定积分法求面积探究毕业论文

定积分法求面积的探究教 学 系： 专 业： 年 级： 姓 名： 学 号： 导师及职称： 摘 要定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性Research of square in definite integralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definite integral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In order to fully reflect the combination of the mathematical thought and method.Keywords: definite integral; closed graph; surface area; symmetry目 录一、引言1二、相关概念11.1 定积分的定义11.2 定积分的常用计算方法11.2.1 直接利用公式及性质计算11.2.2 利用定积分的区间可加性计算2三、定积分在面积问题中的应用23.1 直角坐标系下求面积23.1.1 平面面积23.1.2 曲面面积53.2 极坐标63.3 求旋转曲面的面积7四、常见方法104.1 巧选积分变量104.2 巧用对称性114.3 巧用分割计算11五、结束语12参考文献12致 谢13一、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题，在数学分析中占据了重要地位。利用定积分求平面图形的面积是一个重要应用,与实际联系紧密,有很好的实用性。我们已经知道很多规则的平面图形的面积计算，如正方形、平行四边形、三角形、圆的面积等等。可以发现这些规则图形一般都是“直边图形”，但平时我们在实际中还会遇到求“曲边图形”的面积，那我们想到了定积分。定积分的定义是前人用“逼近”的方法总结归纳定义出来的，是受“以直代曲”的思想而启发的1。也就是把“曲边图形”采用“逼近、分割”方法进行近似代替而求得。利用定积分求含曲边的图形面积问题是在面对在平面几何中难以用常规方法加以解决的问题而采用的。定积分知识的引入，为此类问题的解决提供了强有力的工具，也充分体现了创新性及数形相结合的典型性。二、相关概念1.1 定积分的定义一般地，如果有函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记作，即。这里，和分别叫做积分上限和积分下限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式。1.2 定积分的常用计算方法1.2.1 直接利用公式及性质计算例2.1 求分析 被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换，先求出原函数再利用公式计算。解 1.2.2 利用定积分的区间可加性计算例2.2 设，求分析 这是一个分段函数，在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性分区间考虑其计算。解 注意 针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何正确选择积分方法。第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。例2.3 求分析 被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。解 令当时，当时，三、定积分在面积问题中的应用在求区域的面积当中，由于围成区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为多种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而定积分求面积的具体用法通过下列问题分下面四种情况进行探讨。 3.1 直角坐标系下求面积3.1.1 平面面积一般地，由上下两条连续曲线与以及两条直线与所围成的平面图形（图31），它的面积计算公式为：0图31 (3-1)例3.1 求两条曲线与围城的平面区域（图32）的面积。分析 由图可知选取对积分，便于计算。110图32解 两条曲线的交点是与，则此区域的面积： 图34例3.2 抛物线把圆分成两部分，求(图34)中阴影部分的面积.分析 由得交点坐标：，.由图可知选取为积分变量。解 总之，由函数围成的图形(其中)，选取为积分变量，则面积为；由函数,围成的图形(其中，选取为积分变量，则面积为1-10图33以上可简记为：“上减下，右减左，总之大减小，积分小到大”。在平面图形的面积求解中，除了以上方法外，还可以运用二重积分，将面积问题转化为求二重积分值的问题。例3.3 求由抛物线与所围图形的面积。分析 设所围图形如（图33）面积为.解方程组，解得两曲线的交点坐标为，.解 图形面积为：当曲线是参数方程 时，其中与在上连续。若函数在上严格增加，从而.有 ,则函数存在反函数, 曲线：、轴和两条直线围成区域的面积 （3-2）若函数在严格减少，从而,有,则函数存在反函数,曲线：、轴和两条直线所围成的区域面积：= （33）如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有,且在内曲线自身不在相交，那么由曲线自身所围成图像的面积为： (或) （34）a12aA图35 66666666例3.4 求由摆线的一拱与轴所围成的平面图形（图35）的面积。解 摆线的一拱可取所求面积为： 例3.5 求椭圆：的面积。分析 参数方程所表示的曲线是封闭的，既有,且在内曲线自身不在相交。于是便可由公式（34）求解。解 椭圆的面积为：显然，当时，这就等于圆面积例3.6 求由曲线所围成的平面图形的面积。解 令则在此变换下积分区域变换为则区域的面积3.1.2 曲面面积在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限，这种和的极限的概念推广到定义在平面区域上的二元函数情形，便得到二重积分，即区域面积的和。因此便可采用二重积分求解面积2。如果曲面由方程确定，在面上的投影区域为则面积为： （35）如果曲面由方程确定，在面上的投影区域为则面积为：如果曲面由方程确定，在面上的投影区域为，则面积为：例3.7 求锥面被柱面截下的部分的面积。解 联立方程组消去，得，曲面在面上的投影区域为，由，得，由公式（32）得3.2 极坐标设曲线由极坐标方程给出，其图36中在上连续，。由曲线与两条射线所围成的平面图形，通常也称为扇形（图36）。此扇形的面积的计算公式为 (36) 0图37这仍可由定积分分的基本思想而得。