推知就是在上的一个原函数本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数的一个原函数回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数这里若把写成 ，或从 推得 ，就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体因此定理6.2.2也被称为微积分学基本定理推论6.2.1 设为连续函数，且存在复合与，其中，皆为可导函数，则 (2.2)证 令，为的连续区间内取定的点根据积分对区间的可加性，有 由于连续，所以为可导函数，而和皆可导，故按复合函数导数的链式法则，就有 所以(2.2)式成立例1. 证明：若在内连续，且满足，则证 由假设知在内可导，且令， ，则所以，由于，可得从而有 ，例2. 求解 应用洛比达法则，原式2. 牛顿莱布尼兹公式定理6.2.3 设在上连续，若是在上的一个原函数，则 (2.3) 证 根据微积分学基本定理，是在上的一个原函数因为两个原函数之差是一个常数，所以， 上式中令，得，于是 再令，即得(2.3)式在使用上，公式(2.3)也常写作 ，或 公式(2.3)就是著名的牛顿莱布尼兹公式，简称NL公式它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：在上的定积分等于它的任一原函数在上的增量，从而为我们计算定积分开辟了一条新的途径它把定积分的计算转化为求它的被积函数的任意一个原函数，或者说转化为求的不定积分在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的因此NL公式也被称为微积分学基本公式例3 计算下列定积分(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解 (1) 原式(2) 原式(3) 原式(4) 原式例4 设，求解 6.3 定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求在定积分的计算中，除了应用NL公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便1. 定积分的换元积分法定理6.3.1 设函数在上连续，函数在(或)上有连续的导数，并且，则 (3.1)证 由于与皆为连续函数，所以它们存在原函数，设是在上的一个原函数，由复合函数导数的链式法则有，可见是的一个原函数利用NL公式，即得所以(3.1)式成立 公式(3.1)称为定积分的换元公式若从左到右使用公式(代入换元)，换元时应注意同时换积分限还要求换元应在单调区间上进行当找到新变量的原函数后不必代回原变量而直接用NL公式，这正是定积分换元法的简便之处若从右到左使用公式(凑微分换元)，则如同不定积分第一换元法，可以不必换元，当然也就不必换积分限例1 计算下列定积分(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解 (1) 令，则，且当从0变到时，从1减到于是原式 (2) 令，则，且当从0变到时，从0增到于是原式 (3) 原式(4) 原式例 2 设在上连续，证明： 特别当为奇函数时， ；当为偶函数时， 证： 因为，在中，令，得所以当为奇函数时，故，从而有 当为偶函数时，故，从而有例3 设为上的连续函数，证明： (1) ；(2) (3) 证： (1) 令，则，且当从0 变到时，从减到0于是 (2) ，在中，令，得 所以 (3) 令，则所以 (利用(2)的结果)例2和例3的结果今后经常作为公式使用例如我们可以直接写出 ， 2. 定积分的分部积分法定理6.3.2 若，在上有连续的导数，则 (3.2)证 因为 ， 所以是在上的一个原函数，应用NL公式，得 ，利用积分的线性性质并移项即得(3.2)式公式(3.2)称为定积分的分部积分公式，且简单地写作 (3.3)例4 计算下列定积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解 (1) 原式 (2) 原式(3) 所以 (4) 令，则 例5 (1) 证明 (N)；(2) 求的值解 由例3(1)即知(1)成立(2) 当时 所以于是当为奇数时有；当为偶数时有 容易得出，所以 (3.4)公式(3.4)称为沃利斯(Wallis)积分公式，它在定积分的计算中经常被应用例 6 求的值解 6.4 广义积分我们在前面讨论定积分时，总假定积分区间是有限的，被积函数是有界的但在理论上或实际问题中往往需要讨论积分区间无限或被积函数为无界函数的情形因此我们有必要把积分概念就这两种情形加以推广，这种推广后的积分称为广义积分1. 