2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案

2017 2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学 试题 一 填空题 本大题共 14 个小题 每小题 5 分 共 70 分 请把答案填写在答题 卡相应位置上 1 已知集合 则集合 1 A 3 01 BAB 2 已知复数 满足 为虚数单位 则 z4ii z 3 双曲线 的渐近线方程为 2143xy 4 某中学共有 人 其中高二年级的人数为 现用分层抽样的方法在全校抽取 人 8060n 其中高二年级被抽取的人数为 则 2n 5 将一颗质地均匀的正四面体骰子 每个面上分别写有数字 先后抛掷 次 12342 观察其朝下一面的数字 则两次数字之和等于 的概率为 6 6 如图是一个算法的流程图 则输出 的值是 S 7 若正四棱锥的底面边长为 侧面积为 则它的体积为 2cm28c3cm 8 设 是等差数列 的前 项和 若 则 nS na24a 241S0a 9 已知 且 则 的最小值是 0 b3b 10 设三角形 的内角 的对边分别为 已知 则ABCCbctn3aAcbB cos 11 已知函数 是自然对数的底 若函数 的最小值是 1 4xaef yfx 4 则实数 的取值范围为 a 12 在 中 点 是边 的中点 已知 则ABC PAB3CP 4A 23CB P 13 已知直线 与 轴交于点 点 在直线 上 圆 l20 xy xl 上有且仅有一个点 满足 则点 的横坐标的取值集合为 2 x BAP 14 若二次函数 在区间 上有两个不同的零点 则 的2 fxabc 0 1 2 1 fa 取值范围为 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 已知向量 2sin 1 a sin 4b 1 若角 的终边过点 求 的值 34a 2 若 求锐角 的大小 b 16 如图 正三棱柱 的高为 其底面边长为 已知点 分别是棱1ABC 62MN 的中点 点 是棱 上靠近 的三等分点 1ACDC 求证 1 平面 1 BM1AN 2 平面 AD 17 已知椭圆 经过点 点 是椭圆的下顶点 C 21xyab 0 1 3 2 A 1 求椭圆 的标准方程 2 过点 且互相垂直的两直线 与直线 分别相交于 两点 已知A1l2yx EF 求直线 的斜率 OEF 1l 18 如图 某景区内有一半圆形花圃 其直径 为 是圆心 且 在AB6OCAB 上有一座观赏亭 其中 计划在 上再建一座观赏亭 记CQ23C P 0 2PB 1 当 时 求 的大小 3 OPQ 2 当 越大 游客在观赏亭 处的观赏效果越佳 求游客在观赏亭 处的观赏效P 果最佳时 角 的正弦值 19 已知函数 32 fxabxc lngx 1 若 且 恒成立 求实数 的取值范围 0ab f c 2 若 且函数 在区间 上是单调递减函数 3yx 1 求实数 的值 当 时 求函数 的值域 c fgxhx 20 已知 是数列 的前 项和 且 nS na13a123nSa N 1 求数列 的通项公式 2 对于正整数 已知 成等差数列 求正整数 ij kij j 6ik 的值 3 设数列 前 项和是 且满足 对任意的正整数 都有等式 nbnTn 成立 求满足等式 的所有正整数 12132nnaa 13nb 13nTa n 2017 2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学 附加题 21 选做题 在 A B C D 四小题中只能选做两题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 是圆 的直径 为圆 上一点 过点 作圆 的切线交 的延长线于点ODOAB 且满足 CDAC 1 求证 2ABC 2 若 求线段 的长 D B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 列向量 401A 25B aXb 1 求矩阵 2 若 求 的值 1X ab C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 已知圆 经过点 圆心为直线 与极轴的交C 2 4P sin 3 点 求圆 