如（图37）所示，对区间作任意分割射线 把扇形分成个小扇形。由于是连续的，因此当很小时，在每一个上的值变化也很小。任取便有 这时，第个小扇形的面积为于是 由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限即为公式(36)中的定积分。图38例3.8 求双扭线所围成的平面图形的面积。解 如图（38）所示，因为所以的取值范围是与由图形及公式(36)，得到：例3.9 求三叶玫瑰线()围成区域（图39）的面积。解 三叶玫瑰线围成的三个叶是全等图形，只须计算第一象限那部分面积的6倍。三叶玫瑰线在第一象限中，角的变化范围是到 于是三叶玫瑰线围成区域的面积为： 图39令则原式可化为：3.3 求旋转曲面的面积定积分的所有应用问题，一般总可以按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形势，但为了简便实用，也常采用“微元法”。若令,则当为连续函数时，或,且，现在恰好把问题倒过来：如果所求量是分布在某区间上的，即，,而且当时，适为最终所求的值。再任意小区间上，若能把的微小增量近似表示为的线性形式： (36)其中为某一连续函数，而且当时，,亦即 (37)那么只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果。图310设平面光滑曲线C的方程为 (不妨设)这段曲线绕轴旋转一周得到旋转曲面（图310）下面用微元法导出它的面积公式。通过轴上点与分别作垂直于轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即其中由于， =因此由的连续性可以保证所以得到 (38)如果光滑曲线由参数方程给出，且，那么由弧微分知识推知曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积为 (39)例3.10 计算圆在区间上的弧段绕轴旋转所得球的面积。解 对曲线在区间上应用公式(38) ,得到注意 当时，则地球的表面积例3.12 计算由内摆线（图311）绕轴旋转所得到旋转曲面的面积。解 由曲线关于轴的对称性及公式(39)，得图311运用曲面的第一基本形式也可以计算曲面的面积，首先把曲面域用坐标曲线与剖分成完整的和不完整的曲边四边形，取以点，为定点的曲边四边形，近似地换成切平面上的一个平行四边形。这个平行四边形是以切于坐标曲线的向量与为边，我们把曲边四边形的面积认为近似地等于以，为边的平行四边形的面积。由于平行四边形的面积等于两边之积再乘以它们交角的正弦，即：上述平行四边形的的面积为，因此，曲面区域的面积可由二重积分来表示：这里的区域是曲面域相对应得平面上的区域。由于，其中,为曲面的第一类基本量所以由于正螺面是直纹面，它是直线沿着圆柱螺线连续变动形成的例3.133 求螺旋面，的面积。分析 由于正螺面是直纹面，它是直线沿着圆柱螺线连续变动形成的，这个过程中直线的方向是已知的且垂直于轴方向。因此，正螺面也是旋转曲面。解 分别关于和求导得：，即：，,注意 利用二重积分法求旋转曲面的面积问题，关键在于寻找中间变量，进而转化为用定积分来求解。四、 常见方法4.1 巧选积分变量图410933例4.1 求抛物线与所围成的平面图形的面积.分析 该平面图形（图41）。先求出抛物线与直线的交点与用把图形分成左、右两部分。解 应用公式（31）分别求的它们的面积为：=所以注意 在有些定积分求解问题中，选为积分变量，需要将图形分割运算较繁琐。这时把作为积分变量，并求出两相交点的纵坐标，确定出被积函数的积分上下限，便可利用牛顿莱布尼兹公式求解4。例4.2 求抛物线与直线所围成的平面图形的面积。840-4图42分析 本题考查了利用定积分的几何意义求图形的面积，可以通过对积分、对积分两种方法求解（图42）。解法一 选取横坐标为积分变量.解法二 选取纵坐标为积分变量注意 这两种解法，显然对积分比对积分计算简捷。因此在应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取非常重要。选取时对积分，积分函数应是,不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不变。4.2 巧用对称性例4.35 求由三条曲线所围成的面积。分析 因为是偶函数，根据对称性，总面积为轴右边图形的面积的两倍。解 由方程组和得交点坐标，.选择为积分变量，则4.3 巧用分割计算例4.4 求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成的图形的面积。解 由得则过点的切线方程为，过点的切线方程为，又可求得两切线交点的横坐标为故所求面积注意 当函数时，定积分在几何上表示：由曲线、直线及轴所围成的曲边梯形的面积,即.五、结束语求图形的面积，转化为求定积分，适当的分割、积分变量的选取至关重要，同时选择适当的方法可使计算简便。用定积分求面积，其关键是确定出被积函数和积分的上、下限。一般是应先画出它的草图，借助图形的直观性确定被积函数，求出两条曲的交点的坐标确定积分的上、下限，进而由定积分求出其面积。利用定积分的性质优化求解过程，本文中采用重积分求解曲面的面积充分体现了数形结合思想。参考文献1 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义M.北京:高等教育出版社,2004:25-37.2 吴良森,毛羽辉等.数学分析学习指导M.北京:高等教育出版社,2008:100-134.3 绿林根.面积与体积M.江苏:人民出版社,1978:76-93.4 边均伯,张茂根.极限的新概念M.北京:宇航出版社,1988:35-47.5 张惠颖,周成林等.应用数学教程M.第二版.陕西:西北农林科技大学出版社,2010:62-64.13致 谢随着毕业设计的完成，我的大学生活也将结束。在这短短的几个月的时间里，让我学到了以前在书本上学不到的知识。让我度过了大学生活最为充实的一段时期，而且收获了理论和实践上的第一桶金。在做毕业设计的这段时间，我要感谢我的指导老师，她经常抽出宝贵的时间来询问毕业设计的情况。在这次毕业设计中她还指导了很多学生，任务非常繁重，但是她对每 一项工作还是那么负责，对我耐心指导。从她负责指导我的毕业设计开始，就对我设计中的每一个环节都不遗余力的给于我帮助。在毕业设计的这段时间，她深厚的学术修养，严禁的治学态度，强烈的责任心和对学生的无私关怀，令我收益终身。同时，我还要感谢数学学院的所有老师们，他们在我大学生活的几年中给我的无私帮助，我将终生难忘。在平时的学习生活中，各位老师不辞辛劳的工作，使我在许多方面都达到了一个较高的层次。给我以后的工作与生活都打下了坚实的基础。