函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：得，假设因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：0例2、（2006福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）（B）（C）（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0，b+c0，c+a0，证明：f（a）+f（b）+f（c）0。（12分）解：（1）f（x）是定义域R上的奇函数且为增函数。（2）由a+b0得a-b，由增函数f(a)f(-b)，且奇函数f（-b）=-f（b），得f（a）+f（b）0。同理可得f（b）+f（c）0，f（c）+f（a）0。相加得：f（a）+f（b）+f（c）0。例9、设函数f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，有，试判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论。（12分）解：，设，则，f（-x）=-f（x）；又f（x）的定义域关于原点对称，f（x）为奇函数。例10、设f（x）的定义域为（0，+），且在（0，+）是递增的，（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式。（12分）证明：（1），令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，。（2）解：，2=21=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），等价于：，且x0，x-30由f（x）定义域为（0，+）可得。，40，又f（x）在（0，+）上为增函数，。又x3，原不等式解集为：x|3x4。例11、如图1-3-1由A城运物到B城，先走一段水路AD，再走一段公路DB，已知水路运费是公路运费的一半，AC=40公里，BC=30公里，问码头D建在何处才能使运费最省？（12分）解：设AD=x公里，则CD=40-x公里，公里。设每公里的水路费用m，则每公里的路费为2m，由A城到B城的货物的总运费为：。令显然要求M最小值，只要求y最小值即可。把整理得：，对方程或（舍去）。把代入解得（公里）。答：将码头建在离A城约23公里处，运费最省。例12、已知，且。（1）设g（x）=ff（x），求g（x）的解析式；（2）设，试问是否存在实数，使在（-，-1）递减，且在（-1，0）上递增？解：（1），。又，。（2），任取，则。在上递减，且递减0，又，则恒成立,，由、知。解题点拨 本题综合性较强，考查的是复合函数解析式求法、恒等式成立的条件、复合函数单调性等知识点。对于第（2）问，通常可用函数单调性定义来求解，也可以从复合函数角度结合二次函数性质来求解。作业：1、为上的减函数，则 （ ） （A）（B）（C）（D）2、如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数，且最小值为5，那么在区间7，3上是（ ）A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为53、定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。4、已知二次函数满足，且方程有两个相等实根，若函数在定义域为上对应的值域为，求的值。5、 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（）若方程有两个相等的根，求的解析式；（）若的最大值为正数，求的取值范围。设的最大值，最小值。试求的表达式，并求出函数的最值。- 6 -