的极坐标方程 D 选修 4 5 不等式选讲 已知 都是正数 且 求证 xy1xy 22 1 9xyx 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内 作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 如图 在四棱锥 中 底面 是矩形 垂直于底面 PABCD ABPDABC 点 为线段 不含端点 上一点 2PDA Q 1 当 是线段 的中点时 求 与平面 所成角的正弦值 QPACQPBD 2 已知二面角 的正弦值为 求 的值 BD 23A 23 在含有 个元素的集合 中 若这 个元素的一个排列 n 1 n n1a2 满足 则称这个排列为集合 的一个错位排列 例如 对于集合na 2 i 排列 是 的一个错位排列 排列 不是 的一个错位排列 记3 1 A 33A 1 32 3A 集合 的所有错位排列的个数为 n nD 1 直接写出 的值 1234 2 当 时 试用 表示 并说明理由 3 n 1n 3 试用数学归纳法证明 为奇数 2 DN 2017 2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学 试题参考答案 一 填空题 1 2 3 4 5 1 532yx 63316 6 7 8 9 10 254382 11 12 13 14 ae 61 53 0 1 二 解答题 15 解 1 由题意 4sin5 cos 所以 2 aba 2insco4 sin 45 35 2 因为 所以 即 ab2sin 14a 2sin 所以 sinco 14 2siico1 则 对锐角 有 所以 2si 2cos0 ta1 所以锐角 16 证明 1 连结 正三棱柱 中 且 则四MN1ABC 1 AC1 边形 是平行四边形 因为点 分别是棱 的中点 所以ACN 且 1 N1 又正三棱柱 中 且 所以 且 所B 1 AB1 1 MNB1 以四边形 是平行四边形 所以 又 平面 平面1M 1 A 1AN 所以 平面 B1A 2 正三棱柱 中 平面 1ABC 1A BC 平面 所以 N N 正 中 是 的中点 所以 又 平面 1A 1AC 1AC 所以 平面 又 平面 BN 1AD 1C 所以 D 由题意 所以 16 2CN 63132ANCD 又 所以 与 相似 则 1AN 1A CD1 所以 D 2 则 又 平面 1 1BN B1N 1AB 所以 平面 A 17 解 1 由题意得 解得 2314ab 241ab 所以椭圆 的标准方程为 C 214xy 2 由题意知 直线 的斜率存在且不为零 0 1 A 1l2 设直线 与直线 联立方程有 得 1l1ykx yx 1ykx 1 Ek 设直线 同理 2l111 Fk 因为 所以 OEF 11 k 无实数解 11k 10k 解得 11k 12k 10k 12k 综上可得 直线 的斜率为 l 18 解 1 设 由题 中 OPQ RtOAQ 3 AQOC 23 所以 在 中 32P 36 由正弦定理得 sinsiOQP 即 所以 3sii 6 3insi 6 5sin 则 所以 53sinicos5si13cosi2 3sico 因为 为锐角 所以 所以 得 cos0 3tan 6 2 设 在 中 OPQ OP2Q 36 由正弦定理得 即 sinsiOQP 33sini 2 所以 3ii 2 i 2 cos cossn 从而 其中 i cos 3sin0 s 所以 tan3i 记 cos if 213sin f 0 令 存在唯一 使得 0fsin30 03sin 当 时 单调增 当 时 单调减 0 f f0 2 f f 所以当 时 最大 即 最大 tanOPQ 又 为锐角 从而 最大 此时 OPQ 3si 答 观赏效果达到最佳时 的正弦值为 19 解 1 函数 的定义域为 当 ygx 0 0a 2b 3 2fxc 恒成立 恒成立 即 3lnxx 3ln2cx 令 则 3 ln2x 21 12 1 x 令 得 在 上单调递增 0 1 x0 令 得 在 上单调递减 x 1 当 时 max 1c 2 当 时 3b 32 fxaxc 2 3fxa 由题意 对 恒成立 2 0fx 1 即实数 的值为 1 3af aa0 函数 的定义域为 yhx 0 当 时 0ab2c32fx 令 得 