无穷限的广义积分定义6.4.1 设函数在上有定义，且对任何实数，在上可积，则称形式 (4.1)为函数在上的广义积分若极限 (4.2)存在，则称广义积分(4.1)收敛，并以这极限值为(4.1)的值，即若极限(4.2)不存在，则称广义积分(4.1)发散由定义可知，我们讨论广义积分(4.1)的敛散性，其含义就是考察变上限积分 当时的极限是否存在例1 讨论广义积分的敛散性解 任取，有，因为，所以这广义积分收敛，且若在上非负，且广义积分(4.1)收敛，则积分(4.1)的值从几何上解释为由曲线与 及轴所围向右无限延伸区域的面积(图65中阴影部分)图65类似地利用极限 定义广义积分的敛散性广义积分定义为 (4.3)其中为任一有限实数它当且仅当右边的两个广义积分皆收敛时才收敛，否则是发散的根据积分对区间的可加性，易知(4.3)左边的广义积分的敛散性及收敛时积分的值都与实数的选取无关例2 计算广义积分的值解 为了书写的统一与简便，以后在广义积分的讨论中，我们也引用定积分(也称常义积分) NL公式的记法如例2可写成例3 计算广义积分 解 例4 证明广义积分当时收敛，当时发散证 当时，当时，所以此广义积分当时收敛，其值为；当时发散2. 无界函数的广义积分定理6.4.2 设在上有定义，而在的右邻域内无界若对任何正数，在上可积，则称形式 (4.4)为在上的广义积分若极限 ， (4.5)存在，则称广义积分(4.4)收敛，并以这极限值为它的值，即若极限(4.5)不存在，则称广义积分(4.4)发散与无穷限广义积分一样，记号(4.4)的含义是指考察变下限积分， 当时的极限情形这里称为函数的瑕点，因此无界函数的广义积分也称为瑕积分同样也利用极限来定义为瑕点的广义积分的敛散性若的瑕点在闭区间的内部，即，则广义积分定义为，它当且仅当右边两个积分都收敛时才收敛，否则左边的广义积分发散例5 计算广义积分 解 为函数的瑕点例6 讨论广义积分的敛散性解 为函数的瑕点由于，所以广义积分发散，从而推出广义积分发散 注意，如果我们疏忽了是瑕点，就会得出错误的结果：例7 证明广义积分当时收敛，当时发散证 当时，当时，所以这广义积分当时收敛，其值为，当时发散3. 两种广义积分的联系任何无界函数的广义积分都可以化为无穷限广义积分设在内任何闭区间上都可积，是瑕点，则 若令，就有，其中，于是 ，这时上式右边是无穷限广义积分同样，对于无穷限广义积分，只要令，就有 ，于是其中，是它的瑕点，即上式右边为无界函数的广义积分 6.5 定积分的应用定积分是具有特定结构的和式的极限如果从实际问题中产生的量(几何量或物理量)在某区间上确定，当把分成若干个子区间后，在上的量Q等于各个子区间上所对应的部分量之和(称量Q对区间具有可加性)，我们就可以采用“分割、近似求和、取极限”的方法，通过定积分将量Q求出现在我们来简化这个过程：在区间上任取一点，当有增量(等于它的微分)时，相应地量就有增量，它是Q分布在子区间上的部分量若的近似表达式为 ，则以为被积表达式求从到的定积分即得所求量 这里的称为量Q的微元，或元素，这种方法称为微元法它虽然不够严密，但具有直观、简单、方便等特点，且结论正确因此在实际问题的讨论中常常被采用本节我们将讲述微元法在几何与物理两方面的应用1. 平面图形的面积1) 直角坐标的面积公式根据定积分的几何意义，若是区间上的非负连续函数，则在上的曲边梯形(图61)的面积为 (5.1)若在上不都是非负的(图63)，则所围面积为 (5.2)一般地，若函数和在上连续且总有，则由两条连续曲线，与两条直线，所围的平面图形(图66)的面积元素为 所以 (5.3)图66如果连续曲线的方程为，则由它与直线，()及轴所围成的平面图形(图67)的面积元素为 所以 (5.4) 图67其它情形也容易写出与公式(5.2)、(5.3)相仿的公式例1 求由两条抛物线，所围图形(图68)的面积解 联立解得 及所围的面积为 图68例2 求由抛物线与直线所围图形(图69)的面积解 联立 解得曲线与直线的交点和以为积分变量，则所求面积为 图69 