2017中考复习-圆综合题

2017中考复习圆综合题1如图，在RtABC中，ABC=90，AB=CB，以AB为直径的O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交O于点G，DFDG，且交BC于点F（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GBEF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长2如图，AB为O的直径，直线CD切O于点M，BECD于点E（1）求证：BME=MAB；（2）求证：BM2=BEAB；（3）若BE=，sinBAM=，求线段AM的长3我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦你可以利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN（南北方向）为直径的O上，MN=8，PQMN交O于点Q，垂足为H，PQMN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF（1）比较与的大小；（2）若OH=2，求证：OPCD；（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为，试确定cos=时，点P的位置4如图，ABC内接于O，BD为O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且A=EBC（1）求证：BE是O的切线；（2）已知CGEB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BGBA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值5如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，6），B（8，0）三点在P上（1）求圆的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧的中点，求证：AM是OAB的平分线；（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标6如图，在O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作DAF=DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8（1）求证：DF是O的切线；（2）求证：OC2=OEOP；（3）求线段EG的长7如图，在RtABC中，ACB=90，AO是ABC的角平分线以O为圆心，OC为半径作O（1）求证：AB是O的切线（2）已知AO交O于点E，延长AO交O于点D，tanD=，求的值（3）在（2）的条件下，设O的半径为3，求AB的长8如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，交BC于点D，过点E做直线lBC（1）判断直线l与O的位置关系，并说明理由；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长9如图，在RtABC中，C=90，以BC为直径的O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH（1）求证：MH为O的切线（2）若MH=，tanABC=，求O的半径（3）在（2）的条件下分别过点A、B作O的切线，两切线交于点D，AD与O相切于N点，过N点作NQBC，垂足为E，且交O于Q点，求线段NQ的长度10已知：ABC内接于O，D是上一点，ODBC，垂足为H（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；（2）如图2，当圆心O在ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：ACD=APB；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为O的弦，BFOE于点R交DE于点G，若ACDABD=2BDN，AC=5，BN=3，tanABC=，求BF的长11如图，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分线，ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F（1）求证：AE为O的切线（2）当BC=8，AC=12时，求O的半径（3）在（2）的条件下，求线段BG的长12已知，如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFBC于点F，交O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且ODB=AEC（1）求证：BD是O的切线；（2）求证：CE2=EHEA；（3）若O的半径为5，sinA=，求BH的长13已知：AB是O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在O上，连接PQ（1）如图，线段PQ所在的直线与O相切，求线段PQ的长；（2）如图，线段PQ与O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；求线段PQ的长14已知：O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E（1）如图1，求证：EAEC=EBED；（2）如图2，若=，AD是O的直径，求证：ADAC=2BDBC；（3）如图3，若ACBD，点O到AD的距离为2，求BC的长15如图，在直角坐标系中，M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且COD=CBO（1）求M的半径；（2）求证：BD平分ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为M的切线，求此时点E的坐标16如图，AB是O的直径，C、G是O上两点，且AC=CG，过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F（1）求证：CD是O的切线（2）若，求E的度数（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长17如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作RtABQ，使BAQ=90，AQ：AB=3：4，作ABQ的外接圆O点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线ml，过点O作ODm于点D，交AB右侧的圆弧于点E在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF设AQ=3x（1）用关于x的代数式表示BQ，DF（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？