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三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等工具：为内一点，则有：证明：延长交于，如图必有：，； -（*）由共线，得： 进而得： -由共线，得： -由得： 代入（*）结论得消去分母得： 证毕.另证：作，如图：为平行四边形；由反方向思考：设在的内部，若有正实数满足：， 必有：证明：作：， 则，则为的重心，则：.设为又 从而得：验证式思考：先证引理：若不共线，对，有且，必有证明：若必有且，得，与题设矛盾，故必有再证：设，则；由；有对称性知：，又，不共线，故：必有成立一、三角形的重心的向量表示及应用知识：是的重心 (为该平面上任意一点)略证：，得：变式：已知分别为的边的中点则二、三角形的外心的向量表示及应用知识：是的外心 略证：，得：常用结论：是的外心三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：是的垂心 略证：，得：扩展：若是的外心，点满足：，则是的垂心证明：如图：为直径，为垂心，为外心，为中点；有：进而得到：且，即：；又易知：；故：，即：又：（为重心），故：；故：得到欧拉线：的外心，重心，垂心三点共线(欧拉线)，且证毕四、三角形的内心的向量表示及应用 知识：是的内心 注：式子中，为任一点略证：，得之五欧拉线：的外心，重心，垂心三点共线(欧拉线)，且（前已证）测试题一选择题1是所在平面上一定点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的( )A外心 B内心 C重心 D垂心2(03全国理4)是所在平面上一定点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的( )A外心 B内心 C重心 D垂心3是所在平面上一定点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的( )A外心 B内心 C重心 D垂心4是所在平面上一定点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的( )A外心 B内心 C重心 D垂心5是所在平面上一定点，动点满足，则点的轨迹一定通过的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心6是所在平面上一定点，动点满足， ， 则点的轨迹一定通过的( ) A内心 B垂心 C重心 DAB边的中点7已知是的重心，动点满足,则点一定为的( )AAB边中线的中点 BAB边中线的三等分点(非重心)C重心 DAB边的中点8在中，动点满足：，则点轨迹一定通过ABC的( ) 外心 内心 C重心 D垂心9已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为( )A2 B C3 D610设点是内一点，用表示的面积，令，定义，若则( )A点在内 B点在内 C点在内 D以上皆不对11若的外接圆的圆心为，半径为1，则( )A B0 C1 D12是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若， 则是的( )A外心 B内心 C重心 D垂心13(06陕西)已知非零向量与满足且, 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形14已知三个顶点，若，则为( )A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形二填空题15的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 1 16中，为重心，则 17点在内部且满足，则 3 18点在内部且满足，则 4 19已知中，为的内心，且，则.20已知中，为的外心，且，则 21已知为锐角的外心，若，则 22在中，则 三解答题BCAMNG23 如图，已知点是的重心，过作直线与两边分别交于两点，且，求证：解：由三点共线，得： -又是的重心得： -由得：，消去得：.24设在的内部，若有正实数满足：， 求证：证明：作：， 则，则为的重心，则：.设为又 从而得：25已知向量，满足条件+=，|=|=|=1，求证：为正三角形证明：由+=+=平方得：从而得： 同理可得：，即为正三角形26在中，求从顶点出发的两条中线的夹角的余弦值解：设，则且；则故：27已知是的垂心，且，试求的度数解：设的外接圆半径为，点是的外心。是的垂心 , ， 而为的内角， 从而或的度数为或.28已知，试写出的重心，外心，和垂心的坐标，并证明三点共线(2002全国)解：易知；设，由，且，得，得，即；设，则由,即.而且：易知：（又有公共端点），故三点共线.29已知、分别为不等边的重心与外心，、且，(1)求点的轨迹方程；(2)若直线过点(0，1)，并与的轨迹曲线交于、两点，且满足(为坐标原点)，求直线的方程解：（1）设，则，再设，由，易得：故外心；由，代入坐标得：化简得的轨迹方程为：（）（2）略30已知是非等边外接圆上任意一点，(外接圆半径为)试问位于何处时，取得最大值和最小值解：如图，设的外接圆半径为，点是的外心.（为的垂心）故有：当为的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值;当为的延长线与外接圆的交点时，有最小值.-8-
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