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小学数学总复习资料数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数除数商余数1. 能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；2. 不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。一、因数与倍数1、 因数与倍数（1） 定义：定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在abc，或者cab，那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（2） 一个数的因数的特点： 最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； 最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数第二小的因数（3） 完全平方数的因数特征： 完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； 1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916）2、 数的整除（数的倍数）（1） 定义：定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b0，如有abc，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（ab）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。如果a能被b整除，c是整数，那么ac也能被b整除。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。截断求和法（从右开始截）9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和截断求差法（从右开始截）11的倍数特征：一位截断求差101的倍数特征：两位截断求差1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差公倍数法6的倍数特征：2和3的公倍数。先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。12的倍数特征：4和3的公倍数。先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数。3、 奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）（1） 定义：奇数：不是2的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。偶数：是2的倍数的数。在自然数中，最小的偶数是0。（2）数的奇偶性质： 奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。 奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； 两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； 若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性； n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n 的倍数；算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数。 连续的奇数或偶数差为2。如，与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。 奇偶分析：奇奇偶 奇奇偶 奇奇奇 奇偶奇 偶偶偶 奇偶偶 偶偶偶 奇偶奇 偶偶偶4、 质数与合数（非0自然数按因数个数分类）（1） 定义：质数：只有1和它本身两个因数的数。（因数个数：2个）合数：除了1和它本身还有其它因数的数。（因数个数：3个或3个以上）（2） 常见质数特征：1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）；2是最小的质数；4是最小的合数；2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2外，其它质数都是奇数）。（3）100以内质数表（25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（4） 分解质因数 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：2822727 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 要求出乘积中末尾0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用考虑其它质因数。（5） 互质数：公因数只有1的两个数为互质数。常见的互质数： 相邻自然数：8和9 相邻奇数：21和23 2与任意奇数：2和15 不同的两个质数：11和 17 1与任意非零自然数：1和4 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14 公因数只有1的两个合数：6和25 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、75、 最大公因数与最小公倍数（1） 定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a，b)表示。最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用a，b表示。（2） 最大公因数的性质： 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。 几个数的最大公因数都是这几个数的因数。 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。 几个数都乘一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。（3） 最小公倍数的性质： 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即(a，b)a，bab（4）求最大公因数的方法： 列举法 短除法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。（5）求最小公倍数基本方法： 列举法 短除法 分解质因数法（6）分类求最大公因数和最小公倍数： 倍数关系：a是b的倍数，(a，b)b，a，ba 互质关系：a与b互质，(a，b)1，a，bab 一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。(a，b)左侧除数连乘积，a，b除数和商连乘积6、 分解质因数的运用：（1）求一个数因数的个数 列举法：2个一组列举 分解质因数法：分解质因数所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘）如：360235，360的因数个数：(3+1)(2+1)(1+1)43224（个）（2）求一个数的所有因数的和步骤：分解质因数所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。如：180235，180的所有因数之和：(202122)(303132)(5051)7136546二、余数性质与同余问题1、余数的性质(1) 余数小于除数。(2) 若a、b除以c的余数相同，则(a-b)或(b-a)可以被c整除。(3) a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。 （和的余数余数的和）(4) a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。 （差的余数余数的差）(5) a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 （积的余数余数的积）2、 余数的计算（求余数）(1) 末位判断法：2，5，4，25，8，125(2) 数字求和法：3，9各个数位上数字之和除以3或9的余数某数除以3或9的余数。如：234569。2+3+4+5+6+929，因为29932，所以2345699？2，即23456929(mod 9)(3) 截断求和法：99，999及其因数99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以99的余数。999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以999余数，即原数除以999的余数。如：12345。345+12=357,357999，所以12345999余357。(4) 截断求差法：从右开始截断，奇段和偶段和。11，101，1001及其因数7、11、13、77、91、143。11：一位截断作差。从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)11的余数,即为原数11的余数；如不够减，求出的负数+11。如：234569。奇数位数字之和3+5+917，偶数位数字之和2+4+612，17-125，所以23456911余5，即2345695(mod 11)如：98，（奇数位8偶数位9）8-9-1，-1+11=10，则9811810，即9810(mod 11)101：两位截断作差。从右开始，2位截断，(奇位和)-(偶位和)101的余数,即为原数101的余数；如不够减，求出的负数+101。1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。从右开始，3位截断，(奇位和)-(偶位和)1001的余数,即为原数1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。3、 费马小定理如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-11(mod p)。即：假如a是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。如：a是自然数2，p是质数5，2和5互质，2（5-1）5余1。 a是自然数10，p是质数3，10和3互质，10（3-1）3余1。4、 同余问题（求除数）同余的定义：(1) 若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。(2) 已知三个整数a、b、m，如果m能被(a-b)整除，就称a、b对于模m同余，记作ab(mod m)，读作a同余于b模m。5、 中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）在一千多年前的孙子算经中有著名算题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。方法： 最小公倍数法：和同加和，余同加余，差同减差（缺同减缺）。 列举法（逐步满足条件法） 口诀法(仅适应于3、5、7)：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。口诀法解释(只看数字即可)：将除以3的余数乘70，将除以5的余数乘21，将除以7的余数乘15，全部加起来后除以105，得到的余数就是答案。步骤：270+321+215=140+63+30=233，233105=2233、 完全平方数完全平方数：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484完全平方数特征：(1) 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；（个位数字是2、3、7、8的一定不是完全平方数）(2) 奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数，如25,49,81。（个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数）(3) 如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，它的十位数字一定是奇数。如16,36,196，256。（个位数是6，十位数是偶数的一定不是平方数）(4) 偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1。(5) 奇数的平方是8n+1型，偶数的平方是8n或8n+4型。（形如8n+2，8n+3，8n+5，8n+6，8n+7型的一定不是完全平方数）(6) 完全平方数的形式一定是3k或3k+1，即除以3余0或1。（形如3k+2的一定不是完全平方数）(7) 完全平方数的形式一定是4k或4k+1，即除以4余0或1。（形如4k+2和4k+3的一定不是平方数）(8) 能被5整除的数的平方是5k型，不能被5整除的数的平方是5k1型。(9) 完全平方数对的形式具有：16m，16m+1，16m+4，16m+9。(10) 完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。（各数位数字和是2、3、5、6、8的一定不是平方数）(11) 若质数p能整除完全平方数a，则p也能整除a。(12) 两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。(13) 一个自然数n是完全平方数的充要条件是n有奇数个因数。（因数个数为奇数个的自然数是平方数）(14) 任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y25
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