作直线BG交O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）18如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2（1）求证：AC平分BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求ABC的面积19如图，AB是O的直径，AB=6，过点O作OHAB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CDOA，CEOH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且GCD=CED（1）求证：GC是O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CFDE于点F，若CED=30，求CF的长 20如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CGCE21O是ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB（1）如图1，若D是线段OP的中点，求BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PHAB22如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上（1）试说明CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的直径AB的长 23AB，CD是O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BFAD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G（1）如图1，当点E在O外时，连接BC，求证：BE平分GBC；（2）如图2，当点E在O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分ABF，AG=4，tanD=，求线段AH的长24已知O是以AB为直径的ABC的外接圆，ODBC交O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F（1）求证：BD平分ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是O的切线；（3）如果AB=10，cosABC=，求AD 25如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点（1）求FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，求证：FD=FI；设AC=2m，BD=2n，求O的面积与菱形ABCD的面积之比26已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CDAB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cosAOC=，设OP=x，CPF的面积为y（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE是直角三角形时，求线段OP的长27已知RtABC中，AB是O的弦，斜边AC交O于点D，且AD=DC，延长CB交O于点E（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作O的切线，交AC的延长线于点F若CF=CD时，求sinCAB的值；若CF=aCD（a0）时，试猜想sinCAB的值（用含a的代数式表示，直接写出结果）28如图1，ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，交BC于点E（BEEC），且BD=2过点D作DFBC，交AB的延长线于点F（1）求证：DF为O的切线；（2）若BAC=60，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长29在ABC的外接圆O中，ABC的外角平分线CD交O于点D，F为上点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：BCDAFD；（3）若ACM=120，O的半径为5，DC=6，求DE的长30如图，四边形ABCD是O的内接正方形，AB=4，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点（1）如图1，求O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作AMN=90，交直线CP于点N，求证：AM=MN答案1（2016包头）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=CB，以AB为直径的O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交O于点G，DFDG，且交BC于点F（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GBEF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出A与C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出A=FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可【解答】（1）证明：连接BD，在RtABC中，ABC=90，AB=BC，A=C=45，AB为圆O的直径，ADB=90，即BDAC，AD=DC=BD=AC，CBD=C=45，A=FBD，DFDG，FDG=90，FDB+BDG=90，EDA+BDG=90，EDA=FDB，在AED和BFD中，AEDBFD（ASA），AE=BF；（2）证明：连接EF，BG，AEDBFD，DE=DF，EDF=90，EDF是等腰直角三角形，DEF=45，G=A=45，G=DEF，GBEF；（3）AE=BF，AE=1，BF=1，在RtEBF中，EBF=90，根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，EB=2，BF=1，EF=，DEF为等腰直角三角形，EDF=90，cosDEF=，EF=，DE=，G=A，GEB=AED，GEBAED，=，即GEED=AEEB，GE=2，即GE=，则GD=GE+ED=【