若以为积分变量，则从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便例3 求椭圆的面积 (图610)解 由于椭圆关于轴与轴都是对称的，故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍 在例3中，若写出椭圆的参数方程 ，应用换元公式得 图610一般地，若曲线由参数方程 给出，其中及在上连续，记，则由此曲线与两直线及轴所围图形的面积为 (5.5)例4 求由摆线的一拱与横轴所围图形(图611)的面积解 (令) 图6112) 极坐标的面积公式设围成平面图形的一条曲边由极坐标方程 给出，其中在上连续，由曲线与两条射线所围成的图形称为曲边扇形(图612)试求这曲边扇形的面积图612应用微元法取极角为积分变量，其变化区间为相应于任一子区间的小曲边扇形面积近似于半径为，中心角为的圆扇形面积从而得曲边扇形的面积元素所求面积为 (5.6) 例5 求心形线所围图形(图613)的面积解 利用对称性，所求面积为 (令) 例6 求由两曲线， 图 613 所围图形(图614)的面积 解 联立 解得 ，利用对称性，所求面积为图 614 2. 立体体积1) 已知平行截面面积的立体体积设空间某立体夹在垂直于轴的两平面， 之间(图615)图 615以表示过，且垂直于轴的截面面积若为已知的连续函数，则相应于的任一子区间上的薄片的体积近似于底面积为，高为的柱体体积从而得这立体的体积元素 所求体积为 (5.7)例7 设有一截锥体，其高为，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为，和，求这截锥体的体积解 取截锥体的中心线为轴(图616)，即取为积分变量，其变化区间为在上任取一点，过且垂直于轴的截面面积记为容易算出 图616 ， 所以这截锥体的体积为 2) 旋转体的体积旋转体是一类特殊的已知平行截面面积的立体，容易导出它的计算公式例如由连续曲线，绕轴旋转一周所得的旋转体(图617)由于过,且垂直于轴的截面是半径等于的圆，截面面积为 所以这旋转体的体积为 (5.8)图617类似地，由连续曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 (5.9)例8 求底面半径为，高为的正圆锥体的体积解 这圆锥体可看作由直线，绕轴旋转一周而成(图618)，所以体积 图618例9 求由椭圆绕轴旋转而产生的旋转体的体积解 这个旋转椭球体可看作由半个椭圆 绕轴旋转一周而成所以它的体积特别当时得半径为的球体体积 3. 平面曲线的弧长设有一曲线弧段，它的方程是 ， 如果在上有连续的导数，则称弧段是光滑的，试求这段光滑曲线的长度应用定积分，即采用“分割、近似求和、取极限”的方法，可以证明：光滑曲线弧段是可求长的从而保证我们能用简化的方法，即微元法，来导出计算弧长的公式如图619所示，取为积分变量，其变化区间为相应于上任一子区间的一段弧的长度，可以用曲线在点处切线上相应的一直线段的长度来近似代替，这直线段的长度为，于是得弧长元素(也称弧微分) ，因此所求的弧长为 (5.10)图619若弧段由参数方程 给出，其中在上有连续的导数，且则弧长元素，即微弧分为，所以 (5.11)若弧段由极坐标方程 ， 给出，其中在上有连续的导数，则应用极坐标，可得， ，利用公式(5.11)推出 (5.12)例10 求悬链线从到那一段的弧长(图620)解 代入公式(5.10)，得 图620例11 在摆线，上求分摆线第一拱(图611)成1:3的点的坐标解 设时，点的坐标分摆线第一拱成1:3由于弧微分 ，由公式(5.11)可得 解得 ，所以随之有 ，所求的点的坐标为例12 求阿基米德(Archimede)螺线相应于从0到的一段(图621)的弧长解 ， 代入公式(5.12)，得 图621 4. 变力沿直线所作的功从物理学知道，若物体在作直线运动的过程中一直受与运动方向一致的常力的作用，则当物体有位移时，力所作的功为现在我们来考虑变力沿直线作功问题设某物体在力的作用下沿轴从移动至(图622)，并设力平行于轴且是的连续函数相应于的任一子区间，我们可以把看作是物体经过这一子区间时所受的力因此功元素为 所以当物体沿轴从移动至时，作用在其上的力所作的功为 (5.13)图622例13 用铁锤将铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？