高中数学错解剖析得真知(四)

错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256错解剖析得真知（三十一） 第十章 导数及其应用10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设，是可导的，则5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.6.几种常见函数的导数：(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4. 表示处的导数，即是函数在某一点的导数；表示函数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数，即是在内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程可如下求得：（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：，如果曲线在点的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为.三、经典例题导讲例1已知,则 .错因：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.正解：设,则.例2已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？错解：。分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： f(x)在x=1处不可导.注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，x0，包括x0，与x0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.例3求在点和处的切线方程。错因：直接将，看作曲线上的点用导数求解。分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线解：即过点的切线的斜率为4，故切线为：设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：点评： 要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标例4求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.分析： 由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1），即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1.（2）令，得，当时，；当时，曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。点评： 在已知曲线 切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. 例5（02年高考试题）已知，函数，设，记曲线在点处的切线为 . （1）求 的方程； （2）设 与 轴交点为，求证： ；若，则分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解：（1） 切线的方程为即.（2）依题意，切线方程中令y=0得， 由知，例6求抛物线 上的点到直线的最短距离. 分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求. 解：根据题意可知，与直线 xy2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线xy2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么, 切点坐标为，切点到直线xy2=0的距离， 抛物线上的点到直线的最短距离为.四、典型习题导练1.函数在处不可导，则过点处，曲线的切线 （ ） A必不存在B必定存在 C必与x轴垂直 D不同于上面结论2.在点x=3处的导数是_.3.已知，若，则的值为_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是 _. 5.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程.6若过两抛物线和的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点，并求出定点的坐标.错解剖析得真知（三十二） 10.2导数的应用一、 知识导学1.可导函数的极值（1）极值的概念设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点.（2）求可导函数极值的步骤:求导数。求方程的根.求方程的根.检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.求在内的极值.将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.二、疑难知识导析1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0，可是这里的根本不存在，所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.三、经典例题导讲例1已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.错解：，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为.错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率，又，。点在曲线上，代入得化简，得，或.若，则，过点的切线方程为；若，则，过点的切线方程为过点的曲线的切线方程为或例2已知函数在上是减函数，求的取值范围.错解：在上是减函数，在上恒成立，对一切恒成立，即，.正解:，在上是减函数，在上恒成立，且，即且，.例3当 ，证明不等式.证明：，则，当时。在内是增函数，即，又，当时，在内是减函数，即，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间，从而导出及是解决本题的关键.例4设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例5（2006年四川）函数，其中是的导函数.（1）对满足11的一切的值，都有0，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线3只有一个公共点.解：（1）由题意 令，对，恒有，即 即解得故时，对满足11的一切的值，都有.（2）当时，的图象与直线只有一个公共点当时，列表： 极大极小又的值域是，且在上单调递增当时函数的图象与直线只有一个公共点.当时，恒有由题意得即解得综上，的取值范围是.例6若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）分析：如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最大的照度，只需求的极值就可以了.解：设到的距离为，则，于是，.当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大. （0，）+-点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.四、典型习题导练1已知函数，若是的一个极值点，则值为 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函数在处有极值为10，则= .3给出下列三对函数：， ，；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是 ， .4已知函数有极大值和极小值，求的取值范围.5已知抛物线，过其上一点引抛物线的切线，使与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求的方程.6设在上的最大值为，（1）求的表达式；（2）求的最大值.10.3定积分与微积分基本定理一、知识导学1可微：若函数在的增量可以表示为的线性函数（是常数）与较高阶的无穷小量之和:（1）,则称函数在点可微，（1）中的称为函数在点的微分，记作或.函数在点可微的充要条件是函数在可导，这时（1）式中的等于.若函数在区间上每点都可微，则称为上的可微函数.函数在上的微分记作.2微积分基本定理：如果，且在上可积.