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规律探索一. 选择题1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A2015B3019.5C3018D3024考点：旋转的性质；弧长的计算.专题：规律型分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可解答：解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2=6，20154=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6504=3024故选：D点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A（31，50）B（32，47）C（33，46）D（34，42）考点：规律型：数字的变化类分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答：解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+（2n1）1008，即1008，解得：n，当n=31时，1+3+5+7+61=961；当n=32时，1+3+5+7+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：210241=2047，第32组的第一个数为：29621=1923，则2015是（+1）=47个数故A2015=（32，47）故选B点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题3.（2015湖北鄂州第10题3分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2 、A2B2C2D2 、D2E3E4B3 、A3B3C3D3 按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ） A B C D【答案】D. 考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形4. （2015山东威海，第12 题3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A BCD考点：正多边形和圆.专题：规律型分析：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得E1OD1=60，则E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2E1D1，于是可得OD2=E1D1=2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）22，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）92，然后化简即可解答：解：连结OE1，OD1，OD2，如图，六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，E1OD1=60，E1OD1为等边三角形，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，OD2E1D1，OD2=E1D1=2，正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）22，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）92=故选D点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆记住正六边形的边长等于它的半径5（2015山东日照 ，第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A36B45C55D66考点：完全平方公式.专题：规律型分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45故选B点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015山东临沂,第11题3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，.按照上述规律，第2015个单项式是（ ）(A) 2015x2015.(B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015.【答案】C【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n1），而后面因式x的指数是连续自然数，因此关于x的单项式是，所以第2015个单项式的系数为220151=4029，因此这个单项式为.故选C考点：探索规律7(2015河南，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3， 组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ） A.（2014,0） B.（2015，1） C. （2015,1） D. （2016,0）PO第8题O1xyO2O3B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.半圆的半径r=1，半圆长度=， 第2015秒点P运动的路径长为：2015， 2015=10071，点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方.此时点P的横坐标为：100821=2015，纵坐标为1，点P(2015，1) .图”中的“”的个数，若第n个“龟图”中有245个“”，则n=（）A14B15C16D17考点：规律型：图形的变化类.分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n1）+5据此可以再求得“龟图”中有245个“”是n的值解答：解：第一个图形有：5个，第二个图形有：21+5=7个，第三个图形有：32+5=11个，第四个图形有：43+5=17个，由此可得第n个图形有：n（n1）+5个，则可得方程：n（n1）+5=245解得：n1=16，n2=15（舍去）故选：C点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形8. （2015四川省宜宾市，第7题，3分）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、20，阴影部分是由第l个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ B ）A.231 B.210 C.190 D.1719. （2015浙江宁波，第10题4分）如图，将ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为；还原纸片后，再将ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为，若=1，则的值为【 】A. B. C. D. 【答案】D.【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理. 【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE是ABC的中位线，D1E1是A D1E1的中位线，D2E2是A2D2E1的中位线，.故选D.二.填空题1（2015甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，依此类推，那么第9个三角形数是 45 ，2016是第 63 个三角形数 考点：规律型：数字的变化类分析：根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+n，由此代入分别求得答案即可解答：解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+n=2016，n（n+1）=4032，解得：n=63故答案为：45，63点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题 2. （2015浙江衢州,第15题4分）已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60，经过2015次翻转之后，点的坐标是 .