广义积分的收敛判别法

第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在a, + ）上的广义积分收敛的充分必要条件是：, 存在A0, 使得b, A时，恒有证明：对使用柯西收敛原理立即得此结论同样对瑕积分(为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在a,b)上有定义，在其任何闭子区间a, b上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要01,那么积分收敛，如f(x)，p1,则积分发散其极限形式为定理9.9 如 (, p1), 则积分收敛如, 而, 1, 则发散.例9.8 判断下列广义积分的收敛性。(1) (2) (m0, n0)解：（1）因为0由收敛推出收敛（2）因为 所以当nm1时，积分收敛. 当nm1时，积分发散对于瑕积分，使用作为比较标准，我们有下列柯西判别法定理9.10设x=a是f(x)在a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1） 如0f(x) (c0), p0), p1, 则发散瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11 设如0k, p1, 则收敛如0k, p1, 那么发散例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。(1) (k20)解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 =由知瑕积分收敛（2）0与都是被积函数的瑕点先讨论 由知: 当p1时, 瑕积分收敛; 当p1时,瑕积分发散再讨论 因所以当 q1时, 瑕积分收敛，当q1时，瑕积分发散综上所述，当p1且q1时, 瑕积分收敛; 其他情况发散例9.10 求证: 若瑕积分收敛，且当时函数f(x)单调趋向于+，则x f(x)=0.证明：不妨设, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上单调减少。已知收敛，由柯西收敛准则，有, (1), 有从而0或00), 当时收敛当时发散.证明:=所以当31时，即时，瑕积分收敛当31，即时，瑕积分发散前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在a,b上可积，f(x)在a,b上单调，则存在a,b使=为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况引理9.1设f(x)在a, b上单调下降并且非负，函数g(x)在a,b上可积，则存在ca,b，使 =f(a)证明：作辅助函数= f(a) 对a,b的任一分法P: a=x0x1x2A0时, 有 g(x)|于是，对有 +=由Cauchy收敛原理知收敛例9.12 讨论广义积分的敛散性，解：令f(x)=, g(x)=cosx则当x时，f(x)单调下降且趋于零，F(A)= =在a,上有界由Dirichlet判别法知收敛，另一方面因发散，收敛从而非负函数的广义积分发散由比较判别法知发散，所以条件收敛例9.13 讨论广义积分的敛散性解：由上一题知，广义积分收敛, 而arctanx在a, +上单调有界，所以由Abel判别法知收敛。另一方面, 当时, 有前面已证发散由比较判别法知发散, 所以条件收敛.对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法定理9.14若下列两个条件之一满足，则收敛：（b为唯一瑕点）（1）（Abel判别法）收敛, g(x)在a,上单调有界(2) (Dirichlet判别法) =在a, 上有界, g(x) 在(上单调, 且.证明: (1) 只须用第二中值定理估计 读者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证明.(2) 读者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证明.例9.14 讨论积分 (0p2) 的敛散性解: 对于0p1 , 因为 由收敛知 绝对收敛敛对于0p2, 因为函数f(x) =, 当时单调趋于0, 而函数 g(x)= 满足所以积分收敛.但在这种情况下, 是发散的, 事实上由因发散, 收敛, 知 发散从而当0p2时, 积分条件收敛. 最后我们讨论p=2的情形, 因为 当时, 上式无极限, 所以积分发散.值得注意的是, 两种广义积分之间存在着密切的联系, 设中x=a为f(x)的瑕点, 作变换y=, 则有 = 而后者是无限区间上的广义积分. 习题 9.21、 论下列积分的敛散性（包括绝对收敛， 条件收敛， 发散）(1)；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) 2证明：若瑕积分收敛， 且当时， 函数f(x)单调趋于+， 则x f(x)=03. 若函数f(x)在有连续导数f /(x)， 且无穷积分与都收敛， 则 f(x)=04. 设f(x)在上可导，且单调减少， f(x)=0, 求证: 收敛 收敛5. 证明：若函数f(x)在上一致连续， 且无穷积分收敛， 则 f(x)=06. 求证： 若无穷积分收敛， 函数f(x)在内单调， 则 f(x)=o()7. 计算下列广义二重积分的值(1) 其中D=；(2) ；(3) , 并由此证明. 8、讨论下列广义重积分的敛散性 (1) , ； (2)