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第一章三角形的证明检测题（本试卷满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列命题：等腰三角形的角平分线、中线和高重合；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形的最短边是底边；等边三角形的高、中线、角平分线都相等；等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图，在ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4AD平分BAC交BC于点D，则BD的长为（ ）A.B. C. D.3. 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则A的度数为（ ）A. 30B. 36C. 45D. 704.（2015湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）A.8或10 B.8 C.10D.6或125.如图，已知E=F，B=C，AE=AF，下列结论：EM=FN；CD=DN；FAN=EAM；ACNABM其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6. 在ABC中，ABC=123，最短边BC=4 cm，则最长边AB的长是（ ）A.5 cm B.6 cm C.cm D.8 cm7.如图，已知BAC=DAE=90，AB=AD，下列条件能使ABCADE的 是（）A.E=C B.AE=AC C.BC=DE D.ABC三个答案都是 8.（2015陕西中考）如图，在ABC中，A=36，ABAC，BD是ABC的角平分线，若在边AB上截取BEBC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个9.已知一个直角三角形的周长是4+2，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积 为（ ）A.5 B.2 C. D.110.如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果AC=5cm，BC=4 cm，那么DBC的周长是（ ）A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在等腰ABC中，AB=AC, BAC=50, BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则OEC的度数是 . 12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是_ _三角形.13.（2015四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，DE垂直平分AB，已知ADE40，则DBC_.14.如图，在ABC中，C=90，AM平分CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离 是_. 15.如图，在等边ABC中，F是AB的中点， FEAC于E，若ABC的边长为10，则 AE=_，AEEC=_.16.(2015江苏连云港中考)在ABC中，AB4,AC3，AD是ABC的角平分线，则ABD与ACD的面积之比是 .17.如图，已知BAC=120，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则ADB= .18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果ADF=100,那么BMD为 度.三、解答题（共46分）19.（6分）如图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合），MDBC，且交BAC的平分线于点D，求证：MA=MD. 20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PAPB，则点P为ABC的准外心.应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD12AB，求APB的度数.探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC5，AB3，准外心P在AC边上，试探PA的长.21.（6分）如图所示，在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+C=180.22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边ABD，连接DC，以DC为边作等边DCE，B，E在C，D的同侧，若AB=，求BE的长.23.（6分）如图所示，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想第24题图24.（8分）（2015陕西中考）如图，在ABC中，ABAC，作ADAB交BC的延长线于点D，作AEBD，CEAC，且AE，CE相交于点E.求证：ADCE.25.（8分）已知：如图， AB=AC，D是AB上一点，DEBC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：ADF是等腰三角形三角形的证明检测题参考答案1.B 解析：只有正确.2.A 解析：BAC=90，AB=3，AC=4， BC边上的高= AD平分BAC，点D到AB，AC的距离相等，设为h，则解得解得故选A3.B 解析：因为AB=AC，所以ABC=C.因为AD=BD=BC，所以A=ABD，C=BDC.