初中数学规律探究题

归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。1.（巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，根据你发现的规律，第8个式子是 -128a8; ;；第n个数据应为 。（-2）n-1xn2.（南平）给定一列按规律排列的数： ，则这列数的第6个数是( )A B C D 3（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；，则1+3+5+2015的值 是 10140494（沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为 82+92+722=7325.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a11，a2，a3，a4，试猜想第n个等式（n为正整数）：an= 6.（南宁）有这样一组数据a1，a2，a3，an，满足以下规律：a1，a2，a3，an（n2且n为正整数），则a2016的值为 -1（结果用数字表示）7. （广安）已知直线y=（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则 S1+S2+S3+S2016= 8.（大庆）已知 ，依据上述规律，计算 +的结果为 。9将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 23 456 78910 按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为 13；第n行（n3）从左到右的第3个数为 （用含n的代数式表示）10请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 根据前面各式的规律，则考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。1（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有 小三角形的个数是 3n+42（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需 2n+1根火柴棒3（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为_（用含n的代数式表示）4（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，依此规律，第11个图案需_根火柴5（遂宁）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为 6n+26（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；按这样的规律下去，第6幅图中有 91个正方形7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的9(2015重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，依此规律，图11中黑色正方形的个数是( )A32 B29 C28 D2610(2015重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为( )A21 B24 C27 D3011. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，依此规律，第n个图案有 个三角形（用含n的代数式表示）13平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是_个 14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为_，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为_(用含n的代数式表示)考点三:几何图形计算变化规律 随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。1. （张家界）如图，OP=1，过P作PP1OP，得OP1=；再过P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP2016= 2（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为 ）n3（牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，DAB=60连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使FAC=60连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使HAE=60按此规律所作的第n个菱形的边长是 ）n-14（六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为 ，经过61次旋转后，顶点O经过的总 路程为 5. 如图，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)均在反比例函数（x0）的图象上，若P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，An-1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是_，点Pn的坐标是_（用含n的代数式表示）6. 二次函数的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3四边形An-1BnAnCn都是菱形，A0B1A1=A1B2A2=A2B3A3=An-1BnAn=60，菱形An-1BnAnCn的周长为 7(2015浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推，若A1C12，过点A，D2，D3，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_8. 如图，将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若，则正ABC的边长是_9. 设ABC的面积为1，如图1将边BC，AC分别2等分，BE1，AD1相交于点O，AOB的面积记为S1；如图2将边BC，AC分别3等分，BE1，AD1相交于点O，AOB的面积记为S2；，依 此类推，则Sn可表示为_（用含n的代数式表示，其中n为正整数）考点四：坐标系和表格中的规律1（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不 断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_（用n表示）。 2（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7，按此规律进行下去，则点P2016的坐标是 _。3. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，根据这个规律，第2 016个点的坐标为_4（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是_。5（恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是_。6. 如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，An将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点M1，M2，M3，Mn都在直线l：y=x上；抛物线依次经过点A1，A2，A3，An则顶点M2 016的坐标为（_，_）课后练习考点一：猜想数式规律1(2015湖北黄冈中学自主招生)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，317，11，15，19，23，27，31，35，39第1个相同的数是7，第10个相同的数是 ( )A115 B127 C139 D1512(2015浙江宁波)一列数b0，b1，b2，具有下面的规律，b2n1bn，b2n2bnbn1，若b01，则b2 015的值是 ( )A1 B6 C9 D193(2015山东德州)一组数1，1，2，x，5，y，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为 ( )A8 B9 C13 D154(2013山东日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律根据此规律，图形中M与m，n的关系是 ( )AMmn BMn(m1) CMmn1 DMm(n1)5(2014贵州毕节)观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是_6. 