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四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学(文)试题(解析版)第I卷(选择题,共50分)【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题,已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块,同时,试卷突出了学科的主干内容,集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例,也达到了必要的考查深度本套试卷没有刻意追求覆盖面,还有调整和扩大的空间,注重了能力的考查,特别是运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出,实践能力和创新意识方面也在努力体现.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的4个选项中,只有一个符合题目要求的.【题文】1、已知集合则( )A. B. C. D.【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析:因为A=-1,0,1, B=-1,2,所以,故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2、命题的否定是( )A. B. C. D.【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】B解析:命题的否定是,故选B.【思路点拨】根据含一个量词的全称命题的否定方法写出结论.【题文】3、设各项均不为0的数列满足,若,则( )A. B.2 C. D.4【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析:由知数列是以为公比的等比数列,因为,所以,所以4,故选D.【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列,再根据求得,进而求.【题文】4、如图,正六边形的边长为1,则( )A. B. C.3 D.-3【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】D 解析:因为,所以,故选 D.【思路点拨】利用向量加法的三角形法则,将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5、已知,那么( )A. B. C. D.【知识点】二倍角公式;诱导公式. C6 C2 【答案解析】C 解析:因为,所以,即,故选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得值,再用诱导公式求得sin2x值.【题文】6、已知满足,则的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4【知识点】简单的线性规划. E5【答案解析】B 解析:画出可行域如图:平移直线z=2x-y得 ,当此直线过可行域中的点A(1,0)时 2x-y有最大值2,故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y,画出可行域平移目标函数得点A(1,0)是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7、在内,使成立的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】三角函数不等式的解法. C1【答案解析】A 解析:当时,不等式为sinxcosx,解得;当时,不等式为-sinxcosx即sinx+cosx0,解得,综上得,故选A.【思路点拨】根据含绝对值的不等式的解法,通过讨论x的取值范围,去掉绝对值,然后利用单位圆及三角函数线,确定结论.【题文】8、已知的定义在的函数,对任意两个不相等的正数,都有,记,则( )A. B. C. D.【知识点】函数的单调性. B3【答案解析】C 解析:因为对任意两个不相等的正数,都有,即对任意两个不相等的正数,都有,所以函数是上的减函数,因为,所以bac,故选C.【思路点拨】构造函数,根据条件可以判断它是上的减函数,由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9、记函数在的值域在的值域为,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】函数的值域;集合关系. A1 B1【答案解析】C 解析:因为,由由,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,所以M=,又N=,所以若,则实数的取值范围是,故选C.【思路点拨】利用导数求出函数f(x)在的值域M,再求出函数g(x)的值域N,进而利用求得a范围.【题文】10、已知函数的图象上关于y轴对称的点至少有3对,则实数的取值范围是A. B. C. D.【知识点】函数的图像. B8【答案解析】A 解析:只需函数与函数至少有3个交点,所以,所以,从而,故选A.【思路点拨】问题转化为函数与函数至少有3个交点,由图像可知只需,解得.第II卷(非选择题,共100分)二、填空题:本大题5小题,每小题5分,共25分.【题文】11、若则= .【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值. C7【答案解析】 解析:因为所以.【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.【题文】12、已知向量,若与向量共线,则实数 .【知识点】向量共线的意义. F1【答案解析】-1 解析:因为,所以=,又与共线,所以.【思路点拨】根据向量的坐标运算求得的坐标,再由与向量共线得关于的方程,解此方程即可.