【答案】【考点】探索规律题（图形的变化类循环问题）；正六边形的性质；含30度角角三角形的性质 【分析】如答图，根据翻转的性质，每6次为一个循环组依次循环.，经过2015次翻转之后，为第336个循环组的第5步.，在中，.在中，.的横坐标为，纵坐标为.经过2015次翻转之后，点的坐标是3. （2015浙江湖州，第16题4分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推，若A1C1=2，且点A，D2， D3，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_【答案】.考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.4. （2015四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类.专题：压轴题分析：本题可分别写出n=1，2，3，所对应的火柴棒的根数然后进行归纳即可得出最终答案解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=21（1+1）；n=2，根数为：12=22（2+1）；n=3，根数为：24=23（3+1）；n=n时，根数为：2n（n+1）点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的5(2015深圳，第15题 分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有 个太阳。【答案】21【解析】第一行的规律是1，2，3，4，故第五个数是5；第二行的规律是1，2，4，8，故第五个数是16；故第五个图中共有21个太阳。6(2015南宁，第18题3分)如图9，在数轴上，点A表示1，现将点A沿轴做如下移动，第一次点A向左移动3 个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点AN，如果点AN与原点的距离不小于20，那么的最小值是 考点：规律型：图形的变化类；数轴.分析：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为173=20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点An与原点的距离不小于20时，n的最小值是13解答：解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，13=22；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为49=5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为715=8；则A7表示的数为83=11，A9表示的数为113=14，A11表示的数为143=17，A13表示的数为173=20，A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13故答案为：13点评：本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键7(2015贵州六盘水，第17题4分)在正方形A1B1C1O和A2B2C2C1，按如图9所示方式放置，在直线 上，点C1，C2在x轴上，已知A1点的坐标是（0，1），则点B2的坐标为 考点：一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质.专题：规律型分析：根据直线解析式先求出OA1=1，求得第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的边长为2，即可求得B2的坐标解答：解：直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，OA1=1，OD=1，ODA1=45，A2A1B1=45，A2B1=A1B1=1，A2C1=C1C2=2，OC2=OC1+C1C2=1+2=3，B2（3，2）故答案为（3，2）点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；求出第一个正方形、第二个正方形的边长是解决问题的关键8. （2015山东莱芜,第17题4分）已知：，观察上面的计算过程，寻找规律并计算 【答案】210【解析】试题分析：对于（ba）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘到ab+1，共b个数相乘因此其规律是：；C106=210考点：规律探索9（2015湖北省孝感市，第15题3分）观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；，则1+3+5+2015 考点：规律型：数字的变化类.分析：根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；，可得1+3+5+（2n1）=n2，据此求出1+3+5+2015的值是多少即可解答：解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；，所以1+3+5+2015=1+3+5+（210081）=10082=1016064故答案为：1016064点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+（2n1）=n210 （2015湖南省益阳市，第13题5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成1的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，则第n个图案中有5n+1根小棒考点：规律型：图形的变化类分析：由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有25+21=11根小棒，第3个图案中有35+32=16根小棒，由此得出第n个图案中有5n+n（n1）=5n+1根小棒解答：解：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有25+21=11根小棒，第3个图案中有35+32=16根小棒，第n个图案中有5n+n（n1）=5n+1根小棒故答案为：5n+1点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题11 （2015湖南省衡阳市，第20题3分）如图，都是等腰直角三角形其中点，在轴上，点，在直线上已知，则的长为 12、（2015湖南省常德市，第16题3分）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1。这个结论在数学上还没有得到证明。但举例验证都是正确的。例如：取自然数5。最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值为。【解答与分析】此题阅读量大，主要是通过逆推法，抓住重点，自然数；中的一定是自然数故可得答案为：128,21,20,313(2015湖南株洲,第16题3分)“皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，和中有一个表示多边形那边上(含原点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是还是表示多边形内部的整点的个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是；并运用这个公式求得如图2中多边形的面积是【试题分析】本题考点：找到规律，求出表示的意义；由图1的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为8，里面的点为1；由公式可知，为偶数，故，即为边上整点的个数，为形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证：，代入公式6；利用长宽也可以算出6，验证正确。