人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21这就是著名的斐波那契数列那么小聪上这9级台阶共有_种不同方法7(2014江苏扬州，18，3分)设a1，a2，a2 014是从1，0，1这三个数中取值的一列数，若 a1a2a2 01469，(a11)2(a21)2(a2 0141)24 001，则a1，a2，a2 014中为0的个数是_8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想422； 1257；633； 1431177；835； 16313511；10375518513711； 通过这组等式，你发现的规律是_（请用文字语言表达）9. 观察下列等式：第一个等式：； 第二个等式：；第三个等式：； 第四个等式：按上述规律，回答以下问题：（1）用含的代数式表示第个等式：_=_；（2）式子_10. 下面是一个按某种规律排列的数阵：1 第1行 2 第2行 3 第3行 4 第4行 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n3）行从左向右数第n-2个数是_考点二：猜想图形规律1(2015广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有_个太阳2. 观察下列图形规律：当n= 时，图形“”的个数和“”的个数相等3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A289 B1 024C1 225 D1 3784. 如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，2n，请你探究出前n行的点数和所满足的规律若前n行点数和为930，则n ( )A29 B30 C31 D325. 图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，那么图（2）中的小正方形有_块；按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是_块6（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有1棵棋子，第个图 形一共有6棵棋子，第个图形一共有16棵棋子，则第个图形中棋子的颗数为( )A51B70C76D817(2012浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )图1图2A2 010 B2 012 C2 014 D2 0168(2014重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A22 B24 C26 D289. 观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“”有( )A57个 B60个C63个 D85个10. 观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是( ) A38 B46C61 D6411. 如图，ABC的三个顶点和它内部的点P1，把ABC分成3个互不重叠的小三角形；ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把ABC分成5个互不重叠的小三角形；ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把ABC分成7个互不重叠的小三角形；ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、Pn，把ABC分成 个互不重叠的小三角形12. 观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有 个“”13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有 根火柴棒（用含n的代数式表示）14“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个 图形中小梅花的个数是 考点三:几何图形计算变化规律1. 如图，在A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接A1B1C1三边中点，得A2B2C2，再依次连接A2B2C2的三边中点得A3B3C3，则A5B5C5的周长为_2. 已知RtABC中，C90，BC1，AC4，如图所示把边长分别为x1，x2，x3，xn的n个正方形依次放入ABC中，则第n个正方形的边长xn_(用含n的式子表示，n1)3. 如图，正ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正AB1C1，ABC与AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正AB2C2，AB1C1与AB2C2公共部分的面积记为S2；，以此类推，则Sn=_（用含n的式子表示） 4. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_。5. 如图，将ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015若h1=1，则h2015的值为_.6. 如图，已知A1，A2，A3，An，An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=AnAn+1=1，分别过点A1，A2，A3，An，An+1作x轴的垂线，交直线y=2x于点B1，B2，B3，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，AnBn+1，BnAn+1，依次相交于点P1，P2，P3，PnA1B1P1，A2B2P2，A3B3P3，AnBnPn的面积依次记为S1，S2，S3，Sn，则Sn为( )A B C D7. 如图，已知点A1，A2，An均在直线上，点B1，B2，Bn均在双曲线上，并且满足：A1B1x轴，B1A2y轴，A2B2x轴，B2A3y轴，AnBnx轴，BnAn+1y轴，记点An的横坐标为an（n为正整数）若，则a2015= 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(，0)，B(0，4)将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，则点B2 016的横坐标为_考点四：坐标系和表格中的规律1. （2015江苏淮安第18题）将连续正整数按如下规律排列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413第5行17181920若正整数565位于第行，第列，则 。2. 将自然数按以下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行1 4 5 1617第二行2 3 6 15第三行9 8 7 14第四行10 11 12 13第五行表中数2在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应，数5与(1，3)对应，数14与(3，4)对应，根据这一规律，数2 016对应的有序数对为_3. 如图，在一个单位长度为1的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，均是斜边在x轴上、且斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形若A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 016的坐标为_4. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P(-y+1，x+1)叫做点P的伴随点已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到点A1，A2，A3，An若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为_，点A2 014的坐标为_；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为_5. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2 015秒时，点P的坐标是（ ）A(2 014，0)B(2 015，-1)C(2 015，1) D(2 016，0)- 15 -