则.其中叫做的一个原函数.由于，也是的原函数，其中为常数.二、疑难知识导析1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者趋近于0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成份，这样只要2其中的使就可以了.2）对每个小区间内的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.3）求极限的时候，不是，而是.2在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为.3利用定积分来求面积时，特别是位于轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.三 、经典例题导讲例1求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积S.错解：分两部分，在，在，因此所求面积为 2+（-2）=0。分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。正解：例2用微积分基本定理证明（）分析：即寻找的原函数代入进行运算。解；设，则= =由微积分基本定理的逆运用可知：上式所以原式成立，即证。注：该式可用来求分布在轴两侧的图形的积分。例3根据等式求常数的值。1） 2）分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入求解解：1）2）例4某产品生产x个单位时的边际收入（） 求生产了50个单位时的总收入。（） 如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入。分析：总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数和边际收入的关系可得（1）生产50个单位时的总收入为 = =99875（2）已生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为答：生产50个单位时的总收入为99875；生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为19850.例5一个带电量为的电荷放在轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作用下沿轴方向从处移动到处时电场力对它所作的功。分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。解：单位正电荷放在电场中，距原点处，电荷对它的作用力为在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知答：电场力对它做的功为。例6一质点以速度沿直线运动。求在时间间隔上的位移。分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。解：答：位移为。四、典型习题导练1. ( )A. B. C. D.2（ ）A0 B.2 C.-2 D.4 3，则 。4利用概念求极限：5求下列定积分；（1） （2） 6写出下面函数在给定区间上的总和及的表达式 错解剖析得真知（三十三） 第十一章 数系的扩充与复数11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数：形如的数（），复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部，称做虚数单位.2. 分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.6. 复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)；(2)=；(3)；7共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2则，而，则不一定成立，如时；3，而则不一定成立；4若不一定能推出；5若，则=，但若则上式不一定成立.三、经典例题导讲例1两个共扼复数的差是（ ）.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数错解:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或当时，为纯虚数当时，因此应选D. 注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质.例2判断下列命题是否正确 (1)若, 则 (2)若且，则 (3)若，则 错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件. 正解：(1)错，反例设则 (2)错，反例设，满足，但不能比较大小. (3)错，故，都是虚数，不能比较大小.例3实数分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数. 解：实部，虚部.（1）当 时，是实数；（2）当 ，且 时，是虚数；（3） 当 或 时是纯虚数例4 设，当取何值时， (1) ; (2).分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值解：(1)由可得：解之得，即：当 时 (2)当 可得： 或 ，即 时.例5是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数分析 本题起步的关键在于对条件的处理等式左边是关于的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由（，不为零），得即向量与向量的夹角为，在图中，又，设，在OPQ中，由余弦定理OPQ为直角三角形，四、典型习题导练1. 设复数z满足关系，那么z等于（ ）A B C D2.复数系方程有实数根，则这个实数是.3.实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限4.已知且求复数.5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求的值.错解剖析得真知（三十四） 11.2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.2. 重要结论（1） 对复数z 、和自然数m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)设，二、疑难知识导析1.对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当时，不总是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)三、经典例题导讲例1 满足条件的点的轨迹是（ ）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆错解：选A或B.错因：如果把看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数 动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为， 动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C评注：加强对概念的理解加深，认真审题.例2 求值：错解：原式= 错因：上面的解答错在没有真正理解的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=评注：虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点，根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.例3已知，求的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. 原式=评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.例4 （06年上海春卷）已知复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程.解法一： ， . 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是. 解法二：设 ， 得 ， 以下解法同解法一.