又因为BDC=A+ABD，所以ABC=C=BDC=A+ABD=2A，所以A+2A+2A=180，所以A=36.4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为442=10.5.C 解析：因为E=F，B=C，AE=AF，所以AEBAFC（AAS），所以FAM=EAN，所以 EAN-MAN=FAM-MAN，即EAM=FAN，故正确.又因为 E=F，AE=AF，所以EAMFAN（ASA），所以 EM=FN，故正确.由AEBAFC，知AC=AB，又因为CAN=BAM，B=C，所以ACNABM，故正确.由于条件不足，无法证得CD=DN.故正确的结论有：.6.D 解析：因为ABC=123，所以ABC为直角三角形，且C为直角.又因为最短边BC=4 cm，则最长边AB2BC=8 cm.7.D 解析：添加A选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等；添加B选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D8.D 解析：在ABC中， A=36，AB=AC， ABC是等腰三角形，ABC=C=72. BD平分ABC， ABD=CBD=36， A=ABD，CDB=A+ABD36+36=72， CCDB， ABD，CBD都是等腰三角形. BC=BD. BE=BC， BD=BE， EBD是等腰三角形， BED180-EBD2=180-36272.在AED中， A=36，BEDA+ADE， ADEBED-A72-3636， ADE=A =36， AED是等腰三角形. 图中共有5个等腰三角形.9.B 解析：设此直角三角形为ABC，其中C90，BC=a，AC=b，因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以AB=4.又因为直角三角形的周长是，所以.两边平方，得，即.由勾股定理知，所以 ，所以.10.D 解析：因为DE垂直平分AB，所以AD=BD. 所以DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）.11.100 解析:如图所示，由AB=AC，AO平分BAC，得AO所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，所以OAB=OBA=1250=25，得BOA=COA=BOC=360-BOA-COA=100.所以OBC=OCB= =40.由于EO=EC，故OEC=180-240=100.12.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.13.15 解析：在RtAED中，ADE40，所以A50.因为ABAC，所以ABC（18050）265.因为DE垂直平分AB，所以DADB，所以DBEA50.所以DBC655015.14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.15. 13 解析：因为AB=10，F是AB的中点，所以AF=5.在RtAEF中，因为A=60，所以AE=AF=.又EC=AC-AE=10-=，所AEEC=13.16.43 解析：如图所示，过点D作DMAB，DNAC，垂足分别为点M和点N. AD平分BAC， DMDN. SABD12ABDM，SACD12ACDN， SABDSACD12ABDM12ACDNABAC43. 第16题答图17. 解析: BAC=120，AB=AC， B=C= AC的垂直平分线交BC于点D， AD=CD. 18. 85 解析: BDM=180-ADF -FDE =180-100-30=50， BMD=180-BDM -B =180-50-45=85.19.证明：MDBC，B=90， ABMD， BAD=D.又 AD为BAC的平分线， BAD=MAD， D=MAD， MA=MD.20. 解：应用：若PBPC，连接PB，则PCBPBC. CD为等边三角形的高， ADBD，PCB30， PBDPBC30， PB=2PD， BD=PB2-PD2=3PD ， PD=33DB=36AB，与已知PD12AB矛盾， PBPC.若PAPC，连接PA，同理，可得PAPC.若PAPB，由PD12AB，得PDBD， BPD45，APB90.探究：若PBPC，设PAx，则x2+32=(4-x)2， x 78，即PA78.若PAPC，则PA2.若PAPB，由图（2）知，在RtPAB中，这种情况不可能.故PA2或78.21.证明：如图，过点D作DEAB交BA的延长线于点E，过点D作DFBC于点F.因为BD平分ABC，所以DE=DF.在RtEAD和RtFCD中，AD=CD，DE=DF，所以RtEADRtFCD（HL）.所以C=EAD.因为EAD+BAD=180，所以BAD+C=180.22.解：因为ABD和CDE都是等边三角形，所以AD=BD，CD=DE，ADB=CDE=60.所以ADBCDB=CDE-CDB，即ADC=BDE.在ADC和BDE中，因为AD=BD，CD=DE，ADC=BDE，所以ADCBDE，所以AC=BE.又AC=BC，所以BE=BC.在等腰直角ABC中，AB=，所以AC=BC=1，故BE=1.23.解：BE=EC，BEEC.证明： AC=2AB，点D是AC的中点， AB=AD=CD. EAD=EDA=45， EAB=EDC=135. EA=ED， EABEDC. AEB=DEC，BE=EC. BEC=AED=90. BEEC.24.证明： AEBD， EACACB. ABAC， BACB. EACB.又 BADACE90， ABDCAE（ASA）. ADCE.25.证明： AB=AC， B=C DEBC于点E， FEB=FEC=90 B+EDB=C+EFC=90 EFC=EDB EDB=ADF， EFC=ADF ADF是等腰三角形.
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