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键2（2016青海）如图，AB为O的直径，直线CD切O于点M，BECD于点E（1）求证：BME=MAB；（2）求证：BM2=BEAB；（3）若BE=，sinBAM=，求线段AM的长【分析】（1）由切线的性质得出BME+OMB=90，再由直径得出AMB=90，利用同角的余角相等判断出结论；（2）由（1）得出的结论和直角，判断出BMEBAM，即可得出结论，（3）先在RtBEM中，用三角函数求出BM，再在RtABM中，用三角函数和勾股定理计算即可【解答】解：（1）如图，连接OM，直线CD切O于点M，OMD=90，BME+OMB=90，AB为O的直径，AMB=90AMO+OMB=90，BME=AMO，OA=OM，MAB=AMO，BME=MAB；（2）由（1）有，BME=MAB，BECD，BEM=AMB=90，BMEBAM，BM2=BEAB；（3）由（1）有，BME=MAB，sinBAM=，sinBME=，在RtBEM中，BE=，sinBME=，BM=6，在RtABM中，sinBAM=，sinBAM=，AB=BM=10，根据勾股定理得，AM=8【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直径，相似三角形的性质和判定，三角函数，解本题的关键是判断出，BMEBAM3（2016泉州）我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦你可以利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN（南北方向）为直径的O上，MN=8，PQMN交O于点Q，垂足为H，PQMN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF（1）比较与的大小；（2）若OH=2，求证：OPCD；（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为，试确定cos=时，点P的位置【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PHEF可判断PH平分FPE，然后根据圆周角定理得到=；（2）连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，先计算出PH=2，则可判断OPH为等腰直角三角形得到OPQ=45，再判断OPQ为等腰直角三角形得到POQ=90，然后根据垂径的推理由=得到OQCD，则根据平行线的判定方法得OPCD；（3）直线CD交MN于A，如图，由特殊角的三角函数值得=30，即直线MN、CD相交所成的锐角为30，利用OBCD得到AOB=60，则POH=60，然后在RtPOH中利用正弦的定义计算出PH即可【解答】（1）解：PE=PF，PHEF，PH平分FPE，DPQ=CPQ，=；（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，OH=2，OP=4，PH=2，OPH为等腰直角三角形，OPQ=45，而OP=OQ，OPQ为等腰直角三角形，POQ=90，OPOQ，=，OQCD，OPCD；（3）解：直线CD交MN于A，如图，cos=，=30，即直线MN、CD相交所成的锐角为30，而OBCD，AOB=60，OHPQ，POH=60，在RtPOH中，sinPOH=，PH=4sin60=2，即点P到MN的距离为2【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算4（2016泸州）如图，ABC内接于O，BD为O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且A=EBC（1）求证：BE是O的切线；（2）已知CGEB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BGBA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值【分析】（1）欲证明BE是O的切线，只要证明EBD=90（2）由ABCCBG，得=求出BC，再由BFCBCD，得BC2=BFBD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题【解答】（1）证明：连接CD，BD是直径，BCD=90，即D+CBD=90，A=D，A=EBC，CBD+EBC=90，BEBD，BE是O切线（2）解：CGEB，BCG=EBC，A=BCG，CBG=ABCABCCBG，=，即BC2=BGBA=48，BC=4，CGEB，CFBD，BFCBCD，BC2=BFBD，DF=2BF，BF=4，在RTBCF中，CF=4，CG=CF+FG=5，在RTBFG中，BG=3，BGBA=48，即AG=5，CG=AG，A=ACG=BCG，CFH=CFB=90，CHF=CBF，CH=CB=4，ABCCBG，=，AC=，AH=ACCH=【点评】本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题5（2016赤峰）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，6），B（8，0）三点在P上（1）求圆的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧的中点，求证：AM是OAB的平分线；（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为P的直径，则得到P的半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标；（2）根据圆周角定理由=，OAM=MAB，于是可判断AM为OAB的平分线；（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PMOB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾股定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为BON的中位线得到ON=2MQ=4，然后写出N点的坐标【解答】解：（1）O（0，0），A（0，6），B（8，0），OA=6，OB=8，AB=10，AOB=90，AB为P的直径，P的半径是5点P为AB的中点，P（4，3）；（2）M点是劣弧OB的中点，=，OAM=MAB，AM为OAB的平分线；（3）连接PM交OB于点Q，如图，=，PMOB，BQ=OQ=OB=4，在RtPBQ中，PQ=3，MQ=2，M点的坐标为（4，2）；MQON，而OQ=BQ，MQ为BON的中位线，ON=2MQ=4，N点的坐标为（0，4）【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；理解坐标与图形的性质，记住线段的中点坐标公式，会利用勾股定理计算