利用数出公式中的，代入公式求得S17.5答案为：17.514(2015黑龙江绥化，第20题 分)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出a+b+c=_考点：规律型：数字的变化类分析：观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解解答：解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，可得：a=10，c=9，b=91，所以a+b+c=10+9+91=110，故答案为：110点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键15.（2015江苏徐州,第17题3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n1考点：正方形的性质.专题：规律型分析：首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题解答：解：四边形ABCD为正方形，AB=BC=1，B=90，AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3，第n个正方形的边长an=（）n1故答案为（）n1点评：该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用.16 .（2015山东东营,第18题4分）如图放置的OAB1，B1A1B2，B2A2B3，都是边长为1的等边三角形，点A在轴上，点O，B1，B2，B3，都在直线上，则点A2015的坐标是 【答案】(,)【解析】试题分析：由题意可知点B1的坐标为（，），所以点A1的坐标为（，）；点B2的坐标为（1，），所以点A2的坐标为（2，）；点B3的坐标为（，），所以点A3的坐标为（，）；点B4的坐标为（2，2），所以点A4的坐标为（3，2）；所以点A2015的坐标为（+1，），即(,)考点：规律题.17.（2015山东聊城,第17题3分）如图，ABC的三个顶点和它内部的点P1，把ABC分成3个互不重叠的小三角形；ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把ABC分成5个互不重叠的小三角形；ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把ABC分成7个互不重叠的小三角形；ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、Pn，把ABC分成3+2（n1）个互不重叠的小三角形考点：规律型：图形的变化类.分析：利用图形得到，ABC的三个顶点和它内部的点P1，把ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+20；ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+21；ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把ABC分成互不重叠的小三角形的个数=3+22，即分成的互不重叠的小三角形的个数为3加上P点的个数与1的差的2倍，从而得到ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、Pn，把ABC分成的互不重叠的小三角形的个数解答：解：如图，ABC的三个顶点和它内部的点P1，把ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+20，ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+21，ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+22，所以ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、Pn，把ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2（n1）故答案为3+2（n1）点评：本题考查了规律型：图形的变化类：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，然后通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解18. （2015四川甘孜、阿坝，第25题4分）如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，则顶点A20的坐标为（5，5）考点：规律型：点的坐标.分析：由=5易得A20在第二象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标解答：解：=5，A20在第二象限，A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，1），同理可得：A8的坐标为（2，2），A12的坐标为（3，3），A20的坐标为（5，5），故答案为：（5，5）点评：本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限19（2015山东潍坊第17 题3分）如图，正ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正AB1C1，ABC与AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正AB2C2，AB1C1与AB2C2公共部分的面积记为S2；，以此类推，则Sn=（）n（用含n的式子表示）考点：等边三角形的性质.专题：规律型分析：由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn解答：解：等边三角形ABC的边长为2，AB1BC，BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，S1=（）2=（）1；等边三角形AB1C1的边长为，AB2B1C1，B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，S2=（）2=（）2；依此类推，Sn=（）n故答案为：（）n点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键20. （2015山东济宁，15，3分）若, ,则 【答案】n(n+1)(4n+3)【解析】试题分析：根据各个式子的特点可知：第一个等式中，右边相乘的第一个数是1，第二个数是1+1，第三个数是等号左边最后一个数32+1；第二个等式中，右边相乘的第一个数是2，第二个数是2+1，第三个数是等号左边最后一个数52+1；第三个等式中，右边相乘的第一个数是3，第二个数是3+1，第三个数是等号左边最后一个数72+1；第n个等式中，右边相乘的第一个数是n，第二个数是n+1，第三个数是等号左边最后一个数（2n+1）2+1=4n+3；因此结果为n(n+1)(4n+3).考点：规律探索21（2015广东省,第15题，4分）观察下列一组数：，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 .【答案】.【考点】探索规律题（数字的变化类）.【分析】观察得该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第个数为，所以，第10个数是.22（2015安徽省,第13题，5分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 考点：规律型：数字的变化类.