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小学数学总复习资料数论基础知识小学数论问题,起因于除法算式:被除数除数商余数1. 能整除:整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等;2. 不能整除:余数,余数的性质与计算(余数),同余问题(除数),物不知数问题(被除数)。一、因数与倍数1、 因数与倍数(1) 定义:定义1:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。定义2:如果非零自然数a、b、c之间存在abc,或者cab,那么称a、b是c的因数,c是a、b的倍数。注意:倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。(a、b是因数,c是倍数)一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。(2) 一个数的因数的特点: 最小的因数是1,第二小的因数一定是质数; 最大的因数是它本身,第二大的因数是:原数第二小的因数(3) 完全平方数的因数特征: 完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 完全平方数的质因数出现次数都是偶数次; 1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完全平方数的个数是54个。(312=961,442=1936,542=2916)2、 数的整除(数的倍数)(1) 定义:定义1:一般地,三个整数a、b、c,且b0,如有abc,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。定义2:如果一个整数a,除以一个整数b(b0),得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。(ab)(2)整除的性质:如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。如果a能被b整除,c是整数,那么ac也能被b整除。如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。(3)一些常见数的整除特征(倍数特征):末位判别法2、5的倍数特征:末位上的数字是2、5的倍数。4、25的倍数特征:末两位上的数字是4、25的倍数。8、125的倍数特征:末三位上的数字是8、125的倍数。截断求和法(从右开始截)9(及其因数3)的倍数特征:一位截断求和99(及其因数3、9、11、33)的倍数特征:两位截断求和999(及其因数3、9、27、37、111、333)的倍数特征:三位截断求和截断求差法(从右开始截)11的倍数特征:一位截断求差101的倍数特征:两位截断求差1001(及其因数7、11、13、77、91、143)的倍数特征:三位截断求差公倍数法6的倍数特征:2和3的公倍数。先判断是否2的倍数,再判断是否3的倍数。12的倍数特征:4和3的公倍数。先判断是否4的倍数,再判断是否3的倍数。3、 奇数与偶数(自然数按是否能被2整除分类)(1) 定义:奇数:不是2的倍数的数。在自然数中,最小的奇数是1。偶数:是2的倍数的数。在自然数中,最小的偶数是0。(2)数的奇偶性质: 奇偶相连,奇偶相间,偶数个连续自然数中,奇偶各半。 奇数个奇数的和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数; 两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数; 若 a、b 为整数,则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性; n 个奇数的乘积是奇数,n 个偶数的乘积是 2n 的倍数;算式中有一个是偶数,则乘积必是偶数。 连续的奇数或偶数差为2。如,与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。 奇偶分析:奇奇偶 奇奇偶 奇奇奇 奇偶奇 偶偶偶 奇偶偶 偶偶偶 奇偶奇 偶偶偶4、 质数与合数(非0自然数按因数个数分类)(1) 定义:质数:只有1和它本身两个因数的数。(因数个数:2个)合数:除了1和它本身还有其它因数的数。(因数个数:3个或3个以上)(2) 常见质数特征:1既不是质数,也不是合数(1只有1个因数);2是最小的质数;4是最小的合数;2是质数中唯一的偶数,也是偶数中唯一的质数(除2外,其它质数都是奇数)。(3)100以内质数表(25个):2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97(4) 分解质因数 唯一分解定理:任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。 质因数:如果某个质数是某个数的因数,那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数:把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如:2822727 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 要求出乘积中末尾0的个数,只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数,不用考虑其它质因数。(5) 互质数:公因数只有1的两个数为互质数。常见的互质数: 相邻自然数:8和9 相邻奇数:21和23 2与任意奇数:2和15 不同的两个质数:11和 17 1与任意非零自然数:1和4 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质:3和14 公因数只有1的两个合数:6和25 如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质:3、5、75、 最大公因数与最小公倍数(1) 定义:最大公因数:几个数公有的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一个叫做最大公因数,用(a,b)表示。最小公倍数:几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做最小公倍数,用a,b表示。(2) 最大公因数的性质: 几个数都除以它们的最大公因数,所得的几个商是互质数。 几个数的最大公因数都是这几个数的因数。 几个数的公因数,都是这几个数的最大公因数的因数。 几个数都乘一个自然数m,所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。(3) 最小公倍数的性质: 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即(a,b)a,bab(4)求最大公因数的方法: 列举法 短除法 分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公因数。