线段的长此类题目通常解由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形6（2016恩施州）如图，在O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作DAF=DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8（1）求证：DF是O的切线；（2）求证：OC2=OEOP；（3）求线段EG的长【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出DAB=ADO，再由已知条件得出ADO=DAF，证出ODAF，由已知DFAF，得出DFOD，即可得出结论；（2）由射影定理得出OD2=OEOP，由OC=OD，即可得出OC2=OEOP；（3）由垂径定理得出DE=CE=4，OEC=90，由相交弦定理得出DE2=AEBE，求出BE=2，得出直径CG=AB=AE+BE=10，半径OC=CG=5，由三角函数的定义得出cosC=，在CEG中，由余弦定理求出EG2，即可得出EG的长【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：OA=OD，DAB=ADO，DAF=DAB，ADO=DAF，ODAF，又DFAF，DFOD，DF是O的切线；（2）证明：由（1）得：DFOD，ODF=90，ABCD，由射影定理得：OD2=OEOP，OC=OD，OC2=OEOP；（3）解：ABCD，DE=CE=4，OEC=90，由相交弦定理得：DE2=AEBE，即42=8BE，解得：BE=2，CG=AB=AE+BE=8+2=10，OC=CG=5，cosC=，在CEG中，由余弦定理得：EG2=CG2+CE22CGCEcosC=102+422104=52，EG=2【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用相交弦定理、三角函数和余弦定理采才能得出结果7（2016鄂州）如图，在RtABC中，ACB=90，AO是ABC的角平分线以O为圆心，OC为半径作O（1）求证：AB是O的切线（2）已知AO交O于点E，延长AO交O于点D，tanD=，求的值（3）在（2）的条件下，设O的半径为3，求AB的长【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与O有交点，所以过点O作OFAB于点F，然后证明OC=OF即可；（2）连接CE，先求证ACE=ODC，然后可知ACEADC，所以，而tanD=；（3）由（2）可知，AC2=AEAD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，OFBABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度【解答】（1）如图，过点O作OFAB于点F，AO平分CAB，OCAC，OFAB，OC=OF，AB是O的切线；（2）如图，连接CE，ED是O的直径，ECD=90，ECO+OCD=90，ACB=90，ACE+ECO=90，ACE=OCD，OC=OD，OCD=ODC，ACE=ODC，CAE=CAE，ACEADC，tanD=，=，=；（3）由（2）可知：=，设AE=x，AC=2x，ACEADC，AC2=AEAD，（2x）2=x（x+6），解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，OFB=ACB=90，B=B，OFBACB，=，设BF=a，BC=，BO=BCOC=3，在RtBOF中，BO2=OF2+BF2，（3）2=32+a2，解得：a=或a=0（不合题意，舍去），AB=AF+BF=【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明ACEADC本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高8（2016德州）如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，交BC于点D，过点E做直线lBC（1）判断直线l与O的位置关系，并说明理由；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长【分析】（1）连接OE、OB、OC由题意可证明，于是得到BOE=COE，由等腰三角形三线合一的性质可证明OEBC，于是可证明OEl，故此可证明直线l与O相切；（2）先由角平分线的定义可知ABF=CBF，然后再证明CBE=BAF，于是可得到EBF=EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可；（3）先求得BE的长，然后证明BEDAEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长【解答】解：（1）直线l与O相切理由：如图1所示：连接OE、OB、OCAE平分BAC，BAE=CAEBOE=COE又OB=OC，OEBClBC，OEl直线l与O相切（2）BF平分ABC，ABF=CBF又CBE=CAE=BAE，CBE+CBF=BAE+ABF又EFB=BAE+ABF，EBF=EFBBE=EF（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7DBE=BAE，DEB=BEA，BEDAEB，即，解得；AE=AF=AEEF=7=【点评】本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得EBF=EFB是解题的关键9（2016大庆）如图，在RtABC中，C=90，以BC为直径的O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH（1）求证：MH为O的切线（2）若MH=，tanABC=，求O的半径（3）在（2）的条件下分别过点A、B作O的切线，两切线交于点D，AD与O相切于N点，过N点作NQBC，垂足为E，且交O于Q点，求线段NQ的长度【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是ABC的中位线，利用中位线的性质可证明COHMOH，所以HCO=HMO=90，从而可知MH是O的切线；（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tanABC=，所以BC=4，从而可知O的半径为2；（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是O的切线可知AOCN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ【解答】解：（1）连接OH、OM，H是AC的中点，O是BC的中点，OH是ABC的中位线，OHAB，COH=ABC，MOH=OMB，又OB=OM，OMB=MBO，COH=MOH，在COH与MOH中，COHMOH（SAS），HCO=HMO=90，MH是O的切线；（2）MH、AC是O的切线，HC=MH=，AC=2HC=3，tanABC=，=，BC=4，O的半径为2；（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，AC与AN都是O的切线，AC=AN，AO平分CAD，AOCN，AC=3，OC=2，由勾股定理可求得：AO=，ACOC=AOCI，CI=，由垂径定理可求得：CN=，设OE=x，由勾股定理可得：CN2CE2=ON2OE2，（2+x）2=4x2，x=，OE=，由勾股定理可求得：EN=，由垂径定理可知：NQ=2EN=【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来10（2016哈尔滨）已知：ABC内接于O，D是上一点，ODBC，垂足为H（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；（2）如图2，当圆心O在ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：ACD=APB；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为O的弦，BFOE于点R交DE于点G，若ACDABD=2BDN，AC=5，BN=3，tanABC=，求BF的长【分析】（1）ODBC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；（2）由垂径定理可知：，所以BAD=CAD，由因为ABC=ADC，所以ACD=APB；（3）由ACDABD=2BDN可知AND=90，由tanABC=可知NQ和BQ的长度，再由BFOE和ODBC可知GBN=ABC，所以BG=BQ，连接AO并延长交O于点I，连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tanOED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度【解答】解：（1）ODBC，由垂径定理可知：点H是BC的中点，点O是AB的中点，OH是ABC的中位线，AC=2OH；（2）ODBC，由垂径定理可知：，BAD=CAD，ABC=ADC，180BADABC=180CADADC，ACD=APB，（3）连接AO延长交于O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，ACDABD=2BDN，ACDBDN=ABD+BDN，ABD+BDN=AND，ACDBDN=AND，ACD+ABD=180，ABD+BDN=180AND，AND=180AND，AND=90，tanABC=，BN=3，NQ=，由勾股定理可求得：BQ=，BNQ=QHD=90，ABC=QDH，OE=OD，OED=QDH，ERG=90，OED=GBN，GBN=ABC，ABED，BG=BQ=，GN=NQ=，AI是O直径，ACI=90，tanAIC=tanABC=，=，IC=10，由勾股定理可求得：AI=25，连接OB，设QH=x，tanABC=tanODE=，HD=2x，OH=ODHD=2x，BH=BQ+QH=+x，由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2，（）2=（+x）2+（2x）2，解得：x=或x=，当QH=时，QD=QH=，ND=QD+NQ=6，MN=3，MD=15MD，QH=不符合题意，舍去，当QH=时，QD=QH=ND=NQ+QD=4，由垂径定理可求得：ED=10，GD=GN+ND=EG=EDGD=，tanOED=，EG=RG，RG=，BR=RG+BG=12由垂径定理可知：BF=2BR=24【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，中位线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来11（2015鄂州）如图，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分线，ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F（1）求证：AE为O的切线（2）当BC=8，AC=12时，求O的半径（3）在（2）的条件下，求线段BG的长【分析】（1）连接OM利用角平分线的性质和平行线的性质得到AEOM后即可证得AE是O的切线；（2）设O的半径为R，根据OMBE，得到OMABEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得O的半径为3；（3）过点O作OHBG于点H，则BG=2BH，根据OME=MEH=EHO=90，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2【解答】（1）证明：连接OMAC=AB，AE平分BAC，AEBC，CE=BE=BC=4，OB=OM，OBM=OMB，BM平分ABC，OBM=CBM，OMB=CBM，OMBC又AEBC，AEOM，AE是O的切线；（2）设O的半径为R，OMBE，OMABEA，=即=，解得R=3，O的半径为3；（3）过点O作OHBG于点H，则BG=2BH，OME=MEH=EHO=90，四边形OMEH是矩形，HE=OM=3，BH=1，BG=2BH=2【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大12（2015荆门）已知，如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFBC于点F，交O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且ODB=AEC（1）求证：BD是O的切线；（2）求证：CE2=EHEA；（3）若O的半径为5，sinA=，求BH的长【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出ODB=ABC，再证出ABC+DBF=90，即OBD=90，即可得出BD是O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出CAE=ECB，再由公共角CEA=HEC，证明CEHAEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出AEB=90，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可【解答】（1）证明：ODB=AEC，AEC=ABC，ODB=ABC，OFBC，BFD=90，ODB+DBF=90，ABC+DBF=90，即OBD=90，BDOB，BD是O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：OFBC，CAE=ECB，CEA=HEC，