解 设铁钉击入木板的深度为，所受阻力 (为比例常数)铁锤第一次将铁钉击入木板1，所作的功为 由于第二次锤击铁钉所作的功与第一次相等，故有 其中为两锤共将铁钉击入木板的深度上式即 解得，所以第二锤将铁钉击入木板的深度为例14 有一圆柱形大蓄水池，直径为20米，高为30米，池中盛水半满(即水深15米)求将水从池口全部抽出所作的功解 建立坐标系如图623所示水深区间为15,30相应于15,30的任一子区间的水层，其高度为，水的比重为9.8千牛/米，所以功元素为从而所作的功为 (千焦) 图623定积分在物理中的应用十分广泛，如在计算物体的质量、静力矩与重心、液体压力、两质点的引力等问题，都可以应用微元法予以分析处理，各种实例是不胜枚举的重要的是通过学习，使我们能熟练地运用这种方法，以不变应万变习题六1. 利用定积分的几何意义，说明下列各等式成立：(1) ；(2) ；(3) 2. 设物体以速度作直线运动，求物体从静止开始经过时间以后所走过的路程3. 利用定积分定义计算下列积分：(1) ； (2) 4. 比较下列各对积分的大小：(1) 和； (2) 和；(3) 和； (4) 和5. 证明下列不等式：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 6. 设在上连续，证明：若在上，且，则在上7. 解下列各题：(1) 设，求；(2) 设，求；(3) 设，求；(4) 设，求8. 求下列极限：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 9. 利用NL公式计算下列定积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 10. 设，求在上的表达式11. 设在上连续，在内可导，且证明是上的单减函数12. 设,在上可积，证明许瓦兹(Schwarz)不等式 13. 计算下列定积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) 14. 设，求15. 设在上连续，证明：16. 证明：17. 设是以为周期的连续函数，证明的值与无关18. 设是连续函数，证明：(1) 若是奇函数，则是偶函数；(2) 若是偶函数，则是奇函数19. 计算下列积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) N)20. 设，其中为整数，证明：，并用此递推公式计算21. 设为连续函数，证明：22. 下列各广义积分如果收敛，求其值：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) 23. 广义积分，当为何值时收敛？当为何值时发散？当为何值时取得最小值？24. 求由抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积25. 求由对数螺线及射线，所围成的图形的面积26. 求由及所围图形的公共部分的面积27. 求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积28. 求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值29. 设有一半径为的圆柱体，用一与底面交角为的平面去截割，如果平面通过底圆的直径，求截下部分立体的体积30. 一立体的底面为一半径为5的圆，已知垂直于底面的一条固定直径的截面都是等边三角形，求立体的体积31. 把抛物线及直线()所围成的图形绕轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积32. 求半径为R，高为h的球冠的体积()33. 求由摆线，的一拱及所围成的图形绕直线旋转所产生的旋转体的体积34. 证明：由平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 35. 计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧的长度36. 计算星形线的全长37. 求对数螺线自到的一段弧长38. 有一弹簧，用5牛顿的力可以把它拉长0.01米，求把弹簧拉长0.1米，力所作的功39. 设有一半径为10米的半球形蓄水池，池中蓄满了水，求把水从池口全部抽出所作的功