【题文】13、已知函数是函数的导函数,则 .【知识点】导数及其运算. B11【答案解析】-2 解析:因为,所以,所以所以-2.【思路点拨】先对函数求导,得到的值,进而求出.【题文】14、已知函数,则 .【知识点】函数性质求函数值. B1【答案解析】15 解析:因为,所以,所以,所以所求=【思路点拨】可以发现,所以采用倒序相加法求解.【题文】15、定义:如果函数在定义域内给定区间上存在,满足,则称函数是上的“平均值函数”,是它的一个均值点.例如是上的平均值函数,0就是它的均值点,若函数是上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是 .【知识点】函数中的新概念问题. B1 【答案解析】(0,2) 解析:因为函数是上的“平均值函数”,所以存在使得,又所以实数的取值范围是【思路点拨】根据平均值函数”的定义写出m关于的函数,求此函数在(-1,1)上的值域即可.三、解答题:本大题共6小时,共75分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.【题文】16、(本小题满分12分)已知向量,其中函数的最小正周期为.(1)求的值.(2)求函数在上的最大值.【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. F2 C7【答案解析】(1) (2) 解析:(1)2mn-1 = 6分由题意知:,即,解得7分(2) 由()知, x,得,又函数y=sinx在,上是减函数, 10分 =12分【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式,求出的值,再根据解析式在定义域内求出函数的最大值.【题文】17、(本小题满分12分)已知函数的定义域为D(1)求D;(2)若函数在D上存在最小值2,求实数m的值.【知识点】函数的定义域;二次函数的最值. B1 B5【答案解析】(1) (2) 解析:(1) 由题知解得,即3分(2) g (x)=x2+2mx-m2=,此二次函数对称轴为4分 若2,即m-2时, g (x)在上单调递减,不存在最小值;若,即时, g (x)在上单调递减,上递增,此时,此时值不存在;1即m-1时, g (x)在上单调递增,此时,解得m=1 11分综上: 12分【思路点拨】由解析式成立的条件可以得到函数的定义域,再根据二次函数的性质求出m.【题文】18、(本小题满分12分)在中,分别是内角的对边,AB=5,.(1)若BC=4,求的面积;(2)若D是边AC的中点,且,求边BC的长.【知识点】同角三角函数关系;三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【答案解析】(I) (II) . 解析:(1) ,又,所以,BCDAE6分(2) 以为邻边作如图所示的平行四边形,如图,则,BE=2BD=7, CE=AB=5,在BCE中,由余弦定理: 即,解得: 10分【思路点拨】(1)利用同角三角函数关系求正弦值,再用三角形面积公式求得结论;(2)构造以为邻边作如图所示的平行四边形,在三角形BCE中利用余弦定理求出边BC长.【题文】19、(本小题满分12分)记公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列.(1)求数列的通项公式和;(2)若问是否存在实数,使得数列为单调递增数列?若存在,请求出的取值范围,若不存在,请说明理由.【知识点】等差数列及其前n项和;等比数列;单调递增数列的条件. D1 D2 D3【答案解析】(1),;(2)存在实数,且. 解析:(1) 由,得:解得: , 5分(2) 由题知 6分 若使为单调递增数列,则 =对一切nN*恒成立,即: 对一切nN*恒成立, 10分又是单调递减的, 当时,=-3, 12分【思路点拨】(1)根据已知条件可求出等差数列的首项与公差,从而求得和;(2)若数列为单调递增数列,则对一切nN*恒成立,即: 对一切nN*恒成立,由此得的取值范围.【题文】20、(本小题满分13分)已知函数为自然对数的底数),(1)若函数恰有一个零点,证明:(2)若对任意恒成立,求实数的取值集合.【知识点】导数的应用. B12【答案解析】(1)见解析;(2) 的取值集合为. 解析:(1)证明: 由,得1分由0,即0,解得xlna,同理由0解得xlna, 在(-,lna)上是减函数,在(lna,+)上是增函数,于是在取得最小值又 函数恰有一个零点,则, 4分即 5分化简得:, 6分(2)解:由()知,在取得最小值,由题意得0,即0,8分令,则,由可得0a1 在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,即, 当0a1时,h(a)0时,函数的单调递增区间是(0,),单调递减区间是(,+);当时,函数的单增区间是(0,),单减区间是(,+)(3).解析:(1) 时,2分故点()处的切线方程是3分(2)由,得(1)当时,若b0,由知恒成立,即函数的单调递增区间是5分若,当时,;当时,即函数的单调递增区间是(0,),单调递减区间是(,+)7分(2) 当时,得,由得显然,当时,函数的单调递增,当时,函数的单调递减,所以函数的单调递增区间是(0,),单调递减区间是(,+)9分综上所述:当a=0,b0时,函数的单调递增区间是;当a=0,b0时,函数的单调递增区间是(0,),单调递减区间是(,+);当时,函数的单增区间是(0,),单减区间是(,+) 10分(3)由题意知函数在处取得最大值由(2)知,是的唯一的极大值点,故=2,整理得于是令,则令,得,当时,单调递增;当时,单调递减因此对任意,又,故,即,即, 14分【思路点拨】(1)利用导数的几何意义点处的切线方程;(2)通过讨论a,b的取值条件,得定义域上函数f(x)的导函数大于0或小于0的x范围,就是函数f(x)的增区间或减区间;(3)因为对任意的,所以函数在处取得最大值由(2)知,时,是的唯一的极大值点,故=2,整理得所以=,利用导数判断这个式子的符号即可.
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