CEHAEC，CE2=EHEA；（3）解：连接BE，如图2所示：AB是O的直径，AEB=90，O的半径为5，sinBAE=，AB=10，BE=ABsinBAE=10=6，EA=8，BE=CE=6，CE2=EHEA，EH=，在RtBEH中，BH=【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果13（2015福建）已知：AB是O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在O上，连接PQ（1）如图，线段PQ所在的直线与O相切，求线段PQ的长；（2）如图，线段PQ与O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；求线段PQ的长【分析】（1）如图，连接OQ利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度（2）如图，连接BC利用三角形中位线的判定与性质得到BCOQ根据圆周角定理推知BCAC，所以，OQAC（3）利用割线定理来求PQ的长度即可【解答】解：（1）如图，连接OQ线段PQ所在的直线与O相切，点Q在O上，OQOP又BP=OB=OQ=2，PQ=2，即PQ=2；（2）OQAC理由如下：如图，连接BCBP=OB，点B是OP的中点，又PC=CQ，点C是PQ的中点，BC是PQO的中位线，BCOQ又AB是直径，ACB=90，即BCAC，OQAC（3）如图，PCPQ=PBPA，即PQ2=26，解得PQ=2【点评】本题考查了圆的综合题掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算14（2015宿迁）已知：O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E（1）如图1，求证：EAEC=EBED；（2）如图2，若=，AD是O的直径，求证：ADAC=2BDBC；（3）如图3，若ACBD，点O到AD的距离为2，求BC的长【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到BAC=ADB=ACB，且AF=CF=0.5AC证得CBFABD即可得到结论；（3）如图3，连接AO并延长交O于F，连接DF得到AF为O的直径于是得到ADF=90，过O作OHAD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过ABEADF，得到1=2，于是结论可得【解答】（1）证明：EAD=EBC，BCE=ADE，AEDBEC，EAEC=EBED；（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点FB是弧AC的中点，BAC=ADB=ACB，且AF=CF=0.5AC又AD为O直径，ABD=90，又CFB=90CBFABD，故CFAD=BDBCACAD=2BDBC；（3）解：如图3，连接AO并延长交O于F，连接DF，AF为O的直径，ADF=90，过O作OHAD于H，AH=DH，OHDF，AO=OF，DF=2OH=4，ACBD，AEB=ADF=90，ABD=F，ABEADF，1=2，BC=DF=4【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键15（2015长沙）如图，在直角坐标系中，M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且COD=CBO（1）求M的半径；（2）求证：BD平分ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为M的切线，求此时点E的坐标【分析】（1）由点A（，0）与点B（0，），可求得线段AB的长，然后由AOB=90，可得AB是直径，继而求得M的半径；（2）由圆周角定理可得：COD=ABC，又由COD=CBO，即可得BD平分ABO；（3）首先过点A作AEAB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EFOA于点F，易得AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标【解答】解：（1）点A（，0）与点B（0，），OA=，OB=，AB=2，AOB=90，AB是直径，M的半径为：；（2）COD=CBO，COD=CBA，CBO=CBA，即BD平分ABO；（3）如图，过点A作AEAB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EFOA于点F，即AE是切线，在RtAOB中，tanOAB=，OAB=30，ABO=90OAB=60，ABC=OBC=ABO=30，OC=OBtan30=，AC=OAOC=，ACE=ABC+OAB=60，EAC=60，ACE是等边三角形，AE=AC=，AF=AE=，EF=AE=，OF=OAAF=，点E的坐标为：（，）【点评】此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识注意准确作出辅助线是解此题的关键16（2015南宁）如图，AB是O的直径，C、G是O上两点，且AC=CG，过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F（1）求证：CD是O的切线（2）若，求E的度数（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长【分析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到ABC=CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到OCB=OBC，等量代换得到OCB=CBG，根据平行线的判定得到OCBG，即可得到结论；（2）由OCBD，得到OCFBDF，EOCEBD，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论；（3）如图2，过A作AHDE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在RtDAH中，AD=【解答】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，AC=CG，ABC=CBG，OC=OB，OCB=OBC，OCB=CBG，OCBG，CDBG，OCCD，CD是O的切线；（2）解：OCBD，OCFBDF，EOCEBD，OA=OB，AE=OA=OB，OC=OE，ECO=90，E=30；（3）解：如图2，过A作AHDE于H，E=30EBD=60，CBD=EBD=30，CD=，BD=3，DE=3，BE=6，AE=BE=2，AH=1，EH=，DH=2，在RtDAH中，AD=【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键17（2015温州