例5解析 四、典型习题导练1（06年四川卷）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有； （2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算： 其中关于运算为“融洽集”_;（写出所有“融洽集”的序号）2. 3计算4.计算 5解下列方程：(1)；(2). 错解剖析得真知（三十五） 第十二章 统计121抽样方法一、知识导学1抽签法：（1）将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N）；（2）将1到N这N个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；（4）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；（5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.2随机数表法：（1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；（2）在随机数表中任选一个数作为开始；（3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止；（4） 根据选定的号码抽取样本.3系统抽样（等距抽样）：（1）采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号按一定的间隔（设为k）分段，当（N为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N能被n整除，这时，并将剩下的总体重新编号；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；（4）将编号为的个体抽出.4分层抽样：（1）将总体按一定标准分层；（2）计算各层的个体数与总体的个数的比；（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.二、疑难知识导析1简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取.2简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样，即每个个体被抽到的可能性都是相同的.3简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多的情形；分层抽样用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.4 分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样.5 在使用分层抽样时，在每一层内抽样的比例相同.三、经典例题导讲例1某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号有16件，那么此样本容量n是多少？错解：样本容量16=2（件）错因：混淆了A型号产品与样本容量的比例关系.正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，所以，样本容量为答：此样本容量为88件.例2从1002名学生中选取100名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤.解：（1）将1002名学生进行编号，号码分别为1，2，1002； （2）用随机数表法剔除2个个体，并将剩下的学生重新编号，号码分别为1，2，1000；（3）将1000个号码平均分成100组，并在第一组1，2，10中用简单随机抽样法确定一个号码（如）；（2） 将号码为的个体抽出.例3某学校有2005名学生，从中选取20人参加学生代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数表法？如何具体实施？分析：由于学生人数较大，制作号签比较麻烦，所以决定用随机数表法解：采用随机数表法实施步骤：（1） 对2005名同学进行编号，0000-2004（2） 在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如21行45列的数字9开始的4位：9706；依次向下读数，5595，4904,，如到最后一行，转向左边的四位数字号码，并向上读，凡不在0000-2004范围内的，则跳过，遇到已读过的数也跳过，最后得到号码为：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的学生组成容量为20的样本.例4某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3000件，4000件，8000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？解：总体中的个体数N=3000+4000+8000=15000样本容量n=150抽样比例为所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取3000=30件产品在第二条流水线生产的产品中随机抽取：4000=40件产品在第三条流水线生产的产品中随机抽取：5000=50件产品这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法。四、典型习题导练1为了解某班50名同学的会考及格率，从中抽取10名进行考查分析，则在这次考查中，考查的总体内个体总数为 样本容量为 .2采用系统抽样从含有2000个个体的总体（编号为0000，0001，1999）中抽取一个容量为100的样本，则第一段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为0013，则前6个入样编号为 . 3某市为了了解职工的家庭生活状况，先将职工所在的国民经济行业分成13类，然后每个行业抽的职工家庭进行调查，这种抽样方法是 .4用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为50的样本，其中在管理营销部门抽了15人，技术部门10人，其余在生产工人中抽取，已知该企业有生产工人375人，那么这个企业共有多少职工？5采用简单随机抽样从含有5个人的身高的总体中抽取一个容量为2的样本，写出全部样本，并计算各个样本的平均值，各样本平均值的平均值.12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图一、知识导学1频率分布表：反映总体频率分布的表格.2一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距=；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.3 频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律.4 一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.5 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.6 制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.二、疑难知识导析1 在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据的分布情况.2 在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.3 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线.4 茎叶图对于分布在099的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息.5 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图.三、典型例题导讲例1（06全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出 人.解析:由直方图可得（元）月收入段共有人，按分层抽样应抽出人.故答案 25点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.例2从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514画出上述数据的茎叶图错解：错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样.