分析：首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可解答：解：2122=23，2223=25，2325=28，2528=213，x、y、z满足的关系式是：xy=z故答案为：xy=z点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征23. （2015四川成都,第23题4分）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，A1B1C160，对角线A1C1，B1D1相交于点O以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2菱形B1C2D1A2，再以B2B2为对角线作菱形B2C3D2A3菱形A2B2C2D2，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，An，则点An的坐标为_B2yB1C2C3A2A3A1OC1D1D2x【答案】：（3 n1，0）【解析】：由题意，点A1的坐标为（1，0），点A2的坐标为（3，0），即（3 21，0）点A3的坐标为（9，0），即（3 31，0）点A4的坐标为（27，0），即（3 41，0）点An的坐标为（3 n1，0）三.解答题1(2015贵州六盘水，第22题10分)毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数考点：规律型：图形的变化类.分析：首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=211、3=221、5=231，可得第六层的几何点数是261=11，第n层的几何点数是2n1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=312、2=322、3=332，可得第六层的几何点数是362=16，第n层的几何点数是3n2；最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是1=413、5=423、9=433，可得第六层的几何点数是463=21，第n层的几何点数是4n3，据此解答即可解答：解：前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；前三层正方形的几何点数分别是：1=211、3=221、5=231，第六层的几何点数是：261=11，第n层的几何点数是2n1；前三层五边形的几何点数分别是：1=312、2=322、3=332，第六层的几何点数是：362=16，第n层的几何点数是3n2；前三层六边形的几何点数分别是：1=413、5=423、9=433，第六层的几何点数是：463=21，第n层的几何点数是4n3名称及图形几何点数层数三角形数正方形数五边形数六边形数第一层几何点数1111第二层几何点数2345第三层几何点数3579第六层几何点数6111621第n层几何点数n2n13n24n3故答案为：6、11、16、21、n、2n1、3n2、4n3点评：此题主要考查了图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题2、（2015四川自贡,第22题12分）观察下表: 我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为.回答下列问题：. 第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第格的“特征多项式”为 ；.若第1格的“特征多项式”的值为 10，第2格的“特征多项式”的值为 16.求的值；.在此条件下，第的特征是否有最小值？若有，求出最小值和相应的值.若没有，请说明理由.考点：找规律列多项式、解二元一次方程组、二次函数的性质、配方求值等.分析：1. 本问主要是抓住的排列规律；在第格是按排，每排是个来排列的；在第格是按排，每排是个来排列的；根据这个规律第问可获得解决.按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出的值. .求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第格的“特征多项式”和求出了的值，所以可以建立最小值关于的二次函数，根据二次函数的性质最小值便可求得.略解：. 第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为，第格的“特征多项式”为（为正整数）；.依题意： 解之得: .设最小值为,依题意得: 坚持就是胜利！ 答：有最小值为，相应的的值为12. 3. （2015浙江滨州,第20题9分）根据要求，解答下列问题.（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):1 . 2 . 3 .（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 .（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.【答案】（1） （2）x=y【解析】试题分析：（1）快速利用代入消元法或加减消元法求解；（2）根据（1）发现特点是x=y；（3）类比写出符合x=y的方程组，直接写出解即可.试题解析：解：（1）1 2 3 （2）x=y. （3）酌情判分,其中写出正确的方程组与解各占1分.考点：消元法解二元一次方程组，规律探索4(2015湖南株洲,第21题6分)P表示边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P与的关系式是 (其中，是常数，)(1)填空：通过画图可得：四边形时，P(填数字)，五边形时，P(填数字)(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求的值(注：本题的多边形均指凸多边形)【试题分析】本题考点：待定系数法求出，二元一次方程组(1)由画图可得，当时，当时，(2)将上述值代入公式可得：化简得： 解之得：5 , (2015山东青岛，第23题,10分)问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？问题探究：不妨假设能搭成种不同的等腰三角形，为探究之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论探究一：（1） 用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形。所以，当时，（2） 用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形 所以，当时，（3） 用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当时，（4） 用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当时，综上所述，可得表 34561011探究二：（1） 用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表中）（2） 分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表中）78910你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，解决问题：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （设分别等于、，其中是整数，把结果填在表中）问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （要求写出解答过程）其中面积最大的等腰三角形每个腰用了_根木棒。（只填结果）【答案】n=7，m=2；503个；672. （1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形 若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当时，789102122 问题应用：2016=4504 所以k=504，则可以搭成k1=503个不同的等腰三角形； 672考点：等腰三角形的性质.第 31 页 共 31 页
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