(5)求最小公倍数基本方法: 列举法 短除法 分解质因数法(6)分类求最大公因数和最小公倍数: 倍数关系:a是b的倍数,(a,b)b,a,ba 互质关系:a与b互质,(a,b)1,a,bab 一般关系:a与b不互质也不倍数,用短除法。(a,b)左侧除数连乘积,a,b除数和商连乘积6、 分解质因数的运用:(1)求一个数因数的个数 列举法:2个一组列举 分解质因数法:分解质因数所有不同质数出现次数+1连乘积(指数加1再相乘)如:360235,360的因数个数:(3+1)(2+1)(1+1)43224(个)(2)求一个数的所有因数的和步骤:分解质因数所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。如:180235,180的所有因数之和:(202122)(303132)(5051)7136546二、余数性质与同余问题1、余数的性质(1) 余数小于除数。(2) 若a、b除以c的余数相同,则(a-b)或(b-a)可以被c整除。(3) a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。 (和的余数余数的和)(4) a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。 (差的余数余数的差)(5) a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 (积的余数余数的积)2、 余数的计算(求余数)(1) 末位判断法:2,5,4,25,8,125(2) 数字求和法:3,9各个数位上数字之和除以3或9的余数某数除以3或9的余数。如:234569。2+3+4+5+6+929,因为29932,所以2345699?2,即23456929(mod 9)(3) 截断求和法:99,999及其因数99(3、9、11、33):两位截断求和,得到的和除以99余数,即原数除以99的余数。999(3、9、27、37、111、333):三位截断求和,得到的和除以999余数,即原数除以999的余数。如:12345。345+12=357,357999,所以12345999余357。(4) 截断求差法:从右开始截断,奇段和偶段和。11,101,1001及其因数7、11、13、77、91、143。11:一位截断作差。从右开始,1位截断,(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)11的余数,即为原数11的余数;如不够减,求出的负数+11。如:234569。奇数位数字之和3+5+917,偶数位数字之和2+4+612,17-125,所以23456911余5,即2345695(mod 11)如:98,(奇数位8偶数位9)8-9-1,-1+11=10,则9811810,即9810(mod 11)101:两位截断作差。从右开始,2位截断,(奇位和)-(偶位和)101的余数,即为原数101的余数;如不够减,求出的负数+101。1001(7、11、13、77、91、143):三位截断作差。从右开始,3位截断,(奇位和)-(偶位和)1001的余数,即为原数1001的余数;如不够减,求出的负数+1001。3、 费马小定理如果p是质数,a是自然数,且a不能被p整除,则ap-11(mod p)。即:假如a是自然数,p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。如:a是自然数2,p是质数5,2和5互质,2(5-1)5余1。 a是自然数10,p是质数3,10和3互质,10(3-1)3余1。4、 同余问题(求除数)同余的定义:(1) 若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。(2) 已知三个整数a、b、m,如果m能被(a-b)整除,就称a、b对于模m同余,记作ab(mod m),读作a同余于b模m。5、 中国剩余定理(物不知数问题:求被除数)在一千多年前的孙子算经中有著名算题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?物不知数问题,又叫孙子问题、韩信点兵问题。方法: 最小公倍数法:和同加和,余同加余,差同减差(缺同减缺)。 列举法(逐步满足条件法) 口诀法(仅适应于3、5、7):三人同行七十稀,五树梅花廿一枝;七子团圆正半月,除百零五便得知。口诀法解释(只看数字即可):将除以3的余数乘70,将除以5的余数乘21,将除以7的余数乘15,全部加起来后除以105,得到的余数就是答案。步骤:270+321+215=140+63+30=233,233105=2233、 完全平方数完全平方数:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484完全平方数特征:(1) 末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;(个位数字是2、3、7、8的一定不是完全平方数)(2) 奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数,如25,49,81。(个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数)(3) 如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,它的十位数字一定是奇数。如16,36,196,256。(个位数是6,十位数是偶数的一定不是平方数)(4) 偶数的平方是4的倍数,奇数的平方是4的倍数加1。(5) 奇数的平方是8n+1型,偶数的平方是8n或8n+4型。(形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的一定不是完全平方数)(6) 完全平方数的形式一定是3k或3k+1,即除以3余0或1。(形如3k+2的一定不是完全平方数)(7) 完全平方数的形式一定是4k或4k+1,即除以4余0或1。(形如4k+2和4k+3的一定不是平方数)(8) 能被5整除的数的平方是5k型,不能被5整除的数的平方是5k1型。(9) 完全平方数对的形式具有:16m,16m+1,16m+4,16m+9。(10) 完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。(各数位数字和是2、3、5、6、8的一定不是平方数)(11) 若质数p能整除完全平方数a,则p也能整除a。(12) 两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。(13) 一个自然数n是完全平方数的充要条件是n有奇数个因数。(因数个数为奇数个的自然数是平方数)(14) 任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y25
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