正解：用前两位数作为茎，茎叶图为从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都是522，乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516，总的看，甲的指标略大一些.例3在绘制频率分布直方图的第三个矩形时，矩形高度 与这个矩形的宽度（组距）有关； 与样本容量n无关； 与第三个分组的频数有关； 与直方图的起始点无关.以上结论中正确的共有（）A0个 B.1个 C. 2个 D.3个错解：D.错因：起始点与组距均影响第三组的频数，所以矩形高度与以上各因素均有关，正确，正解：C.例4根据中国银行的外汇牌价，2005年第一季度的60个工作日中，欧元的现汇买入价（100欧元的外汇可兑换的人民币）的分组与各组频数如下：1050，1060：1，1060，1070：7，1070，1080：20，1080，1090：11，1090，1100：13，1100，1110：6，1110，1120：2.（1）列出欧元的现汇买入价的频率分布表；（2）估计欧元的现汇买入价在区间10651105内的频率；（3）如果欧元的现汇买入价不超过x的频率的估计值为0.95，求此x解：（1）欧元的现汇买入价的频率分布表为：分组频数频率1050，106010.0171060，107070.1171070，1080200.3331080，1090110.1831090，1100130.2171100，111060.1001110，112020.033合计601.000（2）欧元现汇买入价在区间10651105内的频率的估计值为（3）因为0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.8670.95，0.017+0.217+0.100=0.9670.95，所以在1100，1110内，且满足0.867+0.100即欧元现汇买入价不超过1108.3的频率的估计为0.95例5初一年级某班期中考试的数学成绩统计如下：分数段100909980-8970-7960-690-59人数26122172如果80分以上（包括80分）定为成绩优秀，60分以上（包括60分）定为成绩及格.那么，在这个班级的这次成绩统计中，成绩不及格的频率是多少？成绩及格的频率是多少？成绩优秀的频率是多少？解：被统计的对象（参加这次考试的本班学生）共有2+6+12+21+7+2=50个.60分以上的有48个，80分以上的有20个，所以成绩不及格的频率是，成绩及格的频率是，成绩优秀的频率是.说明 要计算一组数据中某个对象的频率，要先计算数据的总的个数，再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据，也可以是在某一范围内数据的总数.例6在英语单词frequency和英语词组relative frequency中，频数最大的各是哪个字母？它们的频数和频率各是多少？解：在frequency和英语词组relative frequency中，频数最大的字母都是e，在单词frequency中，e的频数是2，频率是；在词组relative frequency中，e的频数是4，频率是.点评：在两组数据中，同一个对象的频数相等，但频率不一定相等，频数大，不一定频率大.在同一组数据中，某两个对象的频数相等，频率也相等；频数大，频率也大.四、典型习题导练1（06年重庆卷）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为岁的男生体重，得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是（ ）.A 20 B.30 C.40 D. 502 一个容量为800的样本，某组的频率为6.25%，则这一组的频数是 3 某校随机抽取了20名学生，测量得到的视力数据如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0（1） 列出频率分布表（共分5组）（2） 估计该校学生的近视率（视力低于4.9）4 用一个容量为200的样本制作频率分布直方图时，共分13组，组距为6，起始点为10，第4组的频数为25，则直方图中第4个小矩形的宽和高分别是多少？5 200名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表：分组频数21130528520则及格率，优秀率（）的估计分别是6某地随机检查了140名成年男性红细胞（L），数据的分组及频率如下表：分组频数频率分组频数频率21761311425232127合计140（1）完成上面的频率分布表（2）根据上面的图表，估计成年男性红细胞数在正常值（4.05.5）内的百分比7名著简爱的中英文版本中，第一节部分内容每句句子所含单词（字）数如下：英文句子所含单词数10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字数11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.（1）作出这些数据的茎叶图；（2）比较茎叶图，你能得到什么结论？错解剖析得真知（三十六） 123平均数、方差与标准差一、知识导学1n 个数据，.的平均数或平均值一般记为=.2一般地，若取值的频率分别为，则其平均数为.3把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.4 一般地，设一组样本数据，其平均数为，则称为这个样本的方差，算术平方根为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差.二、疑难知识导析1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.4.样本方差也可以用公式计算.三、经典例题导讲例1（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）A1 B.2 C.3 D.4解：由平均数公式为10，得，则，又由于方差为2，则得 所以有，故选D.例2数据是一名运动员的次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.A样本平均数均值 B样本极差C样本方差 D样本平均差AD=错解：C.错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计.正解：A.例3某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1.75米例4若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数解：年平均收入为1（万）；中位数和众数均为1万例5下面是某快餐店所有工作人员的收入表：老板大厨二厨采购员杂工服务生会计3000元450元350元400元320元320元410元（1）计算所有人员的月平均收入；（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析解：（1）平均收入（3000+450+350+400+320+320+410）=750元（2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员（3）去掉老板后的月平均收入（450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之四、典型习题导练1 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：成绩678910人数分布12467则选手的平均成绩是 （ ）A4 B.4.4 C.8 D.8.828名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .3某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：等待时间（分钟）人数48521用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值= ，病人等待时间的标准差的估计值= 4样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为 5下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，976某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.（1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.错解剖析得真知（三十七） 12.4线性回归方程一、知识导学1 变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联