高考中《平面向量》易错题.doc

高考中平面向量易错题 055350 河北隆尧第一中学 焦景会平面向量知识要点1两个向量的数量积与向量同实数积（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分，符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若0，且=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是= ；2平面向量数量积的运算律（1）结合律不成立：，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线，在实数中，有() = ，但是() ()。（2），但，。3向量知识在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直。4注重数学思想方法数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。下面就高考中平面向量易错、易混点举例分析如下。 一、概念定义理解不透彻致错例1、（陕西卷理8文8）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ （ ） （A） （B） （C） (D) （ 【错解】 不能正确处理向量的方向致错选为D 由知, 为的重心,根据向量的加法, ，则=。【正解】 =，正确答案：A 。二、混淆平面向量运算公式及运算律致错例2、（浙江卷文5）已知向量，若向量满足，则 （ ）A B C D 【错解】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用由于混淆向量平行与垂直的条件，即非0向量 ，而不能求得答案。【正解】不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有，答案：D 。例3、（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为（A） （B） （C） （D）【正解】向量（31，2），（1,2），因为两个向量垂直，故有（31，2）（1,2）0，即3140，解得：，选.A。三、不能正确应用向量加法与减法几何意义致错例4、（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【错解】错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质即平面向量基本定理。【正解】设、则 , ,，代入条件得。例5、（天津卷理15）在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是 【错解】不清楚与ABC的角平分线有关。【正解】由题知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以，故，。四、不能将向量与函数进行联系例6、（四川卷文16）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； 对，则是平面上的线性变换； 设是平面上的线性变换，则对任意实数均有。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【错解】忽略函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，对立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力的试题不够适应。【正解】：令，则故是真命题 同理，：令，则故是真命题 ：，则有， 是线性变换，故是真命题 ：由，则有， 是单位向量，0，故是假命题，【答案】。五、不能将向量与平面几何进行联系例7、（天津卷文15）若等边的边长为，平面内一点M满足,则_.【错解】不能将向量与三角形中的几何性质结合运用，或对基本知识的综合运用能力不够强。【正解】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2。例8、（浙江卷理7）设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D【错解】不能将向量与圆、三角形等知识相结合。【正解】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现答案：C六、不能将向量与三角函数进行联系例9、（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.【错解】不能正确应用三角函数性质求解。【正解】设 ，即，。总上可见，不断积累练习过程中易错的问题，有针对性地进行易错题训练，可少走弯路，避免大量练习，收到事半功倍的效果。 链接练习1、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足, 则P的轨迹一定通过ABC的 ( ) (A) 外心 (B) 内心 (C) 重心 (D) 垂心2、将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题： 的坐标可以是（-3，0） 的坐标可以是（-3，0）和（0，6） 的坐标可以是（0，6） 的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）A、1 B、2 C、3 D、43、已知，则的取值范围是（ ）A. B. （3，8）C. D. （3，13）4、ABC中，已知，判断ABC的形状。链接练习答案：1、答案：B。错误原因：对理解不够。不清楚与BAC的角平分线有关。2、答案：D 错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。3、答案：C 解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出，。（1）当ABC存在，即A、B、C三点不共线时，；（2）当与同向共线时，；当与反向共线时，。，故选C。错误原因：对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时，ABC不存在，错选D。 4、【正解】；，。，、B、C均为锐角。ABC为锐角三角形。错因 ，。B为钝角，ABC为钝角三角形。错将与的夹角看成是ABC的内角B，向量与的夹角应为。