2013-2014学年广东省珠海一中等六校高三(上)第一次联考数学试卷(理科).doc

2013-2014学年广东省珠海一中等六校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）“|x|1”是“x2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断2350853专题：计算题分析：求出绝对值不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断即可解答：解：因为“|x|1”的解为x1或x1，所以“x2”“|x|1”；但是“|x|1”得不到“x2”所以“|x|1”是“x2”的必要不充分条件故选B点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，注意绝对值不等式的解法，是基础题2（5分）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D3考点：复数代数形式的乘除运算2350853专题：计算题分析：利用复数相等的条件可得a，b解答：解：因为，所以，a=1，b=2，a+b=3，故选D点评：本题考查复数代数形式的运算、复数相等的条件，属基础题3（5分）（2010河东区一模）若x（0，1），则下列结论正确的是（）ABCD考点：对数函数图象与性质的综合应用；指数函数单调性的应用2350853专题：计算题分析：由x（0，1），知lgxlg1=0，2x20=1，故解答：解：x（0，1），lgxlg1=0，2x20=1，故选D点评：本题考查对数函数的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4（5分）下列四个命题中，正确的是（）A已知服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.4，则P（2）=0.2B已知命题p：xR，使tanx=1；命题q：xR，x2x+10，则命题“pq”是假命题C设回归直线方程为y=22.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2.5个单位D已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是考点：命题的真假判断与应用2350853专题：计算题分析：A画出正态分布N（0，2）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果；B、判断命题p和q是否正确，然后根据交集的定义进行判断；C、根据回归直线方程的x的系数是2.5，得到变量x增加一个单位时，函数值要平均增加2.5个单位，即可求解；D、注意斜率不存在的情况即可判定正误；解答：解：A、由随机变量服从正态分布N（0，2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（2x2）=0.4，则P（2）=（1P（2x2）=0.3，故A错B、命题p：xR，使tanx=1，可以取x=45得tan45=1，故命题p正确；命题q：x，x2x+10，令f（x）=x2x+1，可得=（1）24=30，图象开口向上，与x轴无交点，：xR，x2x+10，恒成立，命题q为真命题，则q为假命题，“pq”是假命题，故B正确；C、回归方程y=22.5x，变量x增加一个单位时，变量y平均变化22.5（x+1）（22.5x）=2.5变量y平均减少2.5个单位，故C错误；D、已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是=3或a=0且b=0，所以D不正确故选B；点评：本题考查线性回归方程和两条直线垂直的判定，考查线性回归方程系数的意义，考查变量y增加或减少的是一个平均值，注意题目的叙述，还有充分必要条件的定义，是一道综合题；5（5分）已知单位向量，满足（2），则，夹角为（）ABCD考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系2350853专题：平面向量及应用分析：由向量垂直得其数量积等于0，展开整理后即可得到答案解答：解：因为（2），所以（2）=0，即=0，所以，即cos，则，夹角为故选C点评：本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了数量积公式，是基础的计算题6（5分）（2007惠州模拟）若动圆的圆心在抛物线x2=12y上，且与直线y+3=0相切，则此动圆恒过定点（）A（0，2）B（0，3）C（0，3）D（0，6）考点：直线与圆锥曲线的关系2350853专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据动圆的圆心在抛物线x2=12y上，且与直线y+3=0相切，所以动圆圆心到抛物线准线的距离等于到抛物线焦点的距离，所以动圆恒过抛物线的焦点解答：解：直线y+3=0，即y=3是抛物线x2=12y的准线，抛物线是到它的焦点和准线距离相等的点的轨迹，所以动圆恒过抛物线的焦点（0，3）故选C点评：本题考查了直线与圆锥曲线的定义，考查了抛物线的定义和几何性质，是基础的概念题7（5分）设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则ab的取值范围是（）A（0，+）BCD考点：简单线性规划2350853专题：不等式的解法及应用分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求ab的取值范围即可解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而6=2a+3b2ab，当且仅当2a=3b时取等号又ab0，则ab的取值范围是故选D点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8（5分）记集合T=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，M=，将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（）ABCD考点：进行简单的合情推理2350853专题：规律型；探究型分析：将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的ai，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案解答：因为=（a1103+a2102+a310+a4），括号内表示的10进制数，其最大值为 9999；从大到小排列，第2013个数为99992013+1=7987所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7则第2011个数是故选A点评：对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9（5分）在（a+x）7展开式中x4的系数为35，则实数a的值为1考点：二项式定理的应用2350853专题：计算题分析：在（a+x）7展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数为 35 a3=35，由此求得实数a的值解答：解：在（a+x）7展开式的通项公式为 Tr+1=a7rxr，令r=4可得 展开式中x4的系数为 35 a3=35，a=1，故答案为 