2010年江苏省高考理科数学卷.doc

绝密启用前 2010年全国普通高等学校招生统一考试江苏卷理科数学数学试题参考公式：锥体的体积公式：，其中为锥体底面面积，为锥体的高。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。1.设集合、，若，则实数的值是_。2.若复数满足（为虚数单位），则的模为_。3.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球。若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_。4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）。所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_根棉花纤维的长度小于20mm。5.设函数是偶函数，其中，则实数的值为_。6.在平面直角坐标系中，已知双曲线上一点的横坐标为3，则点到该双曲线的右焦点的距离为_。7.如图是一个算法流程图，则输出的的值是_。8.函数的图像在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中。若，则的值是_。9.在平面直角坐标系中，已知圆上有且只有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是_。10.设定义在区间上的函数的图像与的图像交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图像交于点，则线段的长为_。11.已知函数，则满足不等式的的解集是_。12.设、为实数，满足，则的最大值是_。13.在锐角中，角、的对边分别为、。若，则的值是_。14.将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是_。二、解答题15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点，。（1）求以线段、为邻边的平行四边形的两条对角线的长。（2）设实数满足，求的值。16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面，。（1）求证：。（2）求点到平面的距离。17.（本小题满分14分）某兴趣小组要测量电视塔的高度（单位：）。如示意图，垂直放置的标杆的高度，仰角，。（1）该小组已测得一组、的值，算出了，请据此算出的值。（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为。设过点的直线、与该椭圆分别交于点、，其中，。（1）设动点满足，求：点的轨迹。（2）设，求：点的坐标。（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）。19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前项和为。已知，数列是公差为的等差数列。（1）求：数列的通项公式（用，表示）。（2）设为实数，对满足且的任意正整数、，不等式都成立。求证：的最大值为。20.（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质。（1）设函数，其中为实数。 求证：函数具有性质。 求：函数的单调区间。（2）已知函数具有性质。给定，设为实数，且，若，求：的取值范围。数学试题（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，是圆的直径，为圆上一点。过点作圆的切线交延长线于点。若，求证：。B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知点，。设为非零实数，矩阵，。点、在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为、，的面积是的面积的2倍。求：实数的值。C.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆与直线相切。求：实数的值。D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设、是非负实数，求证：。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品。甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各件产品相对独立。（1）记（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润。求：的分布列。（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。23.（本小题满分10分）已知的三边长都是有理数。（1）求证：是有理数。（2）求证：对任意正整数，是有理数。数学参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法。每小题5分，共计70分。1.1 2.2 3. 4.30 5. 6.4 7.63 8.219. 10. 11. 12.27 13.4 14.数学参考答案二、解答题15.本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。解：（1）由题设知，则 ，。 所以，。 故所求的两条对角线长分别为，。 （2）由题设知，。 由，得， 从而，所以。16.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。解：（1）因为平面，平面， 所以。 由，得。 又，平面， 平面，所以平面。 因为平面，所以。 （2）连结。设点到平面的距离为。 因为，所以。 从而由，得的面积。 由平面及，的三棱锥的体积。 因为平面，平面，所以。 又，所以。 由，得的面积。 由，得。 因此，点到平面的距离为。17.本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。满分14分。解：（1）由，及， 得， 解得。 因此，算出的电视塔的高度是。 （2）由题设知，得。 由，得， 所以， 当且仅当，即时，上式取等号。 所以当时，最大。 因为，则，所以当时，最大。 故所求的是。18.本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。解：由题设得，。 （1）设点，则，。 由，得，化简得。 故所求点的轨迹为直线。 （2）由，及，得，则点，从而直线的方程为； 由，及，得，则点，从而直线的方程为。 由，解得。所以点的坐标为。 （3）由题设知，直线的方程为， 直线的方程为。 点满足，得， 因为，则 ，解得， 从而得。 点满足，解得，。 若，则由及，得， 此时直线的方程为，过点。 若，则，直线的斜率， 直线的斜率，得， 所以直线过点。 因此，直线必过轴上的点。19.本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。解：（1）由题设知，则当时， 。 由，得，解得。 故当时，。 又，所以数列的通项公式为。 （2）由及，得，。 于是，对满足题设的，有。 所以的最大值。 另一方面，任取实数。设为偶数，令，则，符合条件， 且。 于是，只要，即当时，就有。 所以满足条件的，从而。 因此的最大值为。20.本小题主要考查函数的概念、性质、图像及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 解：（1）由，得。 因为时，所以函数具有性质。 当时，由得， 所以，从而函数在区间上单调递增。 当时，解方程得，。 因为， 所以当时，；当时，；当时，。 从而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。 综上所述，当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为。 （2）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。 所以，当时，从而在区间上单调递增。 当时，有， 得，同理可得，所以由的单调性知、， 从而有，符合题设。 当时， 于是由，及的单调性知， 所以，与题设不符。 当时，同理可得，进而得，与题设不符。 因此，综合、得所求的的取值范围为。21.【选做题】A.选修4-1：几何证明选讲本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。证明：连结、。 因为是圆的直径， 所以，。 因为是圆的切线， 所以。 又因为，所以， 于是，从而， 即，得。 故。B.选修4-2：矩阵与变换本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。解：由题设得。 由，可知 ，。 计算得的面积是1，的面积是，则由题设知。 所以的值为或。C.选修4-4：坐标系与参数方程本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。满分10分。解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为，即， 直线的方程为。 由题设知，圆心到直线的距离为1，即有， 解得或。 故的值为或。D.选修4-5：不等式选讲本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。证明：由、是非负实数，作差得 。 当时，从而，得； 当时，从而，得。 所以。22.本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解的能力。满分10分。解：（1）由题设知，的可能取值为、，且 ， ， ， 。 由此得的分布列为：25100.020.080.180.72 （2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。 由题设知，解得， 又，得或。 所以。 故所求概率为0.8192。23.本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。证明：（1）由、为有理数及余弦定理知是有理数。 （2）用数学归纳法证明和都是有理数。 当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。 假设当时，和都是有理数。 当时，由， ， 及和归纳假设，知与都是有理数。 即当时，结论成立。 综合、可知，对任意正整数，是有理数。