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高一数学第四讲 函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，（3）简单性质：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇二、基础练习： 1. f(x),g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则f(x)，g(x)均为偶函数,h(x)一定为偶函数吗？ 反之是否成立？ 2.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 y=f(|x|); y=f(-x); y=xf(x); y=f(x)+x.3.设函数若函数是偶函数，则的递减区间是 4.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x，则在x0上f(x)的表达式为 5. 设f(x)是R上的偶函数，且在(0,+)上是减函数，若x10,且x1+x20,则 f(x1)与f(-x2)的大小关系是 三、例题精讲：题型1： 函数奇偶性的判定例1. 判断下列函数的奇偶性： , 变式：设函数f（x）在（，+）内有定义，下列函数： y=|f（x）|； y=xf（x2）； y=f（x）； y=f（x）f（x）。必为奇函数的有_ _（要求填写正确答案的序号）题型2： 函数奇偶性的证明例2、已知函数f(x),当x,yR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式：已知f（x）=是奇函数，则实数a的值等于 题型3： 函数奇偶性的应用例3.设定义在-2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1-m)f(m)，求实数m的取值范围。变式1：已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.变式2：函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 题型4：综合应用例5.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)= 变式：已知函数f(x)=g(x)+2,x-3，3，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N= .例6已知函数为奇函数，且不等式的解集是。（1）求；（2）是否存在实数m使不等式对一切成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。例7.已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1,若a,b1,1,a+b0时，有0.(1)判断函数f(x)在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+)f();(3)若f(x)m22pm+1对所有x1,1,p1,1(p是常数）恒成立，求实数m的取值范围.能 力 训 练 题1. 判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=； （2）； （3）f(x)=x+1 (x-10,10)；2. 函数f(x),g(x)在区间-a，a (a0）上都是奇函数，则下列结论：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在-a,a上是偶函数；f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是 3. 已知函数f(x)(xR)是奇函数，且 _。4. 设是定义在上的一个函数，则函数在上的奇偶性是 5. 已知函数为偶函数，则的值是 6. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x，则在R上f(x)的表达式为 7. 如果奇函数在区间 上最大值为，那么在区间上最小值是 8. 若(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=m(x)+ng(x)+2在（0，+）上有最大值，则f(x)在（-，0）上最小值为_ _。9. 为奇函数，则 10. 如果函数是奇函数，则 11. 判断的奇偶性。12. 已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR.（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）若-a，求f(x)的最小值.6
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