1点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10（5分）计算定积分=考点：定积分2350853专题：导数的综合应用分析：利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出解答：解：=故答案为点评：熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键11（5分）已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆=1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程是4x3y=0考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质2350853专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆的性质可得其长轴的端点、焦点，进而得到双曲线的c，a，b，即可得到双曲线的标准方程和渐近线方程解答：解：椭圆长轴端点为（5，0），（5，0），焦点为（3，0），（3，0），对于双曲线中，c=5，a=3，得b=4，双曲线方程为：=1，渐过线方程为：4x3y=0故答案为4x3y=0点评：熟练掌握椭圆与双曲线的标准方程及其性质是解题的关键12（5分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，则cosB=考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系2350853专题：计算题分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，利用大边对大角得到B小于A，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosB的值解答：解：a=5，由正弦定理=得：sinB=，ab，BA=，则cosB=故答案为：点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键13（5分）将石子摆成如图的梯形形状称数列5，9，14，20，为“梯形数”根据图形的构成，数列第6项a6=35；第n项an=考点：数列的应用2350853专题：综合题；等差数列与等比数列分析：本题考查的知识点归纳推理，及等差数列的前n项和公式，我们可以根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求出结果解答：解：由已知的图形我们可以得出：图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n=1时，a1=5=2+3=（2+3）2；n=2时，a2=9=2+3+4=（2+4）3；n=3时，a2=14=2+3+4+5=（2+5）4；由此我们可以推断：an=2+（n+2）（n+1）=a6=35故答案为：35，点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）14（5分）在极坐标系中，直线（R）截圆所得弦长是2考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化2350853专题：直线与圆分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将直线（R），圆的极坐标方程所化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合直线与圆的位置关系求解即得解答：解：由直线化为普通方程为xy=0，由圆得：cos+sin=2，化为直角坐标方程为（x）2+（y）2=1，其圆心是C（，），半径为1且圆心在直线xy=0上，由故l被曲线C所截得的弦长为2r=2故答案为：2点评：本小题主要考查圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算弦长等基本方法15如图AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么ACAD+BCBE的值等于36考点：与圆有关的比例线段2350853专题：计算题分析：连接AE，BD，过C作CFAB，与AB交于F，得出A，F，C，E四点共圆，BCBE=BFBA，同理可证F，B，D，C四点共圆，ACAD=AFAB，两式相加，转化为直径BA表达式求解即可解答：解：连接AE，BD，过C作CFAB，与AB交于F，AB是圆的直径，AEB=ADB=90，AFC=90，A，F，C，E四点共圆BCBE=BFBA（1）同理可证F，B，D，C四点共圆ACAD=AFAB（2）（1）+（2）得ACAD+BCBE=（BF+AF）BA=BA2圆O的半径是3，直径BA=6所以ACAD+BCBE=62=36故答案为：36点评：本题考查与圆有关的线段，割线定理的应用，根据所求的不等式，构造四点共圆是本题的关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意最终，商定以抛硬币的方式决定结果规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议记所需抛币次数为（1）求=6的概率；（2）求的分布列和期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差2350853专题：概率与统计分析：（1）先确定=6的意义，首先可以分析得到甲赢或乙赢的概率均为，若第6次甲赢意味着“第6次甲赢，前5次赢3次，但根据规则，前4次中必输1次”若乙赢同样故可根据二项分布列出式子求解即可（2）确定的所有可能取值，求出相应的概率，即可求随机变量的分布列和数学期望解答解：（1）当=6时，若甲赢意味着“第6次甲赢，前5次赢3次，但根据规则，前4次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为，因此P（=6）=2= 4分（2）分布列为：4567P10分E=4+5+6+7= 12分点评：本小题主要考查离散型随机变量及其分布列，古典概型，独立重复试验，数学期望等知识，考查随机思想以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识17（12分）已知函数（aR，a为常数）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）若函数f（x）的图象向左平移m（m0）个单位后，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（x+）的图象变换2350853专题：计算题；综合题分析：（1）将函数f（x）用和角与差角的正弦公式展开，合并同类项后再用辅助角公式，可得f（x）=，再结合函数y=Asin（x+）的图象与性质，可得最小正周期和单调增区间；（2）按题中方法平移后，得到g（x）=，当时，g（x）为偶函数且图象关于y轴对称，再k=0，得m的最小正值为解答：解：（1）=2sin2xcoscos2x+a=（3分）f（x）的最小正周期为（4分）令，得，函数f（x）单调递增区间为（7分）（2）函数f（x）的图象向左平移m（m0）个单位后得=，要使g（x）的图象关于y轴对称，只需（9分）即，取k=0，得m的值为为最小正值m的最小值为（12分）点评：本题将一个函数化简整理为y=Asin（x+）+k，并求它的单调性和周期性，