2 3fx f 10 1 1 fx 0 A 极小值 A 当 时 当 时 当 时 0 1 x 0fx 1 fx 1 0fx 对于 当 时 当 时 当 时 lng 0g 0gx1 x 当 时 当 时 当 时 0 1 hxf 1x hx 0hx 故函数 的值域为 y 0 20 解 1 由 得 两式作差得123nSa N 123nSa 即 12na 21n 所以 则 所13 2139S13na 0na 13n N 以数列 是首项为 公比为 的等比数列 na 所以 3 N 2 由题意 即 26jkia 3263jki 所以 其中 1jii 1j i 所以 3ji 39ki 所以 1212jiki 1ji 2ki 1 3 由 得 13nnabab 3n 21 21n 2 3 112 nn ab 1n 3 ab 23 3n 所以 即 21 n1 163n 所以 n N 又因为 得 所以 133ab 1b 2n N 从而 5 2 nTn 2 3nTa 当 时 当 时 当 时 1 3a 249Ta3n 1 下面证明 对任意正整数 都有 n 1n 1nTa 12 3 123n 12 3n 2 1 当 时 即 3 22 n 0 10nTa 所以当 时 递减 所以对任意正整数 都有 nTa3 3n 综上可得 满足等式 的正整数 的值为 和 13n n1 2017 2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学 附加题 参考答案 21 选做题 A 选修 4 1 几何证明选讲 证明 1 连接 因为 是圆 的直径 所以 ODBAO90ADB 2OB 因为 是圆 的切线 所以 C90C 又因为 所以 A 于是 得到 B AB 所以 从而 O2 2 解 由 及 得到 由切割线定理 2AB C1B 3A 所以 13CD 3D B 选修 4 2 矩阵与变换 解 1 40248150AB 2 由 解得 又因为 所1X 1AB5281 aXb 以 8a 5b C 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 在 中 令 得 sin 3 0 2 所以圆 的圆心的极坐标为 C 2 因为圆 的半径 P2cos24 于是圆 过极点 所以圆的极坐标方程为 D 选修 4 5 不等式选讲 证明 因为 都是正数 xy 所以 22310 22310yx 又因为 22 1 9xyxy 1xy 所以 1 必做题 22 解 1 以 为原点 为坐标轴 建立如图所示空间直角坐标系 DACDP 设 则 ABt 0 2 0 t 0 Bt t 0 2 Pt 0 Qt 所以 CQt B 2 设平面 的法向量 则 PD1 nxyz10nDP 即 解得 所以平面 的一个法向量 20txyz 20z B1 20 n 11cos nCQ 35t 1 则 与平面 所成角的正弦值为 PBD 2 由 1 知平面 的一个法向量为 设 则1 20 n 01 PQA QA Q 0 tt 2t 设平面 的法向量 则 即 2 0 DBtBD2 nxyz 20DnB 解得 所以平面 的一个法向量1txzy 10 x Q 2 2 n 由题意得 2121 cos 3n 12n 2225 1 所以 即 25 96105 03 因为 所以 则 3 2PQA 23 解 1 10D 2 32 49 2 12 nnD 理由如下 对 的元素的一个错位排列 若 分以下两类 nA1a2na1 k 若 这种排列是 个元素的错位排列 共有 个 1ka n 2nD 若 这种错位排列就是将 排列到第 到第 个位 k 2n 置上 不在第 个位置 其他元素也不在原先的位置 这种排列相当于 个元素的错k 1 位排列 共有 个 1nD 根据 的不同的取值 由加法原理得到 k 12 nnD 3 根据 2 的递推关系及 1 的结论 均为自然数 当 且 为奇数时 为偶数 从而 为偶数 n 1n 12 nnD 又 也是偶数 10D 故对任意正奇数 有 均为偶数 nD 下面用数学归纳法证明 其中 为奇数 2 N 当 时 为奇数 1n 2 假设当 时 结论成立 即 是奇数 则当 时 k2kD1nk 注意到 为偶数 又 是奇数 所以 为2 1 21 kkD 21k 2kD21kkD 奇数 又 为奇数 所以 即结论对 也成立 2 1 kk n 根据前面所述 对任意 都有 为奇数 nN 2n