高中立体几何典型500题及解析(1)(1-50题)

高中立体几何典型500题及解析(一)1、二面角是直二面角，设直线与所成的角分别为1和2，则（A）1+2=900 （B）1+2900 （C）1+2900 （D）1+2900解析：C如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1和2分别为直线AB与平面所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是 （A） （B） （C） （D）D解析： A项：底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形B项： 如图C项：是个平行四边形D项：是异面直线。3. 有三个平面，下列命题中正确的是 （A）若，两两相交，则有三条交线 （B）若，则 （C）若，=a，=b，则ab （D）若，=，则=D解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C项：如图4. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 C解析：平面AB1，如图：P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是 （A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。6. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定C解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且则，BD=，CD=，BC=如图则BD为最长边，根据余弦定理最大角为锐角。所以BCD是锐角三角形。7.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题（ ） 若若 其中正确的命题的个数是（ ）A0个B1个C2个D3个B 解析：注意中b可能在上；中a可能在上；中b/，或均有，故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥SABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 （ ）A90B60C45D30B 解析：平移SC到，运用余弦定理可算得9. 对于平面M与平面N, 有下列条件:M、N都垂直于平面Q;M、N都平行于平面Q; M内不共线的三点到N的距离相等;l, M内的两条直线,且l/ M,m / N; l,m是异面直线,且l/ M,m / M;l/ N,m / N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是（ ）A1B2C3D4只有、能判定M/N，选B10. 已知正三棱柱ABCA1B1C1中，A1BCB1，则A1B与AC1所成的角为 （A）450 （B）600 （C）900 （D）1200C解析：作CDAB于D，作C1D1A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1BAC1，选C。11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为A.B. C. D.3解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“、m中至少有一条与平面相交”也成立选（C）13. 已知直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集其中正确的是 解析：（1）成立，如m、n都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m、n在平面的同一侧，且它们到的距离相等，则平面为所求，（4）成立，当m、n所在的平面与平面垂直时，平面内不存在到m、n距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）A3B1或2C1或3D2或3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15若为异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是（ ）A相交B异面C平行D 异面或相交解析：D 如正方体的棱长。16在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（ ）ABCD解析：DB1D在平面AC上的射影BD与AC垂直，根据三垂线定理可得。17如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）解析：C A，B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：18如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC等于（ ）A45 B60C90 D120解析：B 如图右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：AB与CD所在直线垂直；CD与EF所在直线平行AB与MN所在直线成60角；MN与EF所在直线异面其中正确命题的序号是（ ）ABCD解析：D19线段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，则ABC是（ ）A等边三角形B非等边的等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形解析：B 设 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。 ABC是不等边的等腰三角形，选（B）20若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是，l与a、l与b所成的角都是，则的取值范围是（ ）ABCD解析：D解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值，故选（D）21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_.42米解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，CE=米，树影长BE=米，树高AB=BE=米。22如图,正四面体（空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中,分别是棱的中点, 则和所成的角的大小是_.解析：设各棱长为2，则EF=，取AB的中点为M，即23OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直 线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长 为_.解析：在长方体OXAYZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=24设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_个不同的平面.解析： 当直线a，b共面时，可确定一个平面； 当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面25. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点求证：EF和AD为异面直线.解析：假设EF和AD在同一平面内，（2分），则A，B，E，F；（4分）又A，EAB，AB，B，（6分）同理C（8分）故A，B，C，D，这与ABCD是空间四边形矛盾。EF和AD为异面直线26. 在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解析：四边形EFGH是平行四边形，（4分）=2=27. 如图，在三角形ABC中，ACB=90，AC=b,BC=a,P是ABC 所在平面外一点，PBAB，M是PA的中点，ABMC，求异面直MC与PB间的距离.解析：作MN/AB交PB于点N（2分）PBAB，PBMN。（4分）又ABMC，MNMC（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离， 则得MN=AB=28. 已知长方体ABCDA1B1C1D1中, A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点.（1）求异面直线CD1、EF所成的角；（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.（1）解析：在平行四边形中，E也是的中点，（2分）两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.（4分）又A1A=AB，长方体的侧面都是正方形，D1CCD1 异面直线CD1、EF所成的角为90.（7分）（2）证：设AB=AA1=a, D1F=EFBD1（9分）由平行四边形，知E也是的中点，且点E是长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心，（12分）EA=ED，EFAD，又EFBD1，EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（14分）29. ABC是边长为2的正三角形，在ABC所在平面外有一点P，PB=PC=，PA=，延长BP至D，使BD=，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.解析：分别连接PE和CD，可证PE/CD，（2分）则PEA即是AE和CD所成角（4分）在RtPBE中，PB=，BE=1，PE=。在AEP中，AE=，=AEP=60，即AE和CD所成角是60（7分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1（14分）30. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面解析：EN/MF，EN与MF 共面，（2分）又EF/MH，EF和MH共面（4分）不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）平面与重合，点H。（8分）同理点G（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（ ）A1条B2条C3条D1条或2条D解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D32两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ）A4个B5个C6个D8个解析：C 如四棱锥的四个侧面，个。33.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（ ）AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上解析：平面ABC平面ACD=AC，先证M平面ABC，M平面ACD，从而MACA 34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 .解析：6条35. 已知：本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：PQa,PQ与a确定一个平面36. 已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：A、B、C是不在同一直线上的三点过A、B、C有一个平面又 37. 已知：平面 求证：b、c是异面直线解析：反证法：若b与c不是异面直线，则bc或b与c相交38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，求AD与BC所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析：取BD中点M，连结EM、MF，则39. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.(14分)（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：取DD1中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MCBG=0则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.而CM与D1N所成角的正弦值为40. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。（1）求证：MN是AB和PC的公垂线（2）求异面二直线AB和PC之间的距离解析：（1）连结AN，BN，APC与BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点AN=BN又M是AB的中点，MNAB同理可证MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN是AB和PC的公垂线。（2）在等腰在角形ANB中，即异面二直线AB和PC之间的距离为.41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有3个，也可能有2个 B可能有4个，也可能有3个C可能有3个，也可能有1个 D可能有4个，也可能有1个解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.42. 下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形A1个 B2个 C3个 D4个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_，则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：1个或3个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。47. 画出满足下列条件的图形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b ，ba解析：如图1-8-甲，1-8-乙 48.经过平面外两点A，B和平面垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。当A，B不垂直于平面时，只有一个。当A，B垂直于平面时，有无数多个。 49. 设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB12，CD4 ，且四边形EFGH的面积为12 ，求AB和CD所成的角. 解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG就是异面直线AB和CD所成的角. EFGH是平行四边形，HG AB6，HE ，CD2， SEFGHHGHEsinEHG12 sinEHG, 12 sinEHG12. sinEHG,故EHG45. AB和CD所成的角为45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50. 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF= AD，求异面直线AD和BC所成的角。（如图）解析：设G是AC中点，连接DG、FG。因D、F分别是AB、CD中点，故EGBC且EG= BC，FGAD，且FG=AD，由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cosEGF=0，即EGF=90。 注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。