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（x+）的图象变换等知识点，属于中档题18（14分）设函数（）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的单调区间；（）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系2350853专题：计算题分析：（I）根据f（x）在x=2时有极值可知f（2）=0，求出a的值，然后根据导数符号确定函数的单调区间；（II）若f（x）在定义域上是增函数，则f（x）0在x0时恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值，即可求出所求解答：解：（）f（x）在x=2时有极值，有f（2）=0，（2分）又，有，（5分）有=，由f（x）=0有，（7分）将x，f（x），f（x）关系列表如下，定义域为（0，+）xx=2x2f（x）+00+f（x）递增递减递增f（x）的递增区间为和2，+），递减区间为（9分）（）若f（x）在定义域上是增函数，则f（x）0在x0时恒成立，（10分），需x0时ax22x+a0恒成立，（11分）化为恒成立，a1，此为所求（14分）点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调区间，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题19（14分）已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由考点：异面直线及其所成的角；由三视图求面积、体积2350853专题：证明题；综合题；转化思想分析：（1）由该几何体的三视图知AC面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解（3）假设存在这样的点Q，使得AQBQ解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，存在R（0），使得=，解得=4，满足题设的点Q存在，其坐标为（0，）解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，S梯形BCED=（4+1）4=10V=S梯形BCEDAC=104=即该几何体的体积V为16（3分）（2）解法1：过点B作BFED交EC于F，连接AF，则FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角（5分）在BAF中，AB=4，BF=AF=5cosABF=即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）=（0，4，3），=（4，4，0），cos，=异面直线DE与AB所成的角的余弦值为（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQBQ（8分）取BC中点O，过点O作OQDE于点Q，则点Q满足题设（10分）连接EO、OD，在RtECO和RtOBD中RtECORtOBDEOC=OBDEOC+CEO=90EOC+DOB=90EOB=90（11分）OE=2，OD=OQ=2以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切切点为QBQCQAC面BCED，BQ面CEDBBQACBQ面ACQ（13分）AQ面ACQBQAQ（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（4，m，n），=（0，m4，n）=（0，m，n4），=（0，4m，1n）AQBQm（m4）+n2=0点Q在ED上，存在R（0）使得=（0，m，n4）=（0，4，m，1n）m=，n=代入得（）2=28+16=0，解得=4满足题设的点Q存在，其坐标为（0，）点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20（14分）如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为A，F，直线l的方程为x=9，N为l上一点，且在x轴的上方，AN与椭圆交于M点（1）若M是AN的中点，求证：MAMF（2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求|PQ|的范围考点：圆与圆锥曲线的综合2350853专题：综合题分析：（1）欲证MAMF，只需证明，分别求出，的坐标，再用向量的数量积的坐标运算计算即可（2）欲求|PQ|的范围，需先将|PQ|用某个参数表示，再求最值，可先找到圆心坐标和半径，再利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，得到用参数表示的|PQ|，再用均值不等式求范围解答：解：（1）由题意得A（6，0），F（4，0），xN=9又M点在椭圆上，且在x轴上方，得（2）设N（9，t），其中t0，圆过A，F，N三点，设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，有解得 圆心为，半径r=，t0，当且仅当，即时取“=”，|PQ|的取值范围是点评：本题考查了椭圆与圆之间的关系，其中圆中弦长的求法必须掌握21（14分）设M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=262a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列an的前三项（1）试比较M、P、Q的大小；（2）求a的值及an的通项；（3）记函数f（x）=anx2+2an+1x+an+2（nN*）的图象在x轴上截得的线段长为bn，设Tn=）（n2），求Tn，并证明T2T3T4Tn考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式2350853专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由M0，P0，Q0可求得a的范围，作差后通过分类讨论可比较它们间的大小关系；（2）由（1）的结论及lgM，lgQ，lgP成公差为1的等差数列可得a值，根据等差数列的通项公式可得an；（3）设f（x）与x轴交点为（x1，0），（x2，0），由2an+1=an+an+2，知1为f（x）的一个零点，从而f（x）=（x+1）（anx+an+2）=0，可得x1，x2，进而可得bn，利用裂项相消法可得Tn，由，可对T2T3T4Tn进行放缩得到结论；解答：解：（1）由，得2a13，MQ=10a2+83a+1810（10），MP=10a2+80a+2050（20），MQ，MP，又当2a13时，PQ=24+3a，则当2a8时，PQ，此时PQM，当a=8时，P=Q，此时P=QM，当8a13时，PQ，此时QPM；（2）由（1）知，当2a8时，即，解得，从而an=lgP+（n1）1=n2lg2；当8a13时，即，a无解综上，a=，an=n2lg2；（3）设f（x）与x轴交点为（x1，0），（x2，0），2an+1=an+an+2，1为f（x）的一个零点，当f（x）=0时有（x+1）（anx+an+2）=0，又an=n2lg20，=，又，点评：本题考查数列与不等式的综合、等差数列的